Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...

22
8. Középértékek
1. Határozzuk meg a 9 és 16 számok számtani és mértani közepét!
megoldás:
A két szám számtani közepe :
mértani közepük
A(9; 16) = 9 + 16
2
= 25
2
= 12, 5,
G(9; 16) = √ 9 · 16 = √ 9 · √16
= 3 · 4 = 12.
2. Egy egyetemi hallgató a félév végén 8 tantárgyat, összesen 27 kreditet teljesített. A vizsgajegyei:
2 db 2 kredites 4-es, 3 db 5 kredites 3, 1 db 1 kredites 4-es, 1 db 1 kredites 2-es,
és 1 db 6 kredites 5-ös. Számoljuk ki a hallgató súlyozott tanulmányi átlagát!
megoldás:
Súlyozott (ahol a súlyok a kreditek) számtani közepet kell számolnunk:
2 · 2 · 4 + 3 · 5 · 3 + 1 · 1 · 4 + 1 · 1 · 2 + 1 · 6 · 5 16 + 45 + 4 + 2 + 30
=
27
30
= 97
27
≈ 3, 6.
3. Két pozitív szám összege 10. Határozzuk meg a két számot úgy, hogy szorzatuk maximális
legyen.
1. megoldás:
Legyenek a keresett számok x és y. Ekkor a feltétel szerint x + y = 10. Az x és y számok
számtani közepe
x + y
2
= 10
2 = 5,
mértani közepük √ xy. Az xy kifejezés értéke pontosan akkor maximális, ha a √ xy értéke
maximális a négyzetgyök függvény szigorú monotonitása miatt. A számtani és mértani
közép közötti egyenlőtlenség miatt
5 = x + y ≥ √ xy,
2
tehát
xy ≤ 25,
és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x = y, azaz 2x = 10, tehát x = 5. Így a keresett
két szám x = 5 és y = 5.
2. megoldás:
Legyenek a keresett számok x és y. Ekkor a feltétel szerint x+y = 10. Keressük az x-et és az
y-t úgy, hogy xy maximális legyen. Az x+y = 10 feltételből y-t kifejezve y = 10−x adódik.
Ezt behelyettesítve az xy kifejezésbe azt kapjuk, hogy x(10 − x). Felbontva a zárójelet a
10x − x 2 kifejezéshez jutunk. Ezt teljes négyzetté alakítva −(x 2 − 10x) = −(x − 5) 2 + 25.