Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...

30
3. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x2 − 1
x − 1 függvényt!
megoldás:
Mivel x 2 − 1 = (x − 1)(x + 1), ezért x2 − 1
= x + 1, ha x ≠ 1. Így a függvény x = 1-nél
x − 1
nincs értelmezve, egyébként pedig a képe egy egyenes. Ez az egyenes az x-tengelyt −1-nél,
az y-t 1-nél metszi. Így fel tudjuk rajzolni a képét:
A kép alapján jellemezhetjük a függvényt:
• értelmezési tartomány: x ∈ R \ {1}
• értékkészlet: f(x) ∈ R \ {2}
• monotonitás: szigorúan monoton növekvő
• szélsőérték: nincs
• zérushely: x = −1
• korlátosság: nem korlátos
• paritás: nem páros, nem páratlan
• periodicitás: nem periodikus
• invertálhatóság: invertálható
4. Mi annak az elsőfokú függvénynek a hozzárendelési szabálya, mely áthalad az A(1, 2) és
B(2, 4) ponton?
megoldás:
Elsőfokú függvény általános alakja f(x) = ax + b. Elsőfokú függvény képe egyenes. Mivel
az A(1, 2) pont illeszkedik az egyenesre, ezért behelyettesítve a koordinátákat a 2 = a + b
egyenlethez jutunk. Ugyanakkor a B(2, 4) pont is illeszkedik az egyenesre, így 4 = 2a + b.
A második egyenletből kivonva az elsőt a = 2 adódik, amit visszahelyettesítve például az
első egyenletbe b = 0-hoz jutunk. Így a keresett függvény f(x) = 2x.
5. Az f(x) = ax + b függvényre f(−2) = 5, f(3) = −5. Határozzuk meg az a és b értékeket,
majd ábrázoljuk és elemezzük a kapott függvényt!
megoldás:
A függvény −2 pontbeli helyettesítési értéke 5, ezért 5 = −2a + b, továbbá a 3 pontbeli
helyettesítési érték −5, ezért −5 = 3a+b. A kapott egyenletrendszert megoldva megkapjuk
az a és b értékeket. A két egyenletet kivonva egymásból 10 = −5a adódik, amiből a = −2.
Ezt visszahelyettesítve például az első egyenletbe azt kapjuk, hogy b = 1. Tehát a keresett