Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...
Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ... Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...
66 VI. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 4. (exponenciális és logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek) 23. Exponenciális egyenletek 1. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenleteket: a) 2 x = 8 b) 3 x = 9 c) 2 2x = 16 e) 5 x = 1 25 f) 3 √x = 1 9 d) 3 x−1 = 1 3 g) ( 1 2 ) x = 4 megoldás: Az exponenciális egyenletek egy csoportját úgy oldhatjuk meg, hogy az egyenlet mindkét oldalát azonos alapú hatvánnyá alakítjuk. a) A jobb oldalon a 8-at 2 hatványaként felírva 2 x = 2 3 Az f(x) = 2 x függvény szigorú monotonitása miatt x = 3 b) A jobb oldalon a 9-et 3 hatványaként felírva 3 x = 3 2 Az f(x) = 3 x függvény szigorú monotonitása miatt x = 2. c) A jobboldalon a 16-ot 2 hatványaként felírva 2 2x = 2 4 Az f(x) = 2 x függvény szigorú monotonitása miatt 2x = 4 adódik. Mindkét oldalt 2-vel osztva x = 2. d) A jobb oldalon az 1 -ot 3 hatványaként felírva 3 3 x−1 = 3−1 Az f(x) = 3 x függvény szigorú monotonitása miatt x−1 = −1 adódik. Mindkét oldalhoz 1-et hozzáaadva x = 0. e) A jobboldalon az 1 -öt 5 hatványaként felírva 25 5 x = 5 −2 Az f(x) = 5 x függvény szigorú monotonitása miatt x = −2.
67 f) A jobb oldalon a 1 -et 3 hatványaként felírva 9 3 √x = 3 −2 Az f(x) = 3 x függvény szigorú monotonitása miatt √ x = −2. Valós szám négyzetgyöke nemnegatív, így az egyenletnek nincs megoldása. g) A baloldalt és a jobboldalt is 2 hatványaként felírva amiből −x = 2, így x = −2. 2 −x = 2 2 2. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: a) 9 x = 1 729 b) 343 x = 1 7 c) 2 2x−3 = 1 4 √ 2 d) 4 x = 8 3√ 9 e) 27 = 3x f) 5 3x−1 = 1 √ 2 g) 2 · 2 x = 4 ( ) x ( 2 9 h) · 3 8 i) 1 8 · √2 3x−1 = 4 ) x = 27 64 megoldás: a) Vegyük észre, hogy 1 729 = 9−3 . Így az eredeti egyenlettel ekvivalens 9 x = 9 −3 egyenletet kell megoldanunk, melynek megoldása a 9-es alapú exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt az x = −3. b) Mivel 343 = 7 3 , ezért x = 3 c) Mivel 1 4 = 2−2 , ezért a 2x − 3 = −2 egyenletet kell megoldanunk, melynek megoldása x = 1 2 . d) A hatványozás azonosságait felhasználva amiből x = − 5 4 . 4 x = √ 2 8 2 2x = 2 1 2 2 3 2 2x = 2 − 5 2 ,
- Page 15 and 16: 15 4. Adjuk meg a √ 4 log 16 9 ki
- Page 17 and 18: 17 a) (a + 3)(a − 3) = a 2 − 9
- Page 19 and 20: ) c) d) e) f) 5∏ (2n+1) = (2·1+1
- Page 21 and 22: 21 7. Számok normálalakja 2. Adju
- Page 23 and 24: Ennek akkor a legnagyobb az érték
- Page 25 and 26: 5. Mekkora összeget helyezzünk el
- Page 27 and 28: 4. Legyen f(x) = x 2 + 3x − 4. Sz
- Page 29 and 30: 29 11. Elsőfokú függvények 1. E
- Page 31 and 32: függvény f(x) = −2x + 1. Ez a f
- Page 33 and 34: 33 12. Abszolútértékés függvé
- Page 35 and 36: 35 5. Ábrázoljuk az f(x) = |x| +
- Page 37 and 38: 37 13. Másodfokú függvények 1.
- Page 39 and 40: 39 Az 1 perc alatt megtett út b) A
- Page 41 and 42: 41 7. Ábrázoljuk és jellemezzük
- Page 43 and 44: 43 Ezt ábrázolva: A pálya legmag
- Page 45 and 46: 45 14. Négyzetgyök függvény 1.
- Page 47 and 48: 47 15. Racionális törtfüggvénye
- Page 49 and 50: 49 A kép alapján jellemezhetjük
- Page 51 and 52: 51 IV. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EG
- Page 53 and 54: 53 17. Elsőfokú egyenlőtlensége
- Page 55 and 56: 55 ami azonosság, így az egyenlő
- Page 57 and 58: 4. Oldjuk meg a pozitív számok ha
- Page 59 and 60: 59 egyenlőtlenséget a valós szá
- Page 61 and 62: 61 V. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EGY
- Page 63 and 64: 63 A kép alapján jellemezhetjük
- Page 65: 65 • értelmezési tartomány: x
- Page 69 and 70: megoldás: Az exponenciális egyenl
- Page 71 and 72: 71 24. Exponenciális egyenlőtlens
- Page 73 and 74: 73 25. Logaritmikus egyenletek és
- Page 75 and 76: 75 VII. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, E
- Page 77 and 78: 77 27. Trigonometrikus egyenletek 1
- Page 79 and 80: 7. Oldja meg a 1 1 − sin 2x = 2 t
- Page 81 and 82: 81 VIII. KOORDINÁTAGEOMETRIA 28. K
- Page 83 and 84: 83 29. Egyenes egyenlete 1. Írjuk
- Page 85 and 86: 85 behelyettesítve elvégezve az
- Page 87 and 88: 87 Így a kör középpontja K(−3
- Page 89 and 90: 89 IX. ELEMI GEOMETRIA 32. Elemi ge
- Page 91 and 92: 91 A drótsövény a téglalap ker
- Page 93 and 94: 93 9. Egy kör sugara 11 cm. Mekkor
- Page 95 and 96: A második egyenletből ab = 300, a
- Page 97 and 98: 97 Felírva a koszinusz tételt l 2
- Page 99 and 100: 17. Az alábbi ábra egy vaslemezb
67<br />
f) A jobb oldalon a 1 -et 3 hatványaként felírva<br />
9<br />
3 √x = 3 −2<br />
Az f(x) = 3 x függvény szigorú monotonitása miatt √ x = −2. Valós szám négyzetgyöke<br />
nemnegatív, így az egyenletnek nincs megoldása.<br />
g) A baloldalt és a jobboldalt is 2 hatványaként felírva<br />
amiből −x = 2, így x = −2.<br />
2 −x = 2 2<br />
2. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán:<br />
a) 9 x = 1<br />
729<br />
b) 343 x = 1 7<br />
c) 2 2x−3 = 1 4<br />
√<br />
2<br />
d) 4 x =<br />
8<br />
3√<br />
9<br />
e)<br />
27 = 3x<br />
f) 5 3x−1 = 1<br />
√<br />
2<br />
g) 2 · 2 x =<br />
4<br />
( ) x ( 2 9<br />
h) ·<br />
3 8<br />
i) 1 8 · √2 3x−1 = 4<br />
) x<br />
= 27<br />
64<br />
megoldás:<br />
a) Vegyük észre, hogy 1<br />
729 = 9−3 . Így az eredeti egyenlettel ekvivalens 9 x = 9 −3 egyenletet<br />
kell megoldanunk, melynek megoldása a 9-es alapú exponenciális függvény szigorú<br />
monotonitása miatt az x = −3.<br />
b) Mivel 343 = 7 3 , ezért x = 3<br />
c) Mivel 1 4 = 2−2 , ezért a 2x − 3 = −2 egyenletet kell megoldanunk, melynek megoldása<br />
x = 1 2 .<br />
d) A hatványozás azonosságait felhasználva<br />
amiből x = − 5 4 .<br />
4 x =<br />
√<br />
2<br />
8<br />
2 2x = 2 1 2<br />
2 3<br />
2 2x = 2 − 5 2 ,
Change language