Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...

54
Első eset: a számláló pozitív és a nevező negatív, azaz a
(I.) − 13x − 17 > 0 és 3x + 4 < 0.
egyenlőtlenségeknek egyszerre kell fennállniuk. Az első egyenlőtlenség megoldása:
x < − 17 (
= − 51 )
,
13 39
a második egyenlőtlenség megoldása
x < − 4 3
(
= − 52 )
.
39
Így a fenti (I.) egyenlőtlenség-rendszer megoldása x < − 4 3 .
Második eset: a számláló negatív és a nevező pozizív, azaz a
(II.) − 13x − 17 < 0 és 3x + 4 > 0
egyenlőtlenségeknek egyszerre kell fennállniuk. Az első egyenlőtlenség megoldása
x > − 17
13 ,
a második egyenlőtlenség megoldása
x > − 4 3 .
Így a fenti (II.) egyenlőtlenség-rendszer megoldása: x > − 17 . A feladatban kitűzött egyenlőtlenség
megoldása az (I.) és (II.) egyenlőtlenség-rendszerek megoldáshalmazainak uniója:
13
{
M = x ∈ R|x < − 4 }
vagy x > −17 .
3
13
3. Oldjuk meg a természetes számok halmazán a
2n + 5
3n + 4 − 2n + 3
3n + 1 < 0
egyenlőtlenséget!
megoldás:
Beszorozzuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát (3n + 4)(3n + 1)-el. Mivel ez a kifejezés
pozitív, ezért az egyenlőtlenség iránya nem változik meg a szorzás során:
Felbontva a zárójeleket:
Felbontjuk a még meglévő zárójelet:
Összevonva az egynemű kifejezéseket:
(2n + 5)(3n + 1) − (2n + 3)(3n + 4) < 0.
6n 2 + 17n + 5 − (6n 2 + 17n + 12) < 0.
6n 2 + 17n + 5 − 6n 2 − 17n − 12 < 0.
−7 < 0,