Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...
Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ... Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...
26 III. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 1. (hatványfüggvények) 10. Függvénytani alapfogalmak 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? a) Minden emberhez hozzárendeljük a magasságát. b) Minden természtes számhoz hozzárendeljük a nála 1-el nagyobb természetes számot. c) Minden számhoz hozzárendeljük a négyzetét. d) Minden osztályzathoz hozzárendeljük azokat a diákokat, akiknek az év végi matematika jegye az adott osztályzat. (Feltételezzük, hogy az osztálynak legalább 6 tanulója van.) e) Minden valós számhoz hozzárendeljük a felét. megoldás: A d) nem függvény, mert egy osztályzat több diákhoz is tartozhat. egyértelmű, így azok függvények. A többi leképzés 2. Határozzuk meg az alábbi függvény értelmezési tartományát és értékkészletét! megoldás: Értelmezési tartomány: x ∈ [4, 13[, értékkészlet y ∈ [3, 8[. 3. Adott az ABC háromszög AB és AC oldala, AB = 10 cm, AC = 6 cm. A két oldal által bezárt ϕ szöghöz rendeljük hozzá a háromszög területét. Mi lesz az így kapott függvény értelmezési tartománya és értékkészlete? megoldás: Egy háromszög területe a háromszög két oldalának és az általuk bezárt szög szinuszának szorzatának a fele. Így a keresett függvény: t(ϕ) = 10 · 6 · sin ϕ 2 = 30 · sin ϕ. Így az értelmezési tartománya 0 ◦ < x < 180 ◦ , értékkészlete 0 < y < 30.
4. Legyen f(x) = x 2 + 3x − 4. Számoljuk ki az valós számok! megoldás: Mivel továbbá ezért f(b) − f(a) b − a = b2 − a 2 + 3b − 3a b − a f(b) − f(a) b − a f(b) = b 2 + 3b − 4, f(a) = a 2 + 3a − 4, 27 hányadost, ha a és b különböző = (b2 + 3b − 4) − (a 2 + 3a − 4) = b2 + 3b − 4 − a 2 − 3a + 4 = b − a b − a (b − a)(b + a) + 3(b − a) (b − a)(b + a + 3) = = b − a b − a = a + b + 3. 5. Legyen f(x) = 2x − x 2 . Számoljuk ki az f(a + 3) − f(a − 3) értéket, ha a ∈ R tetszőleges. megoldás: Mivel továbbá ezért f(a + 3) = 2(a + 3) − (a + 3) 2 = 2a + 6 − (a 2 + 6a + 9) = = 2a + 6 − a 2 − 6a − 9 = −a 2 − 4a − 3, f(a − 3) = 2(a − 3) − (a − 3) 2 = 2a − 6 − (a 2 − 6a + 9) = = 2a − 6 − a 2 + 6a − 9 = −a 2 + 8a − 15, f(a + 3) − f(a − 3) = −a 2 − 4a − 3 − (−a 2 + 8a − 15) = = −a 2 − 4a − 3 + a 2 − 8a + 15 = −12a + 12. 6. Legyen f(x) = 4 − x 2 . Számoljuk ki az f(b − 2) − f(b + 2) értéket, ha b ∈ R tetszőleges. megoldás: Mivel továbbá ezért f(b − 2) = 4 − (b − 2) 2 = 4 − (b 2 − 4b + 4) = = 4 − b 2 + 4b − 4 = −b 2 + 4b = −b(b − 4), f(b + 2) = 4 − (b + 2) 2 = 4 − (b 2 + 4b + 4) = = 4 − b 2 − 4b − 4 = −b 2 − 4b = −b(b + 4), f(b − 2) − f(b + 2) = −b 2 + 4b − (−b 2 − 4b) = −b 2 + 4b + b 2 + 4b = 8b.
- Page 1 and 2: Matematika és geometria feladatok
- Page 3 and 4: Tartalomjegyzék 1. Hatványozás a
- Page 5 and 6: 5 3. A hatványozás azonosságaina
- Page 7 and 8: 7 A hatványozás azonosságait fel
- Page 9 and 10: a) ( √ 7 + √ 13+ √ 7 − √
- Page 11 and 12: 11 8. Írjuk fel egyetlen gyökjel
- Page 13 and 14: 13 adódik. Behelyettesítve a c é
- Page 15 and 16: 15 4. Adjuk meg a √ 4 log 16 9 ki
- Page 17 and 18: 17 a) (a + 3)(a − 3) = a 2 − 9
- Page 19 and 20: ) c) d) e) f) 5∏ (2n+1) = (2·1+1
- Page 21 and 22: 21 7. Számok normálalakja 2. Adju
- Page 23 and 24: Ennek akkor a legnagyobb az érték
- Page 25: 5. Mekkora összeget helyezzünk el
- Page 29 and 30: 29 11. Elsőfokú függvények 1. E
- Page 31 and 32: függvény f(x) = −2x + 1. Ez a f
- Page 33 and 34: 33 12. Abszolútértékés függvé
- Page 35 and 36: 35 5. Ábrázoljuk az f(x) = |x| +
- Page 37 and 38: 37 13. Másodfokú függvények 1.
- Page 39 and 40: 39 Az 1 perc alatt megtett út b) A
- Page 41 and 42: 41 7. Ábrázoljuk és jellemezzük
- Page 43 and 44: 43 Ezt ábrázolva: A pálya legmag
- Page 45 and 46: 45 14. Négyzetgyök függvény 1.
- Page 47 and 48: 47 15. Racionális törtfüggvénye
- Page 49 and 50: 49 A kép alapján jellemezhetjük
- Page 51 and 52: 51 IV. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EG
- Page 53 and 54: 53 17. Elsőfokú egyenlőtlensége
- Page 55 and 56: 55 ami azonosság, így az egyenlő
- Page 57 and 58: 4. Oldjuk meg a pozitív számok ha
- Page 59 and 60: 59 egyenlőtlenséget a valós szá
- Page 61 and 62: 61 V. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EGY
- Page 63 and 64: 63 A kép alapján jellemezhetjük
- Page 65 and 66: 65 • értelmezési tartomány: x
- Page 67 and 68: 67 f) A jobb oldalon a 1 -et 3 hatv
- Page 69 and 70: megoldás: Az exponenciális egyenl
- Page 71 and 72: 71 24. Exponenciális egyenlőtlens
- Page 73 and 74: 73 25. Logaritmikus egyenletek és
- Page 75 and 76: 75 VII. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, E
4. Legyen f(x) = x 2 + 3x − 4. Számoljuk ki az<br />
valós számok!<br />
megoldás:<br />
Mivel<br />
továbbá<br />
ezért<br />
f(b) − f(a)<br />
b − a<br />
= b2 − a 2 + 3b − 3a<br />
b − a<br />
f(b) − f(a)<br />
b − a<br />
f(b) = b 2 + 3b − 4,<br />
f(a) = a 2 + 3a − 4,<br />
27<br />
hányadost, ha a és b különböző<br />
= (b2 + 3b − 4) − (a 2 + 3a − 4)<br />
= b2 + 3b − 4 − a 2 − 3a + 4<br />
=<br />
b − a<br />
b − a<br />
(b − a)(b + a) + 3(b − a) (b − a)(b + a + 3)<br />
= =<br />
b − a<br />
b − a<br />
= a + b + 3.<br />
5. Legyen f(x) = 2x − x 2 . Számoljuk ki az f(a + 3) − f(a − 3) értéket, ha a ∈ R tetszőleges.<br />
megoldás:<br />
Mivel<br />
továbbá<br />
ezért<br />
f(a + 3) = 2(a + 3) − (a + 3) 2 = 2a + 6 − (a 2 + 6a + 9) =<br />
= 2a + 6 − a 2 − 6a − 9 = −a 2 − 4a − 3,<br />
f(a − 3) = 2(a − 3) − (a − 3) 2 = 2a − 6 − (a 2 − 6a + 9) =<br />
= 2a − 6 − a 2 + 6a − 9 = −a 2 + 8a − 15,<br />
f(a + 3) − f(a − 3) = −a 2 − 4a − 3 − (−a 2 + 8a − 15) =<br />
= −a 2 − 4a − 3 + a 2 − 8a + 15 = −12a + 12.<br />
6. Legyen f(x) = 4 − x 2 . Számoljuk ki az f(b − 2) − f(b + 2) értéket, ha b ∈ R tetszőleges.<br />
megoldás:<br />
Mivel<br />
továbbá<br />
ezért<br />
f(b − 2) = 4 − (b − 2) 2 = 4 − (b 2 − 4b + 4) =<br />
= 4 − b 2 + 4b − 4 = −b 2 + 4b = −b(b − 4),<br />
f(b + 2) = 4 − (b + 2) 2 = 4 − (b 2 + 4b + 4) =<br />
= 4 − b 2 − 4b − 4 = −b 2 − 4b = −b(b + 4),<br />
f(b − 2) − f(b + 2) = −b 2 + 4b − (−b 2 − 4b) = −b 2 + 4b + b 2 + 4b = 8b.
Change language