Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...

73
25. Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek
1. Oldjuk meg az alábbi logaritmikus egyenleteket:
a) log 2 x = 3
b) log 3 x = 4
c) log 2 (2x + 1) = 1
d) log 4 (x − 1) = 1 2
e) log 5 (3x − 6) = −1
f) log 2 (x − 1) = 3
g) log 1 x = 2
2
h) log 7 x = 1
megoldás:
a) A logaritmus definíciója szerint azt az x-et keressük, melyre x = 2 3 , tehát x = 8.
b) A logaritmus definíciója szerint azt az x-et keressük, melyre x = 3 4 = 81, tehát x = 81.
c) A logaritmus definíciója szerint azt az x-et keressük, melyre 2x + 1 = 2 1 , amiből x = 1 2 .
d) A logaritmus definíciója szerint azt az x-et keressük, melyre x − 1 = 4 1 2 . Felhasználva,
hogy 4 1 2 = 2, majd rendezve az egyenletet x = 3 adódik.
e) A logaritmus definíciója szerint azt az x-et keressük, melyre 3x − 6 = 5 −1 . Felhasználva,
hogy 5 −1 = 1 31
, majd rendezve az egyenletet x = adódik.
5 15
f) A logaritmus definíciója szerint azt az x-et keressük, melyre x − 1 = 2 3 . Felhasználva,
hogy 2 3 = 8, majd rendezve az egyenletet x = 9 adódik.
g) A logaritmus definíciója szerint azt az x-et keressük, melyre x = ( )
1 2,
2 amiből x =
1
. 4
h) x = 7
2. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán:
a) log 36 (x 2 − 10) = 1 2
b) log 3 (log 4 (log 5 x)) = 0 (x > 0)
megoldás:
a) Mivel pozitív valós számok logaritmusát értelmeztük, ezért x 2 − 10 > 0. Megoldva ezt
a√ másodfokú egyenlőtlenséget √ kapjuk, hogy az egyenlet értelmezési tartománya: x >
10 vagy x < − 10. Alkalmazzuk a logaritmus definícióját: log36 (x 2 − 10) jelöli
azt a számot – azaz esetünkben az 1-et – amelyre a 36-ot kell emelni, hogy 2 x2 − 10-
et kapjunk. Így 36 1 2 = x 2 − 10. Innen x = −4 vagy x = 4. Mivel minden lépés
ekvivalens átalakítás volt a lehetséges értelmezési tatományon és a kapott gyökök elemei
az értelmezési tartománynak, kielégítik az egyenletet.
b) A logaritmus definícióját kell alkalmaznunk végig:
3 0 = log 4 (log 5 x)
4 1 = log 5 x,