Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...

71
24. Exponenciális egyenlőtlenségek
1. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket:
a) 2 x ≤ 8
b) 3 x ≥ 9
c) 2 2x ≤ 16
d) 3 x−1 > 1 3
e) 5 x < 1 25
( ) x 1
f) < 1 3 9
megoldás:
a) A jobb oldalon a 8-at 2 hatványaként felírva
2 x ≤ 2 3
Az exponenciális függvény szigorúan monoton növekvő, mert az alap 1-nél nagyobb, így
az egyenlőtlenség iránytartó, tehát x ≤ 3.
b) A jobb oldalon a 9-et 3 hatványaként felírva
3 x ≥ 3 2
Az exponenciális függvény szigorúan monoton növekvő, mert az alap 1-nél nagyobb, így
az egyenlőtlenség iránytartó, tehát x ≥ 2.
c) A jobb oldalon a 16-ot 2 hatványaként felírva
2 2x ≤ 2 4
Az exponenciális függvény szigorúan monoton növekvő, mert az alap 1-nél nagyobb, így
az egyenlőtlenség iránytartó, tehát 2x ≤ 4. Mindkét oldalt 2-vel osztva x ≤ 2.
d) A jobboldalon az 1 -ot 3 hatványaként felírva
3
3 x−1 > 3 −1
Az exponenciális függvény szigorúan monoton növekvő, mert az alap 1-nél nagyobb, így
az egyenlőtlenség iránytartó, tehát x−1 > −1 adódik. Mindkét oldalhoz 1-et hozzáaadva
x > 0.
e) A jobb oldalon az 1 -öt 5 hatványaként felírva
25
5 x < 5 −2
Az exponenciális függvény szigorúan monoton növekvő, mert az alap 1-nél nagyobb, így
az egyenlőtlenség iránytartó, tehát x < −2.
) −
1
2
, így ( 1
) −
1
2 x < ( 1
25) 1. Az exponenciális
Egy alternatív megoldás a következő: 5 = ( 1
25
25
függvény szigorúan monoton csökkenő, mert az alap 1-nél kisebb, így az egyenlőtlenség
irányváltó, tehát − 1 x > 1. Az egyenlőtlenség megoldása ebből: x < −2.
2