Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...

28
7. Igazak-e az alábbi állítások?
a) Van olyan, a teljes valós számok halmazán értelmezett szigorúan monoton növekvő függvény,
amely páros.
b) Van olyan, a teljes valós számok halmazán értelmezett szigorúan monoton növekvő függvény,
amely páratlan.
c) Létezik a teljes valós számok halmazán értelmezett pozitív értékű páros függvény.
d) Létezik a teljes valós számok halmazán értelmezett pozitív értékű páratlan függvény.
e) Van olyan függvény, mely páros és páratlan is.
megoldás:
a) Hamis.
b) Igaz, például f(x) = x.
c) Igaz, például f(x) = x 2 + 1.
d) Hamis.
e) Igaz, például az azonosan nulla függvény.
8. Lehet-e az alábbi görbe egy szám-szám függvény képe?
megoldás:
Nem lehet szám-szám függvény képe, mert egy x értékhez több y is tartozik.
9. ⋆ Bizonyítsuk be, hogy nem létezik olyan, a valós számok halmazán értelmezett függvény,
melyre f(x) + f(1 − x) = 1 − x.
megoldás:
Ha x = 0, akkor
azaz f(0) + f(1) = 1.
Ha x = 1, akkor
f(0) + f(1 − 0) = 1 − 0,
f(1) + f(1 − 1) = 1 − 1,
azaz f(1) + f(0) = 0. Így ellentmondáshoz jutottunk.