Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...

66
VI. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 4.
(exponenciális és logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek)
23. Exponenciális egyenletek
1. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenleteket:
a) 2 x = 8
b) 3 x = 9
c) 2 2x = 16
e) 5 x = 1 25
f) 3 √x = 1 9
d) 3 x−1 = 1 3
g)
( 1
2
) x
= 4
megoldás:
Az exponenciális egyenletek egy csoportját úgy oldhatjuk meg, hogy az egyenlet mindkét
oldalát azonos alapú hatvánnyá alakítjuk.
a) A jobb oldalon a 8-at 2 hatványaként felírva
2 x = 2 3
Az f(x) = 2 x függvény szigorú monotonitása miatt x = 3
b) A jobb oldalon a 9-et 3 hatványaként felírva
3 x = 3 2
Az f(x) = 3 x függvény szigorú monotonitása miatt x = 2.
c) A jobboldalon a 16-ot 2 hatványaként felírva
2 2x = 2 4
Az f(x) = 2 x függvény szigorú monotonitása miatt 2x = 4 adódik. Mindkét oldalt 2-vel
osztva x = 2.
d) A jobb oldalon az 1 -ot 3 hatványaként felírva
3
3 x−1 = 3−1
Az f(x) = 3 x függvény szigorú monotonitása miatt x−1 = −1 adódik. Mindkét oldalhoz
1-et hozzáaadva x = 0.
e) A jobboldalon az 1 -öt 5 hatványaként felírva
25
5 x = 5 −2
Az f(x) = 5 x függvény szigorú monotonitása miatt x = −2.