Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...

44
egyenlet megoldásával kapjuk. A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva
x 1,2 = −4 ± √ 16 − 12
−2
= −4 ± 2
−2 ,
így x 1 = 1, x 2 = 3. Mivel a függvény másodfokú tagjának együtthatója negatív, ezért a
függvénynek maximuma van. A maximumhely a zérushelyek számtani közepe, azaz 1+3 =
2
2. A maximum érték f(2) = −2 2 + 4 · 2 − 3 = 1.
14. Határozzuk meg az f(x) = −2x 2 +12x−16 függvény szélsőértékének típusát, annak helyét
és értékét!
megoldás:
A függvény zérushelyeit az
−2x 2 + 12x − 16 = 0
egyenlet megoldásával kapjuk. A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva
x 1,2 = −12 ± √ 144 − 128
−4
= −12 ± 4 ,
−4
így x 1 = 2, x 2 = 4. Mivel a függvény másodfokú tagjának együtthatója negatív, ezért
a függvénynek maximuma van. A maximum hely a zérushelyek számtani közepe, azaz
2+4
= 3. A maximum érték f(3) = −2 · 3 2 + 12 · 3 − 16 = 2.
2
15. A folyóparton 40 m hosszú kerítéssel téglalap alakú kertet kerítünk be három oldalról.
A kert parttal párhuzamos oldalának hosszát jeölje x, a partra merőleges oldalak hosszát
jelölje y. Hogyan válaszuk meg x és y értékét ahhoz, hogy a kert területe a lehető legnagyobb
legyen?
megoldás:
A kert kerülete x+2y = 40, amiből x = 40−2y. A terület t = xy = (40−2y)y = 40y −2y 2 .
Ezt teljes négyzetté alakítva
−2y 2 + 40y = −2(y 2 − 20y) = −2[(y − 10) 2 − 100] = −2(y − 10) 2 + 200,
ami akkor a legnagyobb, ha y − 10 = 0, azaz ha y = 10. Ekkor x = 40 − 2y = 40 − 20 = 20.
Tehát x = 20 m, és y = 10 m esetén lesz a legnagyobb a kert területe.