Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...
Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ... Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...
68 e) Felhasználva a hatványozás és gyökvonás azonosságait 3√ 9 27 = 3x amiből x = 2 3 . 9 1 3 = 3 x 3 2 3 = 3 x , f) Mivel 1 = 5 0 , ezért a 3x − 1 = 0 egyenletet kell megoldanunk, amiből x = 1 3 . g) Felhasználva a hatványzás azonosságait így 1 + x = − 3 2 , amiből x = − 5 2 . 2 · 2 x = √ 2 4 2 1+x = 2 1 2 2 2 2 1+x = 2 − 3 2 , h) Az azonos kitevőjű hatványok szorzására vonatkozó azonosságot használva kapjuk, hogy ( 2 3 · 9 ) x = 27 8 64 . Mivel 27 = ( ) 3 3, 64 4 így a 3 alapú exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt x = 3, 4 mely valóban gyöke az egyenletnek. i) 1 8 · √2 3x−1 = 4 2 −3 · 2 3x−1 2 = 4 3x−1 −3+ 2 2 = 4 2 −6+3x−1 2 = 4 2 −7+3x 2 = 4 2 −7+3x 2 = 2 2 Az f(x) = 2 x függvény szigorú monotonitása miatt −7+3x 2 = 2, ahonnan x = 11 3 . 3. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: a) 5 2x + 25 = 5 x+2 + 5 x b) 3 x − 3 x−2 = 24 c) 3 2x+1 − 3 x+2 = 162 d) 10 · 2 x − 4 x = 16 e) 3 x + 3 x+1 + 3 x+2 + 3 x+3 = 40 3
megoldás: Az exponenciális egyenletek egy csoportját úgy oldhatjuk meg, hogy egy alkalmas hatványt új ismeretlennel jelölve az egyenletet algebrai egyenletté alakítjuk. Ezt az egyenletet megoldjuk. Az új ismeretlenre kapott megoldást egyenlővé tesszük a hatvánnyal, amelyet helyettesítettünk. Ezt az egyenletet megoldva kapjuk az eredeti egyenlet gyökeit. a) Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait, majd rendezzük az egyenletet 5 2x + 25 = 5 x+2 + 5 x 5 2x + 25 = 5 x · 25 + 5 x 5 x·2 + 25 = 5 x · 25 + 5 x (5 x ) 2 + 25 = 26 · 5 x (5 x ) 2 − 26 · 5 x + 25 = 0. Vezessük be az a = 5 x új ismeretlent. Ekkor 5 2x = a 2 . Ennek megfelelően az a 2 − 26a + 25 = 0 másodfokú egyenlethez jutunk. A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva a 1,2 = 26 ± √ (−26) 2 − 4 · 25 2 = 26 ± √ 676 − 100 2 Tehát a 1 = 25, a 2 = 1. Ezeket visszahelyettesítve az 5 x = 25, 5 x = 1 = 26 ± √ 576 2 egyenletekhez jutunk. Ezeket megoldva x 1 = 2, illetve x 2 = 0 adódik. = 26 ± 24 . 2 b) Mivel 3 x−2 = 3x = 3x , ezért a 3 2 9 3x := a új ismeretlen bevezetése után egyenletünk az a − a = 24 alakba írható át. Ennek az elsőfokú algebrai egyenletnek a megoldása 9 a = 27. Most a 3 x = 27 egyenletet kell megoldanunk, melynek gyöke x = 3. c) A hatványozás azonosságait felhasználva egyenletünk ekvivalens a 3 · 3 2x − 9 · 3 x = 162 egyenlettel. Ezt az egyenletet 3-mal osztva a k := 3 x jelölés mellett a k 2 − 3k = 54 másodfokú algebrai egyenletet kell megoldanunk. Ennek gyökei a 9 és a −6. Mivel bármely valós x-re 3 x > 0, így a 3 x = −6 egyenletnek nincs megoldása. A 3 x = 9 egyenlet megoldása az x = 2, mely gyöke az eredeti egyenletnek is. d) Mivel 4 x = 2 2x , így a b := 2 x jelölés mellett a 10b−b 2 = 16 egyenletet kell megoldanunk. Ennek gyökei 8 és 2. A 2 x = 8 egyenlet és a 2 x = 2 egyenlet gyökei rendre x = 3 és x = 1, melyek valóban gyökei az eredeti egyenletnek. e) 3 x (1+3 1 +3 2 +3 3 ) = 40, mely az a := 3 3x jelölés mellett összevonás után 40a = 40 alakban 3 írható. Ennek gyöke a = 1. Így a 3 3x = 1 egyenletet kell megoldani. A megoldás x = −1, 3 mely megoldása az eredeti egyenletnek is. 4. Oldja meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a, 2 x = 5 b, 16 · 2 x−1 = 9 · 3 x−2 c, 3 x−1 + 3 x+2 = 2 x+1 + 2 x+4 69
- Page 17 and 18: 17 a) (a + 3)(a − 3) = a 2 − 9
- Page 19 and 20: ) c) d) e) f) 5∏ (2n+1) = (2·1+1
- Page 21 and 22: 21 7. Számok normálalakja 2. Adju
- Page 23 and 24: Ennek akkor a legnagyobb az érték
- Page 25 and 26: 5. Mekkora összeget helyezzünk el
- Page 27 and 28: 4. Legyen f(x) = x 2 + 3x − 4. Sz
- Page 29 and 30: 29 11. Elsőfokú függvények 1. E
- Page 31 and 32: függvény f(x) = −2x + 1. Ez a f
- Page 33 and 34: 33 12. Abszolútértékés függvé
- Page 35 and 36: 35 5. Ábrázoljuk az f(x) = |x| +
- Page 37 and 38: 37 13. Másodfokú függvények 1.
- Page 39 and 40: 39 Az 1 perc alatt megtett út b) A
- Page 41 and 42: 41 7. Ábrázoljuk és jellemezzük
- Page 43 and 44: 43 Ezt ábrázolva: A pálya legmag
- Page 45 and 46: 45 14. Négyzetgyök függvény 1.
- Page 47 and 48: 47 15. Racionális törtfüggvénye
- Page 49 and 50: 49 A kép alapján jellemezhetjük
- Page 51 and 52: 51 IV. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EG
- Page 53 and 54: 53 17. Elsőfokú egyenlőtlensége
- Page 55 and 56: 55 ami azonosság, így az egyenlő
- Page 57 and 58: 4. Oldjuk meg a pozitív számok ha
- Page 59 and 60: 59 egyenlőtlenséget a valós szá
- Page 61 and 62: 61 V. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EGY
- Page 63 and 64: 63 A kép alapján jellemezhetjük
- Page 65 and 66: 65 • értelmezési tartomány: x
- Page 67: 67 f) A jobb oldalon a 1 -et 3 hatv
- Page 71 and 72: 71 24. Exponenciális egyenlőtlens
- Page 73 and 74: 73 25. Logaritmikus egyenletek és
- Page 75 and 76: 75 VII. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, E
- Page 77 and 78: 77 27. Trigonometrikus egyenletek 1
- Page 79 and 80: 7. Oldja meg a 1 1 − sin 2x = 2 t
- Page 81 and 82: 81 VIII. KOORDINÁTAGEOMETRIA 28. K
- Page 83 and 84: 83 29. Egyenes egyenlete 1. Írjuk
- Page 85 and 86: 85 behelyettesítve elvégezve az
- Page 87 and 88: 87 Így a kör középpontja K(−3
- Page 89 and 90: 89 IX. ELEMI GEOMETRIA 32. Elemi ge
- Page 91 and 92: 91 A drótsövény a téglalap ker
- Page 93 and 94: 93 9. Egy kör sugara 11 cm. Mekkor
- Page 95 and 96: A második egyenletből ab = 300, a
- Page 97 and 98: 97 Felírva a koszinusz tételt l 2
- Page 99 and 100: 17. Az alábbi ábra egy vaslemezb
68<br />
e) Felhasználva a hatványozás és gyökvonás azonosságait<br />
3√<br />
9<br />
27 = 3x<br />
amiből x = 2 3 .<br />
9 1 3 = 3<br />
x<br />
3 2 3 = 3 x ,<br />
f) Mivel 1 = 5 0 , ezért a 3x − 1 = 0 egyenletet kell megoldanunk, amiből x = 1 3 .<br />
g) Felhasználva a hatványzás azonosságait<br />
így 1 + x = − 3 2 , amiből x = − 5 2 .<br />
2 · 2 x =<br />
√<br />
2<br />
4<br />
2 1+x = 2 1 2<br />
2 2<br />
2 1+x = 2 − 3 2 ,<br />
h) Az azonos kitevőjű hatványok szorzására vonatkozó azonosságot használva kapjuk, hogy<br />
( 2<br />
3 · 9 ) x<br />
= 27<br />
8 64 .<br />
Mivel 27 = ( )<br />
3 3,<br />
64 4 így a<br />
3<br />
alapú exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt x = 3,<br />
4<br />
mely valóban gyöke az egyenletnek.<br />
i)<br />
1<br />
8 · √2 3x−1 = 4<br />
2 −3 · 2 3x−1<br />
2 = 4<br />
3x−1<br />
−3+<br />
2 2 = 4<br />
2 −6+3x−1<br />
2 = 4<br />
2 −7+3x<br />
2 = 4<br />
2 −7+3x<br />
2 = 2 2<br />
Az f(x) = 2 x függvény szigorú monotonitása miatt −7+3x<br />
2<br />
= 2, ahonnan x = 11 3 .<br />
3. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán:<br />
a) 5 2x + 25 = 5 x+2 + 5 x<br />
b) 3 x − 3 x−2 = 24<br />
c) 3 2x+1 − 3 x+2 = 162<br />
d) 10 · 2 x − 4 x = 16<br />
e) 3 x + 3 x+1 + 3 x+2 + 3 x+3 = 40 3
Change language