Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...
Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ... Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...
22 8. Középértékek 1. Határozzuk meg a 9 és 16 számok számtani és mértani közepét! megoldás: A két szám számtani közepe : mértani közepük A(9; 16) = 9 + 16 2 = 25 2 = 12, 5, G(9; 16) = √ 9 · 16 = √ 9 · √16 = 3 · 4 = 12. 2. Egy egyetemi hallgató a félév végén 8 tantárgyat, összesen 27 kreditet teljesített. A vizsgajegyei: 2 db 2 kredites 4-es, 3 db 5 kredites 3, 1 db 1 kredites 4-es, 1 db 1 kredites 2-es, és 1 db 6 kredites 5-ös. Számoljuk ki a hallgató súlyozott tanulmányi átlagát! megoldás: Súlyozott (ahol a súlyok a kreditek) számtani közepet kell számolnunk: 2 · 2 · 4 + 3 · 5 · 3 + 1 · 1 · 4 + 1 · 1 · 2 + 1 · 6 · 5 16 + 45 + 4 + 2 + 30 = 27 30 = 97 27 ≈ 3, 6. 3. Két pozitív szám összege 10. Határozzuk meg a két számot úgy, hogy szorzatuk maximális legyen. 1. megoldás: Legyenek a keresett számok x és y. Ekkor a feltétel szerint x + y = 10. Az x és y számok számtani közepe x + y 2 = 10 2 = 5, mértani közepük √ xy. Az xy kifejezés értéke pontosan akkor maximális, ha a √ xy értéke maximális a négyzetgyök függvény szigorú monotonitása miatt. A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség miatt 5 = x + y ≥ √ xy, 2 tehát xy ≤ 25, és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x = y, azaz 2x = 10, tehát x = 5. Így a keresett két szám x = 5 és y = 5. 2. megoldás: Legyenek a keresett számok x és y. Ekkor a feltétel szerint x+y = 10. Keressük az x-et és az y-t úgy, hogy xy maximális legyen. Az x+y = 10 feltételből y-t kifejezve y = 10−x adódik. Ezt behelyettesítve az xy kifejezésbe azt kapjuk, hogy x(10 − x). Felbontva a zárójelet a 10x − x 2 kifejezéshez jutunk. Ezt teljes négyzetté alakítva −(x 2 − 10x) = −(x − 5) 2 + 25.
Ennek akkor a legnagyobb az értéke, ha (x − 5) 2 a legkisebb, azaz ha 0, ami csak akkor lehet, ha x = 5. Ebből y = 10 − 5 = 5. Így a két szám x = 5 és y = 5. 23
- Page 1 and 2: Matematika és geometria feladatok
- Page 3 and 4: Tartalomjegyzék 1. Hatványozás a
- Page 5 and 6: 5 3. A hatványozás azonosságaina
- Page 7 and 8: 7 A hatványozás azonosságait fel
- Page 9 and 10: a) ( √ 7 + √ 13+ √ 7 − √
- Page 11 and 12: 11 8. Írjuk fel egyetlen gyökjel
- Page 13 and 14: 13 adódik. Behelyettesítve a c é
- Page 15 and 16: 15 4. Adjuk meg a √ 4 log 16 9 ki
- Page 17 and 18: 17 a) (a + 3)(a − 3) = a 2 − 9
- Page 19 and 20: ) c) d) e) f) 5∏ (2n+1) = (2·1+1
- Page 21: 21 7. Számok normálalakja 2. Adju
- Page 25 and 26: 5. Mekkora összeget helyezzünk el
- Page 27 and 28: 4. Legyen f(x) = x 2 + 3x − 4. Sz
- Page 29 and 30: 29 11. Elsőfokú függvények 1. E
- Page 31 and 32: függvény f(x) = −2x + 1. Ez a f
- Page 33 and 34: 33 12. Abszolútértékés függvé
- Page 35 and 36: 35 5. Ábrázoljuk az f(x) = |x| +
- Page 37 and 38: 37 13. Másodfokú függvények 1.
- Page 39 and 40: 39 Az 1 perc alatt megtett út b) A
- Page 41 and 42: 41 7. Ábrázoljuk és jellemezzük
- Page 43 and 44: 43 Ezt ábrázolva: A pálya legmag
- Page 45 and 46: 45 14. Négyzetgyök függvény 1.
- Page 47 and 48: 47 15. Racionális törtfüggvénye
- Page 49 and 50: 49 A kép alapján jellemezhetjük
- Page 51 and 52: 51 IV. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EG
- Page 53 and 54: 53 17. Elsőfokú egyenlőtlensége
- Page 55 and 56: 55 ami azonosság, így az egyenlő
- Page 57 and 58: 4. Oldjuk meg a pozitív számok ha
- Page 59 and 60: 59 egyenlőtlenséget a valós szá
- Page 61 and 62: 61 V. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EGY
- Page 63 and 64: 63 A kép alapján jellemezhetjük
- Page 65 and 66: 65 • értelmezési tartomány: x
- Page 67 and 68: 67 f) A jobb oldalon a 1 -et 3 hatv
- Page 69 and 70: megoldás: Az exponenciális egyenl
- Page 71 and 72: 71 24. Exponenciális egyenlőtlens
Ennek akkor a legnagyobb az értéke, ha (x − 5) 2 a legkisebb, azaz ha 0, ami csak akkor<br />
lehet, ha x = 5. Ebből y = 10 − 5 = 5. Így a két szám x = 5 és y = 5.<br />
23
Change language