Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...
Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ... Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...
56 18. Másodfokú egyenletek 1. Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! megoldás: x 2 + 5x + 6 = 0 Az ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) másodfokú egyenlet megoldóképlete: x 1,2 = −b ± √ b 2 − 4ac . 2a Jelen esetben a = 1, b = 5, c = 6. Így a megoldások Tehát x 1 = −2, x 2 = −3. x 1,2 = −5 ± √ 5 2 − 4 · 6 2 · 1 = −5 ± 1 . 2 2. Oldjuk meg az x 2 − 25 = 0 egyenletet a valós számok halmazán! megoldás: Az egyenlet olyan hiányos mádofokú, melynél az elsőfokú tag hiányzik. mindkét oldalhoz 25-öt: x 2 = 25, amiből x = ±5. Adjunk hozzá (Egy másik megoldási mód: (x − 5)(x + 5) = 0, szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.) 3. Oldjuk meg az x 2 − 5x = 0 egyenletet a valós számok halmazán! megoldás: Az egyenlet olyan másodfokú egyenlet, melynél a konstans tag hiányzik. Emeljük ki az egyenlet bal oldalán az x-et. Ekkor x(x − 5) = 0. Egy szorzatot kaptunk, ami 0. Ez csak úgy lehet, ha valamelyik tényező 0. Így x = 0 vagy x − 5 = 0, amiből x = 5.
4. Oldjuk meg a pozitív számok halmazán a egyenletet! megoldás: 2x 2 − x − 3 = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint x 1,2 = 1 ± √ (−1) 2 − 4 · 2 · (−3) = 1 ± 5 4 4 , amiből az egyik megoldás x 1 = 3, a másik x 2 2 = −1. Mivel a pozitív számok halmazán keressük a megoldást, ezért a −1 nem megoldás, így az egyenlet egyetlen gyöke 3. 2 5. Határozzuk meg az egyenlet valós megoldásait! megoldás: 3x − 7 x + 5 = x − 3 x + 2 Először megállapítjuk, mikor nincs értelmezve a bal és jobb oldalon álló kifejezés: x ≠ −2 és x ≠ −5. Az egyenlet mindkét oldalát szorzzuk be (x + 5)(x + 2)-vel: Elvégezve a szorzást (3x − 7)(x + 2) = (x − 3)(x + 5). 3x 2 + 6x − 7x − 14 = x 2 − 3x + 5x − 15. Összevonva az egyenlet megfelelő oldalain szereplő egynemű tagokat: 3x 2 − x − 14 = x 2 + 2x − 15. Rendezzük 0-ra az egyenletet: 2x 2 − 3x + 1 = 0. Alkalmazzuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét: x 1,2 = 3 ± √ (−3) 2 − 4 · 2 = 3 ± 1 4 4 , így x 1 = 1 és x 2 = 1 , melyek valós megoldásai az egyenletnek. 2 57
- Page 5 and 6: 5 3. A hatványozás azonosságaina
- Page 7 and 8: 7 A hatványozás azonosságait fel
- Page 9 and 10: a) ( √ 7 + √ 13+ √ 7 − √
- Page 11 and 12: 11 8. Írjuk fel egyetlen gyökjel
- Page 13 and 14: 13 adódik. Behelyettesítve a c é
- Page 15 and 16: 15 4. Adjuk meg a √ 4 log 16 9 ki
- Page 17 and 18: 17 a) (a + 3)(a − 3) = a 2 − 9
- Page 19 and 20: ) c) d) e) f) 5∏ (2n+1) = (2·1+1
- Page 21 and 22: 21 7. Számok normálalakja 2. Adju
- Page 23 and 24: Ennek akkor a legnagyobb az érték
- Page 25 and 26: 5. Mekkora összeget helyezzünk el
- Page 27 and 28: 4. Legyen f(x) = x 2 + 3x − 4. Sz
- Page 29 and 30: 29 11. Elsőfokú függvények 1. E
- Page 31 and 32: függvény f(x) = −2x + 1. Ez a f
- Page 33 and 34: 33 12. Abszolútértékés függvé
- Page 35 and 36: 35 5. Ábrázoljuk az f(x) = |x| +
- Page 37 and 38: 37 13. Másodfokú függvények 1.
- Page 39 and 40: 39 Az 1 perc alatt megtett út b) A
- Page 41 and 42: 41 7. Ábrázoljuk és jellemezzük
- Page 43 and 44: 43 Ezt ábrázolva: A pálya legmag
- Page 45 and 46: 45 14. Négyzetgyök függvény 1.
- Page 47 and 48: 47 15. Racionális törtfüggvénye
- Page 49 and 50: 49 A kép alapján jellemezhetjük
- Page 51 and 52: 51 IV. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EG
- Page 53 and 54: 53 17. Elsőfokú egyenlőtlensége
- Page 55: 55 ami azonosság, így az egyenlő
- Page 59 and 60: 59 egyenlőtlenséget a valós szá
- Page 61 and 62: 61 V. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EGY
- Page 63 and 64: 63 A kép alapján jellemezhetjük
- Page 65 and 66: 65 • értelmezési tartomány: x
- Page 67 and 68: 67 f) A jobb oldalon a 1 -et 3 hatv
- Page 69 and 70: megoldás: Az exponenciális egyenl
- Page 71 and 72: 71 24. Exponenciális egyenlőtlens
- Page 73 and 74: 73 25. Logaritmikus egyenletek és
- Page 75 and 76: 75 VII. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, E
- Page 77 and 78: 77 27. Trigonometrikus egyenletek 1
- Page 79 and 80: 7. Oldja meg a 1 1 − sin 2x = 2 t
- Page 81 and 82: 81 VIII. KOORDINÁTAGEOMETRIA 28. K
- Page 83 and 84: 83 29. Egyenes egyenlete 1. Írjuk
- Page 85 and 86: 85 behelyettesítve elvégezve az
- Page 87 and 88: 87 Így a kör középpontja K(−3
- Page 89 and 90: 89 IX. ELEMI GEOMETRIA 32. Elemi ge
- Page 91 and 92: 91 A drótsövény a téglalap ker
- Page 93 and 94: 93 9. Egy kör sugara 11 cm. Mekkor
- Page 95 and 96: A második egyenletből ab = 300, a
- Page 97 and 98: 97 Felírva a koszinusz tételt l 2
- Page 99 and 100: 17. Az alábbi ábra egy vaslemezb
4. Oldjuk meg a pozitív számok halmazán a<br />
egyenletet!<br />
megoldás:<br />
2x 2 − x − 3 = 0<br />
A másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint<br />
x 1,2 = 1 ± √ (−1) 2 − 4 · 2 · (−3)<br />
= 1 ± 5<br />
4<br />
4 ,<br />
amiből az egyik megoldás x 1 = 3, a másik x 2 2 = −1. Mivel a pozitív számok halmazán<br />
keressük a megoldást, ezért a −1 nem megoldás, így az egyenlet egyetlen gyöke 3.<br />
2<br />
5. Határozzuk meg az<br />
egyenlet valós megoldásait!<br />
megoldás:<br />
3x − 7<br />
x + 5 = x − 3<br />
x + 2<br />
Először megállapítjuk, mikor nincs értelmezve a bal és jobb oldalon álló kifejezés:<br />
x ≠ −2 és x ≠ −5.<br />
Az egyenlet mindkét oldalát szorzzuk be (x + 5)(x + 2)-vel:<br />
Elvégezve a szorzást<br />
(3x − 7)(x + 2) = (x − 3)(x + 5).<br />
3x 2 + 6x − 7x − 14 = x 2 − 3x + 5x − 15.<br />
Összevonva az egyenlet megfelelő oldalain szereplő egynemű tagokat:<br />
3x 2 − x − 14 = x 2 + 2x − 15.<br />
Rendezzük 0-ra az egyenletet:<br />
2x 2 − 3x + 1 = 0.<br />
Alkalmazzuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét:<br />
x 1,2 = 3 ± √ (−3) 2 − 4 · 2<br />
= 3 ± 1<br />
4<br />
4 ,<br />
így x 1 = 1 és x 2 = 1 , melyek valós megoldásai az egyenletnek.<br />
2<br />
57
Change language