Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...

11
8. Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével a
√
3
x 3 y √ x 2 y 3
kifejezést!
megoldás:
A hatványozás és gyökvonás azonosságait felhasználva:
√
3
x 3 y √ √ √x6
x 2 y 3 = 3 y 2 x 2 y 3 = 6√ x 8 y 5 .
9. Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével a
√
√
a a √ a
kifejezést!
megoldás:
A hatványozás és gyökvonás azonosságait felhasználva:
√ √
√
√
a a √ √
√a2 √a3
a = a√
· a = a√
= a 4√ √
4√
a 3 = a4 · a 3 = 8√ a 7
10. Végezzük el a
( √ 2 − 3√ 4 + 4√ 8) · √2
műveletet!
megoldás:
Elvégezve a szorzást, majd alkalmazva a gyökvonás azonosságait
( √ 2 − 3√ 4 + 4√ 8) · √2
= √ 2 √ 2 − 3√ 4 √ 2 + 4√ 8 √ 2 = 2 − 6√ 4 2 · 2 3 + 4√ 8 · 2 2 =
= 2 − 6√ 16 · 8 + 4√ 8 · 4 = 2 − 6√ 128 + 4√ 32 = 2 − 6√ 2 7 + 4√ 2 5 =
= 2 − 6√ 2 6 · 2 + 4√ 2 4 · 2 = 2 − 2 · 6√ 2 + 2 · 4√ 2.
11. ⋆ Bizonyítsuk be, hogy √ n (n ∈ N) vagy egész, vagy irracionális szám.
megoldás:
A √ n nyilván lehet egész. Például √ 9, √ 16, stb. Tegyük fel, hogy √ n nem egész, racionális
szám. Ekkor √ n = p , ahol p és q ≠ 1 egész számok. Feltehető, hogy p és q relatív prímek,
q
azaz a tört már nem egyszerűsíthető. Ekkor p és q legnagyobb közös osztója 1: (p, q) = 1.
Másrészt n = p2
q 2 , és mivel (p, q) = 1, ezért (p2 , q 2 ) = 1, mert relatív prímek négyzetei is
relatív prímek. Mivel n természetes szám, ezért q = 1, ami ellentmondás.