Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...
Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ... Feladatgyűjtemény a matematika részhez - DE Műszaki Kar ...
10 b) √ 3 + √ 27 + √ 243 = √ 3 + √ 9 · 3 + √ 81 · 3 = √ 3 + 3 · √3 + 9 · √3 = 13 · √3 c) 3√ 16 + 3√ 54 = 3√ 8 · 2 + 3√ 27 · 2 = 2 · 3√ 2 + 3 · 3√ 2 = 5 · 3√ 2 d) 4√ 32 + 4√ 162 = 4√ 16 · 2 + 4√ 81 · 2 = 2 · 4√ 2 + 3 · 4√ 2 = 5 · 4√ 2 e) 3√ 24 + 3√ 81 = 3√ 8 · 3 + 3√ 27 · 3 = 2 · 3√ 3 + 3 · 3√ 3 = 5 · 3√ 3 f) √ 125 + √ 5 = √ 25 · 5 + √ 5 = 5 · √5 + √ 5 = 6 · √5 6. Írjuk fel gyökjelek segítségével az alábbi hatványokat és adjuk meg a pontos értéket: a) 8 1 3 b) 4 1 2 c) 32 1 5 megoldás: d) 25 3 2 e) 27 4 3 f) 100 − 3 2 g) 8 − 1 3 h) 4 − 1 2 i) 36 − 3 2 a) 8 1 3 = 3√ 8 = 2 b) 4 1 2 = √ 4 = 2 c) 32 1 5 = 5√ 32 = 2 d) 25 3 2 = √ 25 3 = √ 25 2 · 25 = 25 · 5 = 625 e) 27 4 3 = 3√ 27 4 = 3√ 27 3 · 27 = 27 · 3√ 27 = 27 · 3 = 81 f) 100 − 3 2 = 1 = √ 1 100 = 1 √ 3 2 100 3 1002 · 100 = 1 100 · √100 = 1 1000 g) 8 − 1 3 = 1 8 1 3 h) 4 − 1 2 = 1 4 1 2 i) 36 − 3 2 = 1 36 3 2 = √ 1 3 8 = 1 2 = √ 1 = 1 4 2 = 1 √ 36 3 = 1 √ 362 · 36 = 1 36 · √36 = 1 36 · 6 = 1 216 7. Írjuk fel törtkitevőjű hatványok segítségével az alábbi gyököket: a) 3√ a b) 4√ x 3 c) √ a 3 d) 5√ x 11 e) 7√ x megoldás: f) √ x 9 a) 3√ a = a 1 3 b) 4√ x 3 = x 3 4 c) √ a 3 = a 3 2 d) 5√ x 11 = x 11 5 e) 7√ x = x 1 7 f) √ x 9 = x 9 2
11 8. Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével a √ 3 x 3 y √ x 2 y 3 kifejezést! megoldás: A hatványozás és gyökvonás azonosságait felhasználva: √ 3 x 3 y √ √ √x6 x 2 y 3 = 3 y 2 x 2 y 3 = 6√ x 8 y 5 . 9. Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével a √ √ a a √ a kifejezést! megoldás: A hatványozás és gyökvonás azonosságait felhasználva: √ √ √ √ a a √ √ √a2 √a3 a = a√ · a = a√ = a 4√ √ 4√ a 3 = a4 · a 3 = 8√ a 7 10. Végezzük el a ( √ 2 − 3√ 4 + 4√ 8) · √2 műveletet! megoldás: Elvégezve a szorzást, majd alkalmazva a gyökvonás azonosságait ( √ 2 − 3√ 4 + 4√ 8) · √2 = √ 2 √ 2 − 3√ 4 √ 2 + 4√ 8 √ 2 = 2 − 6√ 4 2 · 2 3 + 4√ 8 · 2 2 = = 2 − 6√ 16 · 8 + 4√ 8 · 4 = 2 − 6√ 128 + 4√ 32 = 2 − 6√ 2 7 + 4√ 2 5 = = 2 − 6√ 2 6 · 2 + 4√ 2 4 · 2 = 2 − 2 · 6√ 2 + 2 · 4√ 2. 11. ⋆ Bizonyítsuk be, hogy √ n (n ∈ N) vagy egész, vagy irracionális szám. megoldás: A √ n nyilván lehet egész. Például √ 9, √ 16, stb. Tegyük fel, hogy √ n nem egész, racionális szám. Ekkor √ n = p , ahol p és q ≠ 1 egész számok. Feltehető, hogy p és q relatív prímek, q azaz a tört már nem egyszerűsíthető. Ekkor p és q legnagyobb közös osztója 1: (p, q) = 1. Másrészt n = p2 q 2 , és mivel (p, q) = 1, ezért (p2 , q 2 ) = 1, mert relatív prímek négyzetei is relatív prímek. Mivel n természetes szám, ezért q = 1, ami ellentmondás.
- Page 1 and 2: Matematika és geometria feladatok
- Page 3 and 4: Tartalomjegyzék 1. Hatványozás a
- Page 5 and 6: 5 3. A hatványozás azonosságaina
- Page 7 and 8: 7 A hatványozás azonosságait fel
- Page 9: a) ( √ 7 + √ 13+ √ 7 − √
- Page 13 and 14: 13 adódik. Behelyettesítve a c é
- Page 15 and 16: 15 4. Adjuk meg a √ 4 log 16 9 ki
- Page 17 and 18: 17 a) (a + 3)(a − 3) = a 2 − 9
- Page 19 and 20: ) c) d) e) f) 5∏ (2n+1) = (2·1+1
- Page 21 and 22: 21 7. Számok normálalakja 2. Adju
- Page 23 and 24: Ennek akkor a legnagyobb az érték
- Page 25 and 26: 5. Mekkora összeget helyezzünk el
- Page 27 and 28: 4. Legyen f(x) = x 2 + 3x − 4. Sz
- Page 29 and 30: 29 11. Elsőfokú függvények 1. E
- Page 31 and 32: függvény f(x) = −2x + 1. Ez a f
- Page 33 and 34: 33 12. Abszolútértékés függvé
- Page 35 and 36: 35 5. Ábrázoljuk az f(x) = |x| +
- Page 37 and 38: 37 13. Másodfokú függvények 1.
- Page 39 and 40: 39 Az 1 perc alatt megtett út b) A
- Page 41 and 42: 41 7. Ábrázoljuk és jellemezzük
- Page 43 and 44: 43 Ezt ábrázolva: A pálya legmag
- Page 45 and 46: 45 14. Négyzetgyök függvény 1.
- Page 47 and 48: 47 15. Racionális törtfüggvénye
- Page 49 and 50: 49 A kép alapján jellemezhetjük
- Page 51 and 52: 51 IV. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EG
- Page 53 and 54: 53 17. Elsőfokú egyenlőtlensége
- Page 55 and 56: 55 ami azonosság, így az egyenlő
- Page 57 and 58: 4. Oldjuk meg a pozitív számok ha
- Page 59 and 60: 59 egyenlőtlenséget a valós szá
10<br />
b) √ 3 + √ 27 + √ 243 = √ 3 + √ 9 · 3 + √ 81 · 3 = √ 3 + 3 · √3<br />
+ 9 · √3<br />
= 13 · √3<br />
c) 3√ 16 + 3√ 54 = 3√ 8 · 2 + 3√ 27 · 2 = 2 · 3√ 2 + 3 · 3√ 2 = 5 · 3√ 2<br />
d) 4√ 32 + 4√ 162 = 4√ 16 · 2 + 4√ 81 · 2 = 2 · 4√ 2 + 3 · 4√ 2 = 5 · 4√ 2<br />
e) 3√ 24 + 3√ 81 = 3√ 8 · 3 + 3√ 27 · 3 = 2 · 3√ 3 + 3 · 3√ 3 = 5 · 3√ 3<br />
f) √ 125 + √ 5 = √ 25 · 5 + √ 5 = 5 · √5<br />
+ √ 5 = 6 · √5<br />
6. Írjuk fel gyökjelek segítségével az alábbi hatványokat és adjuk meg a pontos értéket:<br />
a) 8 1 3<br />
b) 4 1 2<br />
c) 32 1 5<br />
megoldás:<br />
d) 25 3 2<br />
e) 27 4 3<br />
f) 100 − 3 2<br />
g) 8 − 1 3<br />
h) 4 − 1 2<br />
i) 36 − 3 2<br />
a) 8 1 3 = 3√ 8 = 2<br />
b) 4 1 2 = √ 4 = 2<br />
c) 32 1 5 = 5√ 32 = 2<br />
d) 25 3 2 = √ 25 3 = √ 25 2 · 25 = 25 · 5 = 625<br />
e) 27 4 3 = 3√ 27 4 = 3√ 27 3 · 27 = 27 · 3√ 27 = 27 · 3 = 81<br />
f) 100 − 3 2 = 1 = √ 1<br />
100 = 1<br />
√ 3<br />
2 100<br />
3 1002 · 100 = 1<br />
100 · √100 = 1<br />
1000<br />
g) 8 − 1 3 = 1<br />
8 1 3<br />
h) 4 − 1 2 = 1<br />
4 1 2<br />
i) 36 − 3 2 = 1<br />
36 3 2<br />
= √ 1 3<br />
8 = 1 2<br />
= √ 1 = 1 4 2<br />
= 1 √<br />
36<br />
3 = 1<br />
√<br />
362 · 36 = 1<br />
36 · √36 = 1<br />
36 · 6 = 1<br />
216<br />
7. Írjuk fel törtkitevőjű hatványok segítségével az alábbi gyököket:<br />
a) 3√ a<br />
b) 4√ x 3 c) √ a 3<br />
d) 5√ x 11 e) 7√ x<br />
megoldás:<br />
f) √ x 9<br />
a) 3√ a = a 1 3<br />
b) 4√ x 3 = x 3 4<br />
c) √ a 3 = a 3 2<br />
d) 5√ x 11 = x 11 5<br />
e) 7√ x = x 1 7<br />
f) √ x 9 = x 9 2
Change language