HEFOP

EURÓPAI UNIÓ
STRUKTURÁLIS ALAPOK
H
I
D
R
A
U
L
I
K
A
II.
BMEEOVVAI12 segédlet a BME Építőmérnöki Kar hallgatói részére
„Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése”
HEFOP/2004/3.3.1/0001.01

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A tantárgy jegyzete: Starosolszky Ö., Vízépítési Hidraulika, Műszaki Könyvkiadó,
Budapest, 1970.
1. Szabad felszínű, permanens, fokozatosan változó vízmozgások
felszíngörbéjének vizsgálata I.
Bevezető áttekintés: Permanens vízmozgások osztályozása a térbeli változás mértéke
alapján
További (kvázi)-permanens áramlási jelenség: A vízugrás környezete, mint hirtelen
változó, kvázi-permanens alakú vízfelszín
1

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Szabadfelszínű permanens vízmozgások típusai a térbeli változás mértéke alapján egy
hossz mentén összetett vízfolyáson ábrázolva
H F F H F H F H F
Fokozatosan változó: F
Hirtelen változó: H
A vízfolyás elemi hosszúságú jellemző szakasza
S
S e
α 2
2
v2
2g
A 1
A 2
S 0
S 0 dx
a
A hidrosztatikus viszonyok fennállásának feltétele: < 0, 02 , amikor is a fokozatosan
g
változó vízmozgást leíró egyenletek alkalmazhatók.
2

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A fokozatosan változó vízmozgás leírása a Bernoulli-egyenlettel
Bernoulli-egyenlet két szomszédos szelvény közötti energia(magasság)-mérlegként:
2
p0
v1
p0
z1 + + α1
= z2
+ + α2
γ 2g
γ
2
v2
+ ∆
2g
h v
ahol a helyzeti és a mozgási energia megváltozása tart egyensúlyt az energiadisszipációval:
,
z
2
2
α2v2
− z1
+
2g
2
α1v1
−
2g
= ∆e
= −∆
h v
.
Figyelembe véve, hogy
z
1
= h1
+ S0∆x
,
2
h2
z = , α α = α
1
≈ 2
,
2
αv2
h2
− h1
− S0∆x
+
2g
2
αv1
−
2g
= ∆e
= −∆
h v
.
Az energiaszint elemi megváltozásának felírása a helyzeti és a mozgási energia valamint
a fenékszint elemi megváltozásával:
∆e
= −∆h
v
=
α 2 2
( h − h ) + ( v − v )
2
2g
2
2
⎛ αv
⎞ ⎛ αv
∆h
+ ∆⎜
⎟ − S0∆x
= ∆⎜h
+
⎝ 2g
⎠ ⎝ 2g
1
2
1
− S ∆x
=
⎞
⎟ −
⎠
0
S ∆x
0
Az energiavonal relatív esése kifejezhető az alábbi differenciahányadosokkal:
2
⎛ v ⎞
∆⎜h
+ α ⎟
∆e ∆h
2g
v
= − =
⎝ ⎠
− S
∆x
∆x
∆x
0
Határátmenetet követően az energiavonal relatív esésének kifejezése differenciálhányadosokkal:
d
d x
d
d x
d ⎛
h
d x ⎝
v ⎞
⎟
2g
⎠
2
e hv = − = ⎜ + α −
Bevezetve a
d
d x
h
v =
2
d h α d v
+ = S0
−
d x 2g
d x
S
e
S e
S
0
helyettesítést, átrendezéssel:
3

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A további vizsgálatokat az egyszerűség kedvéért prizmatikus, téglalapszelvényű mederre
korlátozva
alkalmazva:
A = A( h) = Bh
. Az áramlás folytonossági összefüggése: Q = Av, amit
2 2
Q Q
2 Q Q
v = = , illetve négyzetre emelve v = = .
2 2 2
A Bh
A B h
A sebességi tagot a differenciálszámítás szabályai szerint átalakítva:
2
α d v
2g
d x
2
⎛ Q
d⎜
2
α B h
=
⎝
2g
d x
2
⎞
⎟
2
⎠ αQ
=
2
2gB
−2
( h )
d
d x
2
αQ
= −
2
gB h
3
d h
d x
2
αv
= −
gh
d h
.
d x
Bevezetve az Fr Froude-számot:
kifejezés új alakja:
2
αv
gh
= Fr
2
, aminek felhasználásával a fenti utolsó
2
v
− α
gh
d h
d x
d h
= − Fr
d x
2
, és ezt alkalmazva a differenciálegyenletben, kapjuk:
d h
d x
2
α d v d h d h
= − Fr
2g
d x d x d x
d h
=
d x
2
( 1−
Fr ) = S − Se
2
+
0
További kisebb átrendezéssel a prizmatikus, téglalapszelvényű medrekben kialakuló
szabadfelszínű, permanens, fokozatosan változó vízmozgás differenciálegyenlete a
d h
d x
S − S
1−
Fr
0 e
=
2
kompakt alakot ölti.
Az energiavonal relatív esését közelíthetjük a Chézy-féle összefüggéssel:
.
d h
d x
= S = S S , v = C RS ,
v
e
=
0
v
= .
C R
S e 2
2
Permanens, egyenletes vízmozgás esetén S
0
− S e
= 0 , széles mederre v = C hS0
, és az
ezt kielégítő
h = h 0
vízmélységet a vízmozgás ún. normál mélységének nevezzük.
A Braun-görbe alapján a vízmozgás kritikus mélysége és fenékesése, bevezetve a
fajlagos vízhozamot:
Q
q =
B
2
q d e
e = + h , = 0 →
2
2gh
d h
2
q
h = 3 kr
→
kr
= ghkr
→
g
g
S kr
= .
C
v
0 2
4

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
2. Szabad felszínű, permanens, fokozatosan változó vízmozgások
felszíngörbéjének vizsgálata II.
Az áramlási állapotok és a felszíngörbék osztályozása (3 vízmélység- és 5 fenékeséstípus
megkülönböztetése)
Az
2
αv
gh
= Fr
2
Froude-szám alapján való vízmélység-osztályozás:
Fr hkr
Fr >1→ h < hkr
Fr =1→ h = hkr
Ezt kombinálva a az adott fenékeséssel, pontosabban annak kritikus fenékeséshez való
viszonyával, az alábbi osztályozáshoz jutunk:
S
0
> - Kis fenékesésű, áramló, fokozatosan változó (Mild slope, M)
< S0kr → h0
h kr
S
0
< - Nagy fenékesésű, rohanó, fokozatosan változó (Steep slope, S)
> S0kr → h0
h kr
S
0
= - Kritikus fenékesésű (Critical slope, C)
= S0kr → h0
h kr
S = 0 0
- Vízszintes fenekű (Horizontal slope, H)
S < 0 0
- Ellentétes fenékesésű (Adverse slope, A)
Áramló állapotú, fokozatosan változó vízmozgás, M
S >
0
< S0kr → h0
h kr
A vízmozgás alapvetően áramló, de az alsó határfeltételek befolyásolják az állapotát.
M1 :
d h
h > h0 > h kr
> 0
d x
M2 :
d h
h0 > h > h kr
≤ 0
d x
M3 :
d h
h < hkr
< h0 , > 0
d x
5

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
M1
h 1
h 2
h 3
M2
M3
Az alsó szelvény vízmélysége nagyobb, mint a normál mélység: duzzasztási görbe,
lassuló vízmozgás, M1
A alsó szelvény vízmélysége kisebb, mint a normál mélység: süllyedési görbe, gyorsuló
vízmozgás, M2
6

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A szelvény kontrahált vízmélysége kisebb, mint a kritikus mélység: duzzasztási görbe,
lassuló vízmozgás, M3
Rohanó állapotú, fokozatosan változó vízmozgás, S
S <
0
> S0kr → h0
h kr
A vízmozgás alapvetően rohanó, de az alsó határfeltételek befolyásolják az állapotát.
S1 :
d h
h > hkr
> h0 , > 0
d x
S2 :
d h
h kr
> h > h0 , ≤ 0
d x
d h
: h < h0 < hkr
, > 0
d x
S3 S1
S2
h 1
h 3
h 2
S3
7

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A rohanó vízmozgás a kritikus mélység vízugráson keresztüli átlépése után áramlóba
megy át: duzzasztási görbe, lassuló vízmozgás, S1
Az áramló vízmozgás a kritikus mélység átlépése után rohanóba megy át: süllyedési
görbe, gyorsuló vízmozgás, S2
A rohanó vízmozgás a kontrahált szelvényt követően rohanó állapotban marad:
duzzasztási görbe, lassuló vízmozgás, S3
8

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
További, a gyakorlatban ritkábban előforduló felszíngörbe-típusok:
Kritikus állapotú, fokozatosan változó vízmozgás, C
Vízszintes fenekű, fokozatosan változó vízmozgás, H
Ellentétes fenékesésű, fokozatosan változó vízmozgás, A
A permanens, fokozatosan változó felszíngörbék táblázatba foglalt alaptípusai
1 2 3
M
h 0 hkr
h 0
h 0
h kr
h kr
S
h kr
h kr h kr
h 0
h 0
h 0
C
h 0
=h kr
h 0
=h kr
h 0
=h kr
H
nem létezik
h 0
h kr
h 0
h kr
h 0
h kr
A
nem létezik
h kr
h kr
h kr
9

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
3. Műtárgyak hidraulikája I.
Vízszintszabályozó műtárgyak:
- Bukók típusai, jellemzőinek számítása
- Szabad és alulról befolyásolt átbukás számítása
- Zsilipek, szabad és alulról befolyásolt átfolyás
- Felszíni vizeinkben (vízfolyások, mesterséges csatornák, tavak, tározók) a vízszint
szabályozása
- Az átfolyó, kifolyó vagy befolyó vízmennyiség szabályozása
- Fix és mozgatható bukók
- Mozgatható zsilipek
Osztályozás a bukógát alakja (profilja) alapján:
a. élesszélű
b. széleskoronájú
c. hidraulikus profilú
d. gyakorlati profilú
10

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Osztályozás a bukógát alaprajzi vonalazása és az áramlás irányának egymáshoz
viszonyított helyzete alapján:
a. merőleges b. ferde c. tört
d. íves e. oldalbukó f. körbukó
Osztályozás a víz bukóhoz való hozzáfolyásának jellege alapján:
a. oldalkontrakció nélküli (B = b)
b. oldalkontrakciós (b < B)
11

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Osztályozás az átbukó sugár alvízhez kapcsolódása alapján:
a. szabad, alulról nem befolyásolt átbukás
b. beduzzasztott, alulról befolyásolt átbukás
Tökéletes átbukású, oldalkontrakció nélküli, élesszélű bukógát: Bazin-féle bukógát
2
Poleni (1717) általános bukóképlete: Q = µ bh 2gh
.
3
Példa a vízhozam-tényező kísérleti becslésére:
h [m] 0,035 0,088 0,122
µ 0,660 0,639 0,633
2
Bevezetve az m = 0
µ átbukási tényezőt, általános esetben:
3
⎛
h b
⎞
m
0
= f ⎜bukóprofil,
h,
, , átbukás jellege⎟
.
⎝
M B
⎠
Pl. Bazin képlete saját bukótípusára (b < 2m; M < 1,13m; h < 1,24m):
2
⎛ 0,003⎞⎡
⎛ h ⎞ ⎤
m
0
= ⎜0,405
+ ⎟⎢1
+ 0, 55⎜
⎟ ⎥ .
⎝ h ⎠⎢⎣
⎝ h + M ⎠ ⎥⎦
12

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Téglalap-szelvényű, élesszélű, oldalkontrakciós bukógát: Poncelet-féle bukógát
Pl. a Hégly által javasolt vízhozam-tényező képlet (h/b < 0,13):
⎛ 0,0027 B − b ⎞⎡
⎛
µ = ⎜0,405
+ − 0,03 ⎟⎢1
+ 0,55⎜
⎝ h B ⎠⎢⎣
⎝
b
B
2
⎞ ⎛ h
⎟ ⎜
⎠ ⎝ h + M
Egyenlőszárú derékszögű háromszög-szelvényű Thomson-féle bukógát
Széles vízhozam-tartomány pontos mérésére
2
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎥⎦
8 α 5 2
A vízhozam-számítás képlete: Q = µ tg 2gh
, rövidebben
15 2
Példa a bukó-konstans kísérleti meghatározására:
h [m] 0,05 0,075 0,10 0,175 0,25
C [m1/2/s] 1,427 1,408 1,398 1,382 1,375
5 2
Q = Ch .
A Thomson-bukó tulajdonképpen saját hidraulikai kismintáját képezi, hiszen a geometriai
hasonlóságot minden vízhozamra megtartja. Kis vízhozamoknál ez nagy relatív
pontosságot eredményez.
13

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Trapézszelvényű Cipoletti-féle bukógát
Bizonyos arányok betartásával (b ≥ 3h, M ≥ 3h, s ≥ 2h, tgα = 1/4) vízhozam-tényezője
közel állandó:
Q =
3 2
3 2
= 0,42b
2gh
1,86bh
.
Hidraulikus profilú bukógát
Alapelv: a bukó hátlapja az átbukó vízsugár alsó határvonalát követi
2
Élesszélű bukóra általánosan: Q = µ bh 2gh
, ahol µ = 0 ,61÷
0, 62 .
3
Az átbukási magasság különböző értelmezése folytán a hidraulikus profilú bukó
vízhozam-tényezője nagyobb, mint a hozzá tartozó élesszélűé:
2
Q µ 2
3
é =
ébhé
ghé
h
0
< hé
2
Q µ
3
0
=
0bh0
2gh0
Q
0
= Qé
µ > µ
3 2 3 2
µ é
h é
= µ
0h0
0 é
h
8
9
≈ 0
h ≈ 0, 74
é
0
µ 14

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A hidraulikus profil alakjának közelítő számítása, mint a pálya mentén vékonyodó
vízsugarú vízszintes hajítás (Q és h függvényében):
Átbukó vízmagasság
2 Q 3Q
≈ h , amiből a sugár vízszintes sebessége v x
= =
3
A 2 hb .
A vízsugár x távolságban érvényes
g
2 t
2
y = koordinátájának meghatározása:
x g x
t = , y = .
v x
2
2 v 2 x
Mindebből az adott helyen kialakuló sugárvastagság:
2 2 2
v y
= 2 gy → v = v + v = v + gy → d =
x y x
2
Átbukási tényező korrekciója a tervezésitől eltérő átbukási magasság és vízhozam
esetén
h ≠ h 0
→ Q ≠ Q 0
, m 2 ⎛ h
0
= µ 0
,
3
⎟ ⎞
m =
⎜
0
f .
⎝ h0
⎠
Pl. Pavlovszkij kísérletei alapján:
Q
bv
h
h 0
h
h 0
≤ 0,73
≥ 0,73
→
→
⎛
m
⎜
0
= 0,49 0,785 + 0, 25
⎝
⎛
m
⎜
0
= 0,49 0,88 + 0, 12
⎝
h
h
0
h
h
0
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
Alulról befolyásolt átbukás esete: Alulról befolyásolás figyelembe vétele korrekcióval:
Q = σm bh 2gh
. σ értékei kisebbek, mint az élesszélű bukónál! Kísérletek alapján:
0
e/h 0,00 0,20 0,50 0,66 0,82 0,90 1,00
σ 1,00 0,997 0,980 0,93 0,756 0,575 0,00
15

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Gyakorlati, szögletes profilú bukógátak és átbukási tényezőik
A bukótényező függésének jellege: m f ( típus, M , a,
ρ , ′,
h)
= , amiből m = 0,35 0,44 .
0
ρ
0
÷
Minél kisebb M, minél laposabbak a rézsűk, minél kisebb a h/a arány, annál kisebb m 0 !
Oldalbukók: vízfolyásra merőleges, oldalirányú vízkivételre, kísérletileg meghatározott
bukóképlettel
Osztópilléres, ejtőaknás árapasztó körbukó
Osztópillérek
h
Nyomás alatti
kifolyás
Ejtőakna
Q
Elvezető alagút
16

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
4. Műtárgyak hidraulikája II.
Gát feletti átbukás, zsiliptábla alatti átfolyás
a. és d.: Visszaszorított
b. és e.: Beduzzasztott
c. és f.: Előreszorított
17

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Zsiliptábla alatti szabad átfolyás
A fedőhengeres vízugrás a rohanó szakaszt követően a táblától távol alakul ki
A vízhozam számítási képlete: Q ba 2g( E − )
µ ,
=
0
⎛ a ⎞
ahol µ = ψϕ,
ϕ = 0 ,95 ÷ 0,97,
ψ = f ⎜ ⎟,
⎝ H ⎠
h c
h c
= ψa
.
Példa a kontrakciós tényező kísérleti meghatározására a relatív nyitás függvényében:
a/H 0,25 0,50 0,75 1
ψ 0,622 0,645 0,705 1
Zsiliptábla alatti átfolyás visszahatással
Az alvíz teljesen visszaduzzaszt a zsiliptáblához, a tábla alatt kiáramló vízhozam
csökken.
A vízhozam számítási képlete: Q ba 2g( E − )
µ ,
=
0
h z
ahol az impulzustétel alapján
h
2 ⎛ M ⎞
= h M E
M
a
− ⎜ 0
− ⎟ , és
⎝ 4 ⎠ 2
z
+
M
=
h − h
h h
2 2 a c
4µ a .
a
c
18

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Nomogramm a kifolyás típusának eldöntésére
A befolyásolást a k korrekciós tényezővel véve figyelembe:
Q = kµ
ba 2gH
.
Nomogramm a k szorzótényező becslésére
A zsiliptábla alatti kifolyás néhány esete
19

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A zsiliptábla alatti kifolyás különböző táblaprofilra
A zsiliptábla körüli energia-, sebesség- és hidrodinamikai nyomásviszonyok
2
v1
2g
v 1
h 1
2
v
2g
2
v
2g
p
γ
p
γ
a
2
v2
2g
h 2
Völgyzárógátas tározó műtárgy-sémája
(melyek többségénél hidraulikai tanulmányainkat hasznosíthatjuk)
1. Árapasztó bukó 2. Osztópillér 3. Surrantó 4. Energiatörő medence
5. Utófenék 6. Szabályozó zsilip 7. Erőműtelep
20

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Gerebek
Példa: a Kesznyéteni vízerőmű (Hernád) turbináinak uszadék elleni gerebvédelme
Tipikus gerebprofilok
21

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Ritka gereb pálcáira ható közegellenállási erő (a közegellenállási tényező, a rááramlási
sebesség és a pálca áramlásra merőleges vetülete függvényében):
F
k
1
= ρ
2
cwv
A⊥
.
2
Gereb-veszteségmagasság (duzzasztás) az alaki tényező, a gerebpálcák vastagsága,
a szabad nyílás, a rááramlási sebesség és a pálcák vízszinteshez való hajlása alapján.
22

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Csőátereszek
Kisebb vízfolyások, árkok út- és vasúttöltéseket, kocsibejárókat keresztező műtárgyai,
nyomás alatti esetben, mint hidraulikailag rövid csővezetékek.
2
2
v L v
Csőáteresz okozta veszteség számítása: h v
= ∑ ξ + λ , ahol ∑ ξ = ξ ö
, vagyis
2g
4R
2g
h
v
2
v ⎛ L ⎞
= ⎜ξ ö
+ λ ⎟ .
2g
⎝ 4R
⎠
Téglalap szelvényű átereszek
23

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Helyi össz-veszteségtényező számítása az áteresz típusa szerint
∑
A veszteségbecslő képlet struktúrája: = ξ = C + C ( N − ) + C ( N − )
ahol
B
N b
= és
b
B
N b
= relatív szélességek,
d
Típus C1 C2 C3 C4
A 1,10 0,60 0,20 1,30
B 0,90 0,60 0,15 1,30
C 0,50 0,40 0,20 1,30
D 0,45 0,25 0,10 1,30
E 1,00 0,40 0,20 1,30
F 1,10 0,35 0,20 1,30
G 0,50 0,20 0,10 1,30
Az átereszben kialakuló vízmozgás lehetséges fajtái
ξ ,
ö
1 2 b
1
3 h
C4
h
N = a
b
a
és ha
Nb = relatív magasságok.
d
24

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
5. Nyíltfelszínű nempermanens vízmozgások áttekintése
- Alapfogalmak
- Fokozatosan változó nyíltfelszínű nempermanens vízmozgások
- Hirtelen változó, nyíltfelszínű nempermanens vízmozgások
Nempermamens vízmozgások
Az áramlás fő hidraulikai jellemzői a tér egyes pontjaiban változnak az idő függvényében
A fő hidraulikai jellemzők nyíltfelszínű vízterekre:
- vízhozam, Q
- nedvesített szelvényterület, A
- vízmélység (hidraulikus sugár), R
- szelvény-középsebesség, v
- vízszint, z
- hullámmagasság, ∆z, ∆h, η
Nempermanens vízmozgások osztályozása a tér-idő változás mértéke alapján
pl. természetes árhullámok
pl. lökéshullámok
A legutóbbi cunami, mint a tengerfenék rengésének eredménye (utólag numerikusan
modellezve, felülnézetben animálva).
25

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Bemutatásra kerülő lejátszások
Perspektívában animált 2D numerikus modellezés
Ugyanaz gömbkoordináta-rendszerben animálva
További bejátszás: térben és időben helyenként hirtelen változó vízmozgás speciális
esete: töltés árvízi meghágása és elöntése, speciális modellezési igénnyel a száraz terep
elöntésére + vízugrás leképzésére
26

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Nempermanens vízmozgások osztályozása a hullámtípus típusa, valamint terjedési
irány és az alapáramlás irányának viszonya alapján
Egy tipikus fokozatosan változó árhullám-levonulás árhullám-képe a folyó egyes
szelvényeiben (a szelvény-sorszám folyásirányban, az alvíz felé haladva növekszik)
Az árvízi hurokgörbe a hidraulikai jellemzők tetőzésének időrendi sorrendjével
v , Q,
h
Permanens, egyenletes állapot
v max
v max
v()
t
h()
t
27

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A vízmélységhez képest kis amplitúdójú, szabadfelszínű gravitációs hullám terjedési
sebessége nyíltfelszínű víztestben (pl. a cunami, kivéve partközelben)
v
c
c −
v
A c sebességgel terjedő felszíni hullám amplitúdója:
a ≡η
A térfogat-megmaradás törvénye (az áramlás folytonossága) egy, a hullámgerinccel c
sebességgel együtt mozgó vonatkoztatási rendszerben, amiben a hullám állóhullámnak, a
nempermanens hullámterjedési folyamat pedig permanensnek látszik:
c ⋅ h = ( c − v)( h + η)→
c ⋅ h = c ⋅ h + cη
− v( h + η) → = cη − v( h +η)
0 .
Amennyiben a hullám amplitúdója nagyságrenddel kisebb, mint a vízmélység:
0 = cη
− v( h + η)→
η
v = c .
h
2
c
2g
Az energia-megmaradás törvénye alapján: h + = ( h + )
( c − v)
2
cv ⎛ v ⎞
η + → η = ⎜1
− ⎟
2g
g ⎝ 2 c .
⎠
cv
Mivel 2c nagyságrenddel nagyobb v-nél: η = → c 2 = gh →
g
c =
gh , ami nem
más, mint a szabadfelszínű gravitációs hullám terjedési sebessége.
28

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
6. Hirtelen változó, nyíltfelszínű nempermanens vízmozgások
Időben hirtelen változó vízmozgások a kiváltó hatás tartós fennmaradásával. Általában
valamely vízszintszabályozó létesítménnyel (zsilip, duzzasztómű) ellátott vízfolyásban
keletkezik. Az áramlás pillanatnyi, fokozatosan változó vagy permanens egyenletes
mozgásállapotában a szabályozóművel hirtelen változást, ugrásszerű vízhozamnövekedést
vagy csökkenést hozunk létre. Ekkor a vízfelszín is hirtelen változik,
meredek frontú lökéshullám keletkezik és terjed.
- Zsiliptáblák hirtelen részleges zárása vagy nyitása
- Zsiliptáblák hirtelen teljes zárása (üzemelési hiba) vagy nyitása
- Töltésszakadási (árvízi szükségtározóknál szakítási) és gátszakadási árhullámok
(dombvidéki tározók stabilitásvesztése)
A lökéshullámok legfontosabb hidraulikai jellemzői:
w - hullámterjedési sebesség, ∆h – hullámmagasság, E - energiatartalom
A számítási feladat általában a hullámmagasság és a terjedési sebesség meghatározása
Lökéshullámok osztályozása:
1. Zárási hullámok: pozitív ellentétes a felvízen, negatív azonos az alvízen
2. Nyitási hullámok: pozitív azonos az alvízen, negatív ellentétes a felvízen
Zsiliptábla részleges zárása
Kezdeti, zavartalan állapot: Q , h , v , A .
0
0
0
0
B 0
Pozitív, ellentétes hullám
∆h Negatív, azonos hullám
∆h
v 0
h0
v 0
h0
∆h
h 0
A 0
29

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Zsiliptábla részleges nyitása
Kezdeti, zavartalan állapot: Q , h , v A .
0 0 0,
0
Negatív, ellentétes hullám
∆h
Pozitív, azonos hullám
∆h
h0
h0
A számítás két alapesete:
1. Csak a hirtelen változás kezdeti pillanatához ill. szakaszához tartozó
hullámmagasságot és hullámsebességet becsüljük, tehát a hullám alakváltozásától
eltekintünk.
2. Hosszabb időszakon és távon figyelembe veendő a hullám alakváltozása is. Ez tovább
bonyolódhat a vízfolyás keresztszelvényének hirtelen változása okozta hullámvisszaverődéssel.
Több km hosszú üzemvíz-csatornákban kialakuló lökéshullámoknál a hullámmagasság
(az emelkedés és süllyedés) az alakváltozás miatt a szabályozás helyétől távolodva
fokozatosan csökken.
∆h
4
< ∆h3
< ∆h2
< ∆h1
∆h 4
∆h 3
∆h 2
∆h 1
h 0
∆h 1
∆h 2
∆h 3
∆h
1
> ∆h2
> ∆h3
> ∆h4
∆h 4
h 0
S 0
A következőkben pusztán az alakváltozás nélküli esetet tekintjük!
30

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Zsiliptábla részleges zárása
Rövid szakaszon, hullámdeformáció figyelembe vétele nélkül, elsősorban a kezdeti
jellemzők meghatározására.
Kezdeti, zavartalan állapot: Q , h , v , A .
0
0
0
0
Részleges zárás:
v 0
→ v
1
< v 0
, v
2
< v0
.
∆h
∆h
v 0
h 0
v 0
h 0
Vizsgáljuk meg a felvízen a pozitív ellentétes zárási hullámot! Számítandó:
w, ∆h
.
1′
1
h0
∆h
∆F
F′ F
ρA w +
( )
0
v 0
v
1
< v 0
h + ∆h
0
γh 0
1′
v 1
1
γ
( h + ∆h)
0
B 0
∆h
h 0
A = h
0 0B0
Folytonossági összefüggés (térfogatmegmaradás) a felvízen:
:
t
0
Q
0
= v0h0B0
31

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
1 sec alatti határfelület- és térfogat-áthelyeződés az 1 és 1’ közötti ellenőrző-térfogatra:
t
1
+1sec : Q = Q = v h , Q = .
′ 1
( 0
) 0
1 0 0 0B0
1
v h + ∆h
B
Tározódás: Q w∆
, Q = Q + .
2
= hB 0 0 1
Q2
Átalakításokkal: A v v ( A + ∆hB
) + w∆
→ A ( v v ) = B ∆h( w + )
0
=
1 0 0
0
0
hB
− .
0 0 1 0
v1
A
= .
B ∆h
0
Lökéshullám terjedési sebességét kifejezve: w ( v0 − v1
) − v1
Elemi vízhasábra felírt impulzustétel (dinamikai egyenlet) a felvízen
Az a folyadéktömeg, amely 1 sec alatt megváltoztatja a sebességét:
v → m A ( w + )
0
v 1
= ρ .
0
v 0
0
Az impulzustétel szerint:
ρA
0
( w + v )( v − v )
0
⎛
= ρg⎜h0∆hB
⎝
0
0
1
∆h
+
2
Kérdésünk: ∆h?
2
⎡
= ρg⎢
⎣
( h + ∆h)
0
2
⎞ ⎛
B0
⎟ = ρg⎜∆hA0
⎠ ⎝
2
2
h ⎤
0
− ⎥B
2 ⎦
∆h
+
2
2
0
=
⎞
B0
⎟
⎠
0
Helyettesítsük a hullám-sebesség w ( v0 − v1
) − v1
egyenletbe:
ρ A
0
⎧⎡
⎨⎢
⎩⎣
A
= egyenletét a dinamikai
B ∆h
A
B ∆h
0
( w v )( v − v ) = ρA
( v − v ) − v + v ( v − v ) = ρg⎜∆hA
+ ⎟
⎤
⎥
⎦
0
⎫
⎬
⎭
⎛
⎝
2
∆h
2 B
+
0 0 1 0 0 1
1 0 0 1
0
0
0
3
Hanyagoljuk el az ( h )
o ∆ harmadfokú tagokat:
⎞
⎠
∆h
2
−
2
( v − v ) ( v − v )
0
g
1
∆h
−
0
1
gB
0
2
A
0
= 0 , amiből a hullámmagasság egyenlete:
2
2
2
( v − v ) ⎡( v − v ) ⎤ A ( v − v )
0 1
0 1
0 0 1
∆ h = + ⎢ ⎥ +
.
2g
⎣ 2g
⎦ B0
g
2
32

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A maximális hullámmagasság teljes záráskor:
∆ h
max
2
v0
= +
2g
2
⎛ v ⎞
0
⎜
2g
⎟
⎝ ⎠
2
+
2
A0v
0
B g
0
Következő kérdésünk: w?
Most helyettesítsük a A ( v v ) = B ∆h( w + )
− folytonossági egyenletet a dinamikai
0 0 1 0
v1
2
⎛ ∆h
⎞
ρ A0 w + v0
v0
− v1
= g⎜∆hA0
+ B0
⎟ ebből
⎝ 2 ⎠
egyenletbe: ( )( ) ρ
,
w
2
v0
+ v1
⎛ v0
+ v1
⎞ ⎛ A0
∆h
⎞
= − ⎜ ⎟ − v0v1
+ g ≈ − gh0
2 2
⎜ +
B0
2
⎟ , illetve a maximális sebesség
⎝ ⎠
v
⎛ ⎞
0 ⎛ v0
⎞ A0
∆h
w = − ⎜ ⎟ +
⎜ +
⎟
max
g .
2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ B0
2 ⎠
2
⎝
Részleges záráskor keletkező negatív, azonos lökéshullám jellemzői az alvízen:
⎠
∆ h = −
2
2
2
( v − v ) ⎡( v − v ) ⎤ A ( v − v )
0
2g
2
+
⎢
⎣
0
2g
2
⎥
⎦
+
0
0
B g
0
2
2
, illetve
w
2
v0
+ v2
⎛ v0
+ v2
⎞ ⎛ A0
∆h
⎞
= + ⎜ ⎟ − v0v2
+ g ≈ gh0
2 2
⎜ −
B0
2
⎟ .
⎝ ⎠
Részleges nyitás keltette lökéshullám jellemzői:
Felvíz:
⎝
⎠
∆ h = −
2
2
2
( v − v ) ⎡( v − v ) ⎤ A ( v − v )
0
2g
1
+
⎢
⎣
0
2g
1
⎥
⎦
+
0
0
B g
0
1
2
, illetve
w
2
v0
+ v1
⎛ v0
+ v1
⎞ ⎛ A0
∆h
⎞
= − ⎜ ⎟ − v0v1
+ g ≈ − gh0
2 2
⎜ −
B0
2
⎟ .
⎝ ⎠
Alvíz:
⎝
⎠
∆ h =
2
2
2
( v − v ) ⎡( v − v ) ⎤ A ( v − v )
0
2g
2
+
⎢
⎣
0
2g
2
⎥
⎦
+
0
0
B g
0
2
2
, illetve
v
w =
0
+ v
2
2
+
⎛ v0
+ v
⎜
⎝ 2
2
2
⎞
⎟
⎠
− v v
0
2
⎛ A
+ g
⎜
⎝ B
0
0
∆h
⎞
+ ≈
2
⎟
⎠
gh
0
33

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
7. Felszíni hullámzás vizsgálata
Felszíni hullámzás: periodikus vízszintingadozás, a vízrészecskék zárt görbén való ún.
orbitális mozgása.
A vízfelszín változása a terjedés mentén és az időben: η ( x,t)
.
Felszín függőleges kimozdulásának szélsőértékei: ηmin,
η .
max
Hullámmagasság:
H = η −η
2a
.
max min
=
Terjedési sebesség a hullámhossz és a periódusidő függvényében:
L
c = .
T
L
2
H
h
z0
= −h
H ⎡ ⎛ x t ⎞⎤
A vízfelszín Airy-féle egyenlete: η( ) cos 2π
⎥ ⎦
x, t = ⎢ ⎜ − ⎟ .
2 ⎣ ⎝ L T ⎠
A hullámterjedési sebesség:
L gL 2πh
c = = th .
T 2π
L
34

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A hullámok osztályozása a helyi vízmélység és a hullámhossz aránya alapján
h >
L
2
L
< h <
25
L
2
Nincs kölcsönhatás a fenékkel
h <
L
25
Erős a kölcsönhatás a fenékkel
Viszonylag nagy vízmélység (vagy viszonylag rövid hullám):
L 2πh
h > → > π →
2 L
th π ≈ 1 →
L gL 2πh
gL
c = = th → c = .
T 2π L 2π
Átmeneti vízmélység (vagy átmeneti hullámhossz):
L L
L gL 2πh
gT ⎛ 2πh
⎞
< h < , amelyre c = = th → c = th⎜
⎟ .
25 2
T 2π
L 2π
⎝ L ⎠
Viszonylag kis vízmélység (vagy viszonylag hosszú hullám):
L 2πh
2π
h < → < = 0, 25 →
25 L 25
0,245
th 0,25 = 0,245 → ≈
2π
1
25
→
gL 2πh
c = th →
2π
L
órai levezetéséből.
c =
gh , csakúgy, mint a szabadfelszínű gravitációs hullám múlt
35

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A hullámmozgás jellemző pillanatnyi áramvonalserege: A vízrészecskék pillanatnyi
sebességvektor-mezőjének érintő görbeserege
Hullám-refrakció: A mélységváltozás hatása a terjedési irányra és a hullámfront
helyzetére
hullámgerinc
csökkenő mélységvonalak
terjedési pálya
Hullám-refrakció egy csonkakúp alakú sziget környezetében
part
36

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Hullámok visszaverődése.
Állóhullámok kialakulása zárt medencében teljes visszaverődéssel.
Pillanatnyi áramvonalsereg
Hullámok visszaverődése
Vízrészecskék orbitális pályái különböző mértékű (fentről lefelé 0, 24, 38, 53, 71, 85 és
100%-os) hullám-visszaverődés esetén:
37

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Szél keltette hullámzás
Fő hatótényezők:
W - szélsebesség
F - meghajtási hossz
h - vízmélység
38

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Az ún. szignifikáns hullámmagasság (a hullámok 1/3-a meghaladja) sekély vízre (a US
Shore Protection Manual, SPM alapján):
H
0
⎧
⎫
⎪
⎪
2
0,75
W ⎡ ⎛ g ⋅ h ⎞ ⎤ ⎪ γ ⎪
= 0,283⋅
⋅ th⎢0,530⋅⎜
⎟ ⎥ ⋅ th
2 ⎨
0, 75 ⎬
g ⎢⎣
⎝ W ⎠ ⎥⎦
⎪ ⎡ ⎛ g ⋅ h ⎞ ⎤ ⎪ .
⎪
th⎢0,530⋅⎜
2 ⎟ ⎥ ⎪
⎩ ⎢⎣
⎝ W ⎠ ⎥⎦
⎭
A maximális hullámmagasság becslése: H = 1,
H 0 .
max
87
F=1 km
0,6
0,5
H, m
0,4
0,3
0,2
W=10 m/s
W=20 m/s
W=30 m/s
0,1
0
0 2 4 6 8 10
h, m
Hullámfelfutás
A hullámfelfutás mértéke:
R = cos β ⋅ 3,8 ⋅ H ⋅ tanα
ahol
R - a hullám felfutása a rézsűre
H - a hullámmagasság a rézsűnél
β - a hullámfront beesési szöge
α - a rézsű hajlása
39

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
8. Szivattyúk
Típusok, jellemzők, legfontosabb üzemi paraméterek és meghatározásuk.
Jellemző példa: az ún. egyfokozatú csigaházas örvényszivattyú szerkezete
Sebességek a járókerékben: a sebességháromszög.
A forgó járókerék lapátjai a folyadékot forgása késztetik (mechanikai energiát adnak át).
A ++++ nyomott oldal maga előtt nyomja, a ---- szívott oldal maga után szívja a
folyadékot.
40

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A folyadék energiatartalmának átalakulása az örvényszivattyún való átáramlás során
(szívó- és nyomóoldali csővezeték és szerelvények nélkül, egy-egy vízrészecskét a
járókerék nyomott ill. szívott oldalán követve):
A kis távon a geodetikus magasság változása elhanyagolható. A csigaház feladata, hogy a
járókerékből kijövő folyadék nagy sebességmagasságának minél nagyobb részét
hasznosítható nyomómagassággá alakítása. Üzemi jellemzők:
Q - folyadékszállítás
H - szállítómagasság
N - bevezetett teljesítmény
Nh - hasznos teljesítmény
η - hatásfok
n - fordulatszám
NPSH - belső nyomásesés (a szívócsonk középpontjában lévő nyomás, a szivattyú
belsejében előforduló legkisebb nyomás, és a szívócsonk középsebessége alapján)
H
= e
n
− e
s
=
pn
− ps
γ
2
vn
− v
+
2g
2
s
+ h − h ,
n
s
N h
2
N
= QγH ,
h
p
η =
s
− pmin vs
, NPSH = + .
N
γ 2g
41

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Örvényszivattyúk járókerék-típusai, jellemző fordulatszámai és jellemző
szállítómagasság - szállított vízhozam arányai
A jelleggörbe, mint a szivattyú üzemi jellemzői közötti kapcsolat diagramja.
Szokásosan: az üzemi jellemzők folyadékszállítás-függése állandó fordulatszám mellett.
H=f(Q) - fojtási görbe
Az NPSH minimumánál legkedvezőbb a szivattyú szívóképessége, de ezzel a
hatásfokgörbe maximuma rendszerint nem esik egybe (előbbi minimuma rendszerint
kisebb Q-nál van). Az optimális üzempont a szivattyú legjobb hatásfokú pontja. A
névleges üzempont a szivattyú megnevezésére szolgáló Q, H, η és n értékek összessége
(elvileg a prototípus szivattyú jelleggörbéjének optimális pontja, de a gyártási „szórás”
miatt sokszor nem a fojtásgörbén fekszik).
42

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Veszteségek, teljesítmény és hatásfok az örvényszivattyúban
Veszteségfajták: mechanikai, tárcsasúrlódási, résveszteség, hidraulikus veszteség.
Ezekből lehet különféle hatásfokokat számítani.
A hasznos teljesítmény (a bevitt munka hasznosítható része) a folyadék energiáját e s -ről
e n -re növeli.
Az örvényszivattyú jelleggörbéjének alakulása a névlegestől eltérő fordulatszámon.
A különböző fordulatszámokhoz tartozó fojtási görbék felállítása.
Az állandó hatásfokú pontokat összekötő görbék szerkesztése az állandó fordulatszámhoz
tartozó hatásfokgörbékből: a kagylódiagram.
43

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A berendezés szállítómagassága és a csővezeték jelleggörbéje
Táplált
folyadéktér
Szívott
folyadéktér
A berendezés szállítómagasságának tömör képlete, mint a csővezeték jelleggörbéje:
H
2
c
= H
st
+ BQ .
Az M munkapont: a jelleggörbének az a pontja, ahol a szivattyú éppen üzemel.
A munkapontot a szivattyú H=f(Q) fojtásgörbéjének és a csővezeték Hc=f(Q)
jelleggörbéjének a metszéspontja határozza meg. A munkapont egy egyensúlyi állapotot
jelöl, melyben a szivattyú éppen annyi szállítómagasságot szolgáltat, mint amennyit a
csővezeték igényel.
Az M munkapont stabil munkapont, ha bármely kis zavarás után visszatér eredeti
helyzetébe. Ha pl. a vízhozam zavarás hatására Q’-re növekszik, akkor mivel ehhez a
szállítómagasság igény nagyobb, mint a rendelkezésre álló, a folyadékszállítás lassulni
fog, és a munkapont visszatér eredeti helyére, ahol a szállítómagasság igény és
kiszolgáltatás megegyezik.
44

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
9. Elkeveredés-hidraulika: alapfogalmak, molekuláris diffúzió
Egyszerűsítő feltevések a vizsgálatok körére:
- Közelítően passzív, oldott, konzervatív szennyezőanyag elkeveredése.
- A szennyvíz és a befogadó vízének sűrűségkülönbsége kicsi.
- A bevezetés az alapáramláshoz viszonyítva nem idéz elő számottevő sebességkülönbséget.
Főbb transzportfolyamatok áttekintése:
- Advekció: az alapáramlás szállító hatása
- Konvekció: hőmérséklet-különbség hatására kifejlődő tömegátadás
- Molekuláris diffúzió: a molekulák hőmozgása (Brown-mozgás)
- Turbulens diffúzió: a turbulens örvények összességének hatása
- Nyíróáramlás: az áramlási sebességeloszlás keresztirányú gradienssel
- Diszperzió: a nyíróáramlás és a turbulens diffúzió együttes hatása
- Elkeveredés: fenti transzportfolyamatok együttes hatására
- Ülepedés: a víznél nagyobb testsűrűségű részecskék mozgása
- Felúszás: a víznél kisebb testsűrűségű részecskék mozgása
- Részecske elragadás, felkeveredés: felületen (mederfelszínen) lévő részecskék
áramlás általi kimozdítása és víztestbe kerülése.
Szennyezőanyag csóva a Rajnán. Figyeljük meg a kanyarban a csavaráramlás hatását!
45

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A csóva további alakulása. Figyeljük meg ismételten a csavaráramlás hatását!
Jelzőanyag csóvája folyó tengeri torkolatban. Figyeljük meg az áramlás örvénystruktúrájának
lenyomatát a csóván!
46

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Három, különféle mederanyagú, és különféle talajú vízgyűjtőről érkező folyó találkozása
Passau-nál (Inn, Duna, Ilz). Figyeljük meg a víz-víz határrétegeket!
Alapdefiníciók
Koncentráció (töménység):
C
= lim
∆ V →0
∆M
∆V
1
T
t + T
0
Időbeni átlag: C t ( x y,
z,
t ) = C( x,
y,
z,
t)
,
0
1
V
Térbeli átlag: C V ( x y,
z,
t ) = C( x,
y,
z,
t)
,
0
∫
t0
∫∫∫
V
Fick I. törvénye: fenomenológiai jellegű, a mikro-léptékű törvényekből összeálló makroviselkedés.
A vázolandó egyszerű molekuláris diffúzió alapsémájának folyamat-lépései:
M
b
k
kM
b
dt
dV
M
j
k
kM
j
F = k
( − )
M b
M j
C
b
M
b
= ,
∆x
C
j
M
j
=
∆x
C
lim
∆x→0
j
− C
∆x
b
M
j−M
= lim
∆x→0
2
∆x
b
∂C
=
∂x
→
F
= k
( M − M )
b
j
= −k∆x
2
∆C
∆x
∂C
→ −D
∂x
47

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A törvény statisztikus mechanikai alapú bizonyítása.
A tömegfluxusok változása időlépésenként, szimmetrikus viselkedésű részecskék esetén,
k átviteli állandóval:
F
F
F
F
(
b 0 j 0
) = 0,25( 32 −16) 4 ,
k( M
b
t0
+ ∆t
− M
j
t + ∆ ) = 0,25( 28 − 20) 2 ,
k( M t0
+ 2∆t
− M
j
t + 2∆
) = 0,25( 26 − 22) 1
( M t + ∞ − M + ∞ ) = 0,25( 24 − 24) 0
( t + ∆t) = k M ( t ) − M ( t )
0
=
( t + ∆t) = ( ) ( t)
0
2
0
=
( t + ∆t) = ( ) ( t)
0
3
b 0
= ,
( t + ∞) = k ( ) ( t )
0 b 0
j 0
= .
16
0,25•32=8
t 0
t 0 +∆t
32
32-8+4=28
0,25•16=4
0,25•28=7
20-5+7=22
0,25•24=6
t→∞
Fick I. törvénye
∂C
Egy-dimenzióban: F = −D
, ahol D a molekuláris diffúziós együttható, mint
∂x
hőmérsékletfüggő anyagjellemző [m2/s].
⎛ ∂C
∂C
∂C
⎞
Három-dimenzióban: ( F , F , F ) = −D
∇C
= −D
, ⎟
⎠
F
x y z
⎜ , .
⎝ ∂x
∂y
∂z
48

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A diffundáló anyag tömegmegmaradása: Fick II. törvénye
C
( x t) ∆x
, – egy ∆x hosszúságú, egység szélességű és vastagságú cellában lévő tömeg,
[ C( x, t + ∆t) − C( x,
t)
] ∆x
– tömegváltozás a cellában egy ∆t időlépésben,
[ F( x + ∆x
t) − F( x,
t)
] ∆t
, – tömegáram a cellaoldalakon,
[ ( x t ∆t) − C( x,
t)
] ∆x
+ F( x + ∆x,
t) − F( x,
t)
C , + [ ] ∆t
= 0 – tömegmegmaradás a cellára,
Alkalmas átalakításokkal:
C
( x,
t + ∆t) − C( x,
t) F( x + ∆x,
t) − F( x,
t)
∆t
+
∆x
∆C
∆F
= +
∆t
∆x
= 0, majd határátmenetet képezve
lim
∆t→0,
∆x→0
∆C
∆F
= +
∆t
∆x
∂C
∂F
= +
∂t
∂x
= 0 .
Alkalmazva Fick I. törvényét kapjuk a második törvényt:
∂C
∂F
+
∂t
∂x
2
∂C
∂ ⎛ ∂C
⎞ ∂C
∂ C ∂C
= + ⎜−
D ⎟ = − D = 0 →
2
∂t
∂x
⎝ ∂x
⎠ ∂t
∂x
∂t
, mint az egydimenziós
(egyenes menti) diffúziós folyamat leírását.
2
∂ C
= D
2
∂x
Térbeli molekuláris diffúziós folyamat matematikai leírása:
∂C
∂t
2 2 2
2 ⎛ ∂ C ∂ C ∂ C ⎞
= −∇ ⋅F = D∇
C = D
⎜ + +
⎟ .
2 2 2
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
49

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
10. Analitikus megoldások, turbulens diffúzió, advekciós-diffúziós
folyamatok
Origóban beeresztett pillanatszerű szennyezés végtelen egyenes menti diffúziójának
analitikus megoldása egy-dimenzióban, konstans diffúziós együtthatóra:
x
M
4
C
p
−
Dt
( x,
t) = e
4π
Dt
−
2
2σ
( x, t) dx e dx
2
, amely analóg a Gauss-féle normál-eloszlás sűrűségfüggvényével:
2
x
1
= .
σ 2π
Kezdeti elméleti eloszlás: véges M tömeg origóban koncentrálása (az ún. Dirac-delta
függvénnyel kifejezve):
C ( x 0) = Mδ
(x)
, .
Megfeleltetések a diffúziós folyamat és a normál-eloszlás paraméterei (E várható érték és
σ szórás) között:
M = 1, E = 0, σ
2 = 2Dt
A diffúziós együttható értelmezése, mint a szórásnégyzet időbeli változásának (a
szétterülésnek) mértéke:
2
dσ
dt
2
2
2
1
( − )
= 2D
→ σ −σ
= 2D t t
2
1
.
Molekuláris diffúzió advekcióval
Áramló vízben a tömegátadás fluxusát (a lokális tömeghozamot) a diffúzió mellett a helyi
u(x,t) sebesség okozta tömegszállítás a következőképp befolyásolja:
⎛ ∂C
⎞
F = uC + ⎜−
D ⎟ .
⎝ ∂x
⎠
A kibővített F fluxus mellett felírva a tömegmegmaradás törvényét, kapjuk az advektív
diffúziós folyamat differenciálegyenletét:
∂C
∂ ⎛ ∂C
⎞
+ ⎜uC
− D ⎟ = 0 .
∂t
∂x
⎝ ∂x
⎠
50

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Ebből az egy-dimenziós advektív diffúziós folyamat alapegyenlete:
( uC)
∂C
∂
+
∂t
∂x
2
∂ C
= D .
2
∂x
A térbeli advektív diffúziós folyamat alapegyenlete:
∂
+ ∇ ⋅
∂t
C 2
( C ) = D∇
C
v .
A térbeli advektív diffúziós folyamat alapegyenletének alakja az áramlás
folytonosságának figyelembevételével, vektoros formában:
∂ C + v ∇C
= D∇
2 C .
∂t
Végül a térbeli advektív diffúziós folyamat alapegyenletének koordinátás alakja:
∂C
∂C
∂C
∂C
+ u + v + w
∂t
∂x
∂y
∂z
2 2 2
⎛ ∂ C ∂ C ∂ C ⎞
= D
⎜ + +
⎟ .
2 2 2
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
Advektív diffúzió analitikus megoldása
M tömeg pontszerű kezdeti eloszlása, konstans u sebességű egyenes vonalú áramlás és
konstans D diffúziós együttható feltételei között az egyenlet analitikus megoldása egy u
sebességgel „sodródó” diffúziós folyamatként adódik:
∂C
∂C
+ u
∂t
∂x
2
∂ C
= D
2
∂x
→
( x,
t)
M
4π
Dt
( x−ut
)
−
4Dt
C = e
2
.
Két-dimenziós esetben (végtelen síkon) a megoldás két egy-dimenziós megoldás lineáris
egymásra halmozásaként nyerhető:
∂C
∂C
∂C
+ u + v
∂t
∂x
∂y
C
( x,
y,
t) = C ( x,
t) C ( y,
t)
1
2 2
⎛ ∂ C ∂ C
= D⎜
+
2 2
⎝ ∂x
∂y
2
⎞
⎟
⎠
→
M
=
4π
t D D
x
y
e
⎛
⎜ −
⎝
2
( x−ut
) ( y−vt
)
2 ⎞
− ⎟
4D
t D t
x 4 y ⎠
.
Tömegátadás (tömeghozam) turbulens áramlásban: a turbulens diffúzió jelensége
A turbulencia (Re > 2000) hatására mind az áramlási sebesség, mind a anyagkoncentráció
egy lomhán változó, alkalmas időhosszon vett felülvonásos átlagérték körül nagy
51

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
frekvenciákon pulzál, melyet figyelembe véve a pillanatnyi tömeghozam az alábbi
alakban írható:
( C + C′
)( u + u′
) = Cu + Cu′
+ C′
u + C′
u
u = u + u′
, C = C + C′
→ F =
′ .
A pulzációs összetevőket időben véletlenszerűnek tekintve a tömeghozam alkalmas
időhosszon vett átlagában a jobboldal 2. és 3. tagja nullává válik, vagyis a hozam az
alábbi alakot ölti:
F = Cu + C′
u′
,
ahol a jobboldal első tagja az advektív jellegű tömegátadás a helyi átlagsebességgel és
koncentrációval kifejezve, második tagja pedig a turbulens pulzálás okozta
szétkeveredés, az ún. turbulens diffúzió, mely jellegében hasonló a molekuláris
diffúzióhoz, csak annál nagyság-rendekkel nagyobb, tovább nem anyagi hanem a
turbulens mozgás mértékétől függő jellemző.
A pulzációs összetevők szorzatátlaga tömegátadó hatásának Taylor-féle közelítése a
molekuláris diffúzióval (Fick I. törvénye) analóg módon, az átlag-koncentráció gradiense,
és az ún. turbulens diffúziós együttható szorzataként:
∂C
C′ u′
= −D
.
tx
∂x
A turbulens diffúzió nagyságrendekkel meghaladja a molekuláris diffúziót: D tx
>> D .
A térbeli, inhomogén turbulens advektív diffúzió egyenlete koordinátásan:
∂C
∂C
∂C
∂C
+ u + v + w
∂t
∂x
∂y
∂z
∂ ⎛
= ⎜ D
∂x
⎝
∂C
⎞ ∂ ⎛
⎟ + ⎜ D
∂x
⎠ ∂y
⎝
∂C
⎞ ∂ ⎛
⎟ + ⎜ D
∂y
⎠ ∂z
⎝
∂C
⎞
⎟
∂z
⎠
tx ty
tz .
52

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
11. Turbulens diszperzió leírása, gyakorlati számítása
Diszperzió: szakasz vagy felület menti integrál-átlagként értelmezett folyamat, mint az
áramlási sebesség egyenlőtlen eloszlásának (nyíróáramlásnak) és az áramlás irányára
merőleges diffúziónak együttes „szétszóró” hatása.
Az áramlási sebesség mélység menti integrál-átlagolása (a felülvonás itt most szakasz
menti átlagot jelöl):
h
1
u = ∫ u
h
0
( z) dz →
( z) = u( z) − u
u′ .
A koncentráció mélység menti integrál-átlagolása:
h
1
C = ∫ C
h
0
( z) dz →
( z) = C( z) − C
C′ .
∂
∂t
2
2
2
2
∂
⎡ ∂
∂ ⎤ ⎡ ∂ ∂ C′
⎤
( C + C′
) + ( u + u′
) ( C + C′
) = D ( C + C′
) + ( C + C′
) = D ( C + C′
) + ⎥ ⎦
∂x
t
⎢
⎣∂x
2
2
∂C
∂C
* ∂ C
* 1
ebből + u = D , ahol D = −
2
∂t
∂x
x
∂x
∫
′
∫∫
′
x
u u dη dξdz
az x-irányú diszperziós
hD
együttható.
Turbulens diszperzió két- és egy-dimenzióban
t
h
0
∂z
z ξ
0 0
2
⎥
⎦
t
⎢
⎣∂x
Térbeli turbulens advektív diffúzió mélység menti integrál-átlaga enyhe mélység
egyenlőtlenségek esetén: a horizontális, két-dimenziós turbulens diszperziós egyenlet:
∂C
∂C
∂C
∂ ⎛
+ u + v = ⎜ D
∂t
∂x
∂y
∂x
⎝
*
x
∂C
∂x
⎞
⎟ +
⎠
∂ ⎛
⎜ D
∂y
⎝
*
y
∂C
⎞
⎟ .
∂y
⎠
Térbeli turbulens advektív diffúzió vízfolyás-szelvény menti integrál-átlaga enyhe
szelvényváltozások esetén: a hosszirányú (longitudinális), egy-dimenziós turbulens
diszperziós egyenlet (a kettős felülvonás szelvény menti átlagot jelöl):
∂C
∂t
∂C
+ u
∂x
∂ ⎛
= ⎜ D
∂x
⎝
**
L
∂C
⎞
⎟ .
∂x
⎠
A diszperziós és diffúziós együtthatók nagyságrendi viszonya:
* 2 0 0 −2
−2
−4
−6
2
(10 10 , 10 −10
, 10 −10
, 10 m s )
D
*
L
>> D
*
x
>> Dtx
>> D
− .
2
∂z
2
53

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Szennyezőanyag-csóva permanens turbulens advektív diszperziója
A vízfolyásba való szennyezőanyag kibocsátás tartós és közel állandó, a
szennyvízbevezetés tervezésének alapja a mértékadó kisvízi, permanens vízhozam
(legrosszabb hígulás), permanens viszonyok, közel állandó sebesség és vízmélység és a
keresztirányúhoz képest elhanyagolható hossz menti diszperzió feltételezésével:
∂C
∂t
= 0,
∂ ⎛
⎜ D
∂x
⎝
∂C
⎞
⎟ ≈ 0
∂x
⎠
*
x
,
∂C
∂C
∂C
+ u + v
∂t
∂x
∂y
∂ ⎛
= ⎜ D
∂x
⎝
*
x
∂C
∂x
⎞
⎟ +
⎠
∂ ⎛
⎜ D
∂y
⎝
*
y
∂C
∂y
⎞
⎟
⎠
→
∂C
∂
C
2
u *
= D
2
∂x
y ∂ y
.
Az elkeveredést a partélek nem befolyásolják ha pl. a vízfolyás közepén vezetjük be a
szennyvizet, egészen addig, amíg a csóva széle nem érte el egyik partvonalat sem.
Ekkor az analitikus megoldás az origót a bevezetéshez választva:
C
*
4Dy
x
3
( x,
y) =
e [ kg m ,
2h
M&
π D
*
y
ux
−
u
y
2
] ahol M& a szennyezés-bebocsátás hozama [kg/s].
A legnagyobb koncentráció az y=0 helyen adódik, vagyis hossz mentén x -1/2 arányban
M&
3
csökken: C max
[ kg m ]
= .
*
2 h π Dyux
A koncentráció keresztirányú változása normál-eloszlással jellemezhető:
2 D *
y
x
σ
y
= [ m]
.
u
54

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
2 *
σ = D y
x
y
u
.
A csóva szélességét a keresztirányú szórással jól jellemezhetjük: [ m]
A csóva szélét, mint a legnagyobb koncentráció 10%-hoz tartozó y helyet definiálva:
y 2,15σ y
*
2D
x
cs
= .
u
y
= , ebből a csóva szélessége (szimmetriát feltételezve) B 4,3 [ m]
A B szélességű vízfolyás partéleinek eléréséhez szükséges hossz az L 1 ún. első
2
elkeveredési távolság: B ≈ B → L ≈ 0,027 B [ m]
cs
1
u
D
*
y
. L 1 a B szélességgel négyzetesen
nő, tehát kisebb folyókra (Rába) pár száz m, Duna nagyságú folyamokra 100 km is lehet.
Parti bevezetés: a part egyfajta tükröző (visszaverő) falként játszik szerepet a
folyamatban, melynek alapján a megoldások a középbevezetés megoldó képleteinek
megfelelő szorzásával kaphatók. Az origót a parti bevezetéshez választva:
C
*
4Dy
x
3
( x,
y) = e [ kg m ],
h
M&
π D
*
y
ux
−
u
y
2
C
max
*
y
3
[ kg m ]
M&
= ,
h π D ux
B
*
2D
x
y
2
cs
= 2,15 [ m]
, Bcs
B → L1
≈ 0,108 B [ m]
u
u
≈ .
D
Parti közeli bevezetés: ha a parttól a bevezetés egy nem túl nagy y0 távolságra van,
a koncentráció x és y szerinti változása az alábbi (a csóva csak a közelebbi partot éri el):
*
y
C
( x,
y)
=
2h
M&
π D
*
y
ux
⎡
⎢e
⎢
⎣
2
( y−
y ) u( y+
y )
u 0 −
*
4Dyx
+ e
−
2
0
*
4Dyx
⎤
⎥
⎥
⎦
3
[ kg m ]
.
55

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A partélek figyelembevétele az elkeveredés teljes szakaszán, közép (sodorvonal)
bevezetésnél (szintén a tükrözési elv alapján):
C
n
( ) ∑ ∞
x,
y =
2h
M&
π D
*
y
ux
== n −∞
⎡
⎢
⎢e
⎢
⎢
⎣
2
⎛ B ⎞
u⎜
y−
+ 2nB
⎟
−
⎝ 2 ⎠
*
4Dy
x
+ e
2
⎛ B ⎞
u⎜
y+
−2nB
⎟
−
⎝ 2 ⎠
*
4Dy
x
Parti bevezetésnél, a szemközti partél elérését követően (kezdetben általában a sor első
2-3 tagjának figyelembevétele elegendő):
C
( x,
y)
=
h
M&
π D
*
y
ux
n
∑ == ∞
n −∞
⎡
⎢e
⎢
⎣
u
−
( y−2nB)
*
4Dy
x
2
⎤
⎥ .
⎥
⎦
Teljes a keresztirányú átkeveredés, ha a a szelvényen belüli koncentrációváltozás
kisebb 10%-nál. Ennek bekövetkezése a második elkeveredési távolság: L2 ≈ 3L 1
.
Szennyezőanyag-felhő nempermanens turbulens diszperziója egy-dimenzióban, a
teljes keresztirányú elkeveredést követően
⎤
⎥
⎥ .
⎥
⎥
⎦
C
( x,
t)
=
2A
G
π D
t
**
x
2
( x−u
t )
−
**
4Dx
t
e
3
[ kg m ],
C
max
G
3
() t
[ kg m ]
= ,
π
**
2 A Dx
t
*
**
σ = 2 t , L = 4,3 2D
t ,
*
x
D x
F
x
**
ahol C , u,
A,
D x
, σ , L rendre a szelvény-középkoncentráció, szelvény-középsebesség,
x
F
nedvesített szelvényterület, hosszirányú egy-dimenziós diszperziós együttható, a
koncentrációeloszlás hosszirányú szórása, a szennyezőanyag-felhő hossza.
56

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
12. Hordalékmozgás általános jellemzői
Hordalék: a felszíni vizekben a vízzel együtt (de nem feltétlen azonos sebességgel)
mozgó szilárd anyagok gyűjtőneve.
Folyami hordalék:
- görgetett
- lebegtetett
Tavi hordalék:
- többnyire lebegtetett
- kevésbé görgetett
Hordalék mozgása - mederváltozás (medermorfológia)
Szélsőségek:
Folyók felső szakaszán árvízkor sziklagörgetegek mozgása, műtárgyak megrongálódása
Folyók középső és alsó szakaszán lebegtetett hordalék kiülepedése, parti szűrésű
vízbázisokhoz tartozó beszivárgási mederfelület eltömődése (kolmatáció).
Hordalék keletkezése: a kőzetek mállásával és elbomlásával
Származás: a vízfolyás vízgyűjtőterületéről vagy saját medréből és partjaiból.
Folyami hordalék:
- a többnyire a mederfenéken mozgó hordalék a görgetett hordalék
- a többnyire a víztestben mozgó hordalék a lebegtetett hordalék
Görgetett hordalék (elegendően durva szemcsék):
- a fenék közeli (turbulens) áramlások hatására a mederfenéken csúszik, gördül, illetve
kisebb-nagyobb ugrásokat végez.
- legfontosabb annak a határállapotnak a meghatározása, amelynél a nyugvó
hordalékszem éppen megindul, illetve az a tömeghozam, amellyel a görgetve szállított
hordalékot az áramlás szállítja.
Lebegtetett hordalék (elegendően finom szemcsék):
- túlnyomórészt a víztestben lebegve, az áramlással közel azonos sebességgel mozog.
- általában egyenletesebb, mint a görgetett hordalékmozgás.
57

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Bemutatásra kerülő film: Vízalatti kamerával felvett görgetett hordalékmozgás a Dráván
Ún. fagyasztásos mederanyag mintavétel a Dunán (1794.7 fkm, 2003.10.28.)
A kiemelt zavartalan mederminta alsó felülete: felül mintegy 10 cm vastag homokos
kavicsréteg, alatta durva kavicsból álló páncélozódott réteg.
58

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A zavartalan mederminta felszíne leolvasztás után
Fenti mederminta szemeloszlási görbéje: 10 és 20 mm között szemcsehiányos. 2
szemcsepopuláció: korábbi görgetett hordalék, illetve a páncélréteg.
100,00
90,00
80,00
70,00
a [%]
60,00
50,00
40,00
30,00
20,00
10,00
0,00
100
10
1
0,1
d [mm]
Alaktani vizsgálat (Zingg-féle diagram; szemcseátmérők: a>b>c)
Duna (1800.35 fkm, 2004.01.27, minta:5)
Duna (1800.35 fkm, 2004.01.27, minta:6)
1
0.9
Korong
Gömbszerű
1
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
b/a
0.5
b/a
0.5
0.4
0.3
Lapos
Hengeres
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
c/b
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
c/b
59

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A hordalék és a mederanyag jellemzése
Azok a leglényegesebb tulajdonságok, amelyek a hordalék mozgásában szerepet
játszanak (lehetőleg mind a görgetett és lebegtetett hordalékot, mind a medret alkotó
anyagot jól jellemezzék)
Az egyes hordalékszemek jellemzése - a hordalékanyag együttes jellemzése
Hordalékszemek nagysága (többnyire szabálytalan alakú szemcse geometriai
nagyságának jellemzése):
- ülepedési átmérő (a részecskével azonos fajsúlyú, vele azonos sebességgel ülepedő
gömb átmérője, d0,1mm-re,
mert ilyen nyílású szita még készíthető)
- névleges átmérő (annak a gömbnek az átmérője, melynek térfogata azonos a szemcse
térfogatával, inkább elméleti jelentőségű)
Hordalékszem alakja, mint az ülepedési sebesség és átmérő, illetve a hordalékszem
mozgásának lényeges befolyásolója. Pl. Heywood alapján a hordalékszem k
térfogatállandója (a szem térfogata és a legstabilabb helyzetben vett sík vetületét burkoló
3
πd
Vsz
kör átmérője alapján): k = , ami gömbre pl. 6 π
k = = = 0, 524 értéket ad.
3
3
d
d 6
60

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
13. Görgetett és lebegtetett hordalékmozgás
A hordalékanyag leglényegesebb tulajdonsága a szemnagyságok, pontosabban az ezek
helyettesítésére bevezetett pl. szitálási szemátmérők eloszlása és egymáshoz viszonyított
aránya (szemösszetételi görbe, mint egy közönséges eloszlásfüggvény).
Példa: a Duna egy Győr környéki jellemző szelvényének mederanyag szemösszetételi
görbéi mederanyag-minta szitálása alapján.
A helyszín:
Tipikus szemcseösszetételi görbék
61

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
A kiválasztott szelvény mederváltozásai a kilencvenes években
A hordalékszemcse ülepedése, mint a víz sűrűségénél nagyobb testsűrűségű részecske
vízben, a nehézségi erőtér hatására lefelé végzett mozgása.
Az ülepedési sebesség elsősorban a szemcse méreteitől, alakjától, testsűrűségétől és a víz
viszkozitási viszonyaitól függ. Közelítően gömb alakú, d átmérőjű kis részecskékre
(Stokes, 1851):
w
ü
- ülepedési sebesség,
w ü
d
Re
sz
= - ún. szemcse Reynolds-szám (azt mutatja meg, hogy az ülepedő részecske
ν
maga körül milyen áramlási viszonyokat kelt),
3
d π
G′
= G − F = g
6
( ρsz
− ρv
) - vízalatti súly,
F
k
1
2
= cwρ v
A⊥
wü
- közegellenállási erő, ahol
2
d 2 π
A =
4
⊥
.
Stokes szerint:
2
24 1 24 d π 2
Re
sz
< 0,1 → c w
= → Fk
= νρv
wü
= 3πdνρvwü
.
Re 2 w d 4
sz
ü
62

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Állandósult sebességű ülepedésre:
3
d π
d < 0,08mm : F ′
k
= G → 3πdνρvwü
= g( ρsz
− ρv
)→
6
w
ü
=
1
18
2
gd
ν
ρsz
− ρv
.
ρ
v
3
1 2 2 d π
d > 0,08 mm : F = ′
k
G → cwρπd
wü
= g( ρsz
− ρv
)→
8
6
w
ü
= 3
4
g
c
w
ρ
sz
− ρv
d
ρ
v
.
A görgetett hordalékmozgás alapösszefüggései
Du Boys (1879): a hordalékmozgató erő ill. fenék-csúsztatófeszültség mint féltapasztalati
összefüggések bevezetése. Feltevés egyszerűsített esetre: permanens
egyenletes vízmozgásnál a a fenék-csúsztatóerő munkájára fordítódik a helyzeti (vagy
piezometrikus) energia csökkenése. Ez egyúttal a hordalék-megmozdítást és mozgást
létrehozó elsődleges erőhatás. Mederfelület-egységre eső értéke a fenékcsúsztatófeszültség,
melyet a cső- illetve mederhidraulikában tanultak szerint, a
hidraulikus sugárral (széles medreknél a vízmélységgel) és az energiavonal esésével
(permanens egyenletes áramlás esetén megegyezően a fenék- és felszíneséssel) kifejezve:
τ = γ v
RS ≈ ρvghS
0
.
Bevezetjük az ún. fenékcsúsztató sebességet:
τ
vgRS
v = 0
ρ
*
= = gRS ≈ ghS .
ρ ρ
v
v
Ha fenti két paraméter elér ill. meghalad egy az adott mederanyagra jellemző
határértéket, a mederfelszínen a hordalék mozogni kezd. A mozgás kezdete Shields
(1936) szerint az alábbi jellemzőktől függ:
v , ρ , ρ , ν , d,
szemcsealak .
*
v
sz
A jellemzőket kombinálva bevezetjük a csúsztatósebességgel képzett Reynolds- és
Froude-számot:
2
v*
d
ρvv*
Re
*
= , Fr*
=
.
ν ( ρ − ρ )gd
sz
v
63

Hidraulika I. B M E E O V V A I 1 2
Az adott viszonyok ismeretében az ún. Shields-diagrammról leolvasható a mozgás
kezdetét jelentő állapot.
Shields-diagramm
Mozgás elindulása - mederformák megjelenése, vándorlása, átváltozása (mederfelszín
fodrozódás, dűnék, antidűnék stb.) - visszahatás pl. a mederérdességi viszonyokban.
Görgetett hordalékhozam
Időegység alatt, egységnyi szélességen szállított q h hordaléksúly (eredetileg kp/sm-ben).
Meyer-Peter és Müller (1934-48) féltapasztalati összefüggése az egyik legelterjedtebb:
ρv
ρ − ρ
sz
v
hS
d
2 3
qh
= 0 ,047 + 0,25 3 ρv
, ahol d = d
(
50 %
.
ρ − ρ )gd
További, röviden tárgyalandó témakörök:
- Lebegtetett hordalékmozgás
- Kimosódás műtárgyak körül
- Hordalékmozgás sekély tavakban, a hullámzás szerepe
sz
v
14. Laborlátogatás: A legfontosabb hidraulikai kisminta-típusok és
laboratóriumi kísérleti berendezések megtekintése.
64