Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...

megoldás:
Az exponenciális egyenletek egy csoportját úgy oldhatjuk meg, hogy egy alkalmas hatványt
új ismeretlennel jelölve az egyenletet algebrai egyenletté alakítjuk. Ezt az egyenletet
megoldjuk. Az új ismeretlenre kapott megoldást egyenlővé tesszük a hatvánnyal, amelyet
helyettesítettünk. Ezt az egyenletet megoldva kapjuk az eredeti egyenlet gyökeit.
a) Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait, majd rendezzük az egyenletet
5 2x + 25 = 5 x+2 + 5 x
5 2x + 25 = 5 x · 25 + 5 x
5 x·2 + 25 = 5 x · 25 + 5 x
(5 x ) 2 + 25 = 26 · 5 x
(5 x ) 2 − 26 · 5 x + 25 = 0.
Vezessük be az a = 5 x új ismeretlent. Ekkor 5 2x = a 2 . Ennek megfelelően az
a 2 − 26a + 25 = 0
másodfokú egyenlethez jutunk. A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva
a 1,2 = 26 ± √ (−26) 2 − 4 · 25
2
= 26 ± √ 676 − 100
2
Tehát a 1 = 25, a 2 = 1. Ezeket visszahelyettesítve az
5 x = 25, 5 x = 1
= 26 ± √ 576
2
egyenletekhez jutunk. Ezeket megoldva x 1 = 2, illetve x 2 = 0 adódik.
=
26 ± 24
.
2
b) Mivel 3 x−2 = 3x = 3x , ezért a 3 2 9 3x := a új ismeretlen bevezetése után egyenletünk az
a − a = 24 alakba írható át. Ennek az elsőfokú algebrai egyenletnek a megoldása
9
a = 27. Most a 3 x = 27 egyenletet kell megoldanunk, melynek gyöke x = 3.
c) A hatványozás azonosságait felhasználva egyenletünk ekvivalens a 3 · 3 2x − 9 · 3 x = 162
egyenlettel. Ezt az egyenletet 3-mal osztva a k := 3 x jelölés mellett a k 2 − 3k = 54
másodfokú algebrai egyenletet kell megoldanunk. Ennek gyökei a 9 és a −6. Mivel
bármely valós x-re 3 x > 0, így a 3 x = −6 egyenletnek nincs megoldása. A 3 x = 9
egyenlet megoldása az x = 2, mely gyöke az eredeti egyenletnek is.
d) Mivel 4 x = 2 2x , így a b := 2 x jelölés mellett a 10b−b 2 = 16 egyenletet kell megoldanunk.
Ennek gyökei 8 és 2. A 2 x = 8 egyenlet és a 2 x = 2 egyenlet gyökei rendre x = 3 és
x = 1, melyek valóban gyökei az eredeti egyenletnek.
e) 3 x (1+3 1 +3 2 +3 3 ) = 40, mely az a := 3 3x jelölés mellett összevonás után 40a = 40 alakban
3
írható. Ennek gyöke a = 1. Így a 3 3x = 1 egyenletet kell megoldani. A megoldás x = −1,
3
mely megoldása az eredeti egyenletnek is.
4. Oldja meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!
a, 2 x = 5
b, 16 · 2 x−1 = 9 · 3 x−2
c, 3 x−1 + 3 x+2 = 2 x+1 + 2 x+4
69