Numerikus sorok - Index of
Numerikus sorok - Index of
Numerikus sorok - Index of
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Tehát s 2k monoton növő és felülről korlátos =⇒ s 2k konvergens, legyen s =<br />
lim<br />
k→∞ s 2k.<br />
Megmutatjuk, hogy s 2k+1 → s szintén, és így a sor konvergens.<br />
s 2k+1 = s 2k + c 2k+1 → s + 0 = s<br />
✎☞<br />
✍✌ M Az is megmutatható, hogy az s 2k+1<br />
részsorozat monoton csökkenően tart s -hez.<br />
0 ≤ s 2k+1 = (c 1 − c 2 ) + (c 3 − c 4 ) + · · · + (c 2k−1 − c 2k ) + c 2k+1 =<br />
= (c 1 − c 2 ) + (c 3 − c 4 ) + · · · + c<br />
} {{ 2k−1 − (c<br />
} 2k − c 2k+1 )<br />
} {{ }<br />
s 2k−1<br />
≥ 0<br />
≤ s 2k−1<br />
Hibabecslés Leibniz típusú <strong>sorok</strong>nál<br />
Tehát a Leibniz típusú <strong>sorok</strong>nál a páros indexű részletösszegek s -nél kisebbek vagy<br />
egyenlők:<br />
s 2k ≤ s.<br />
A páratlan indexű elemek monoton csökkenve tartanak s -hez, ezért<br />
s ≤ s 2k+1 .<br />
Mivel<br />
s − s 2k ≤ s 2k+1 − s 2k = c 2k+1 és s 2k+1 − s ≤ s 2k+1 − s 2k+2 = c 2k+2 ,<br />
ezért<br />
|H| = |s − s n | ≤ c n+1 , ∀ n ∈ N .<br />
•••<br />
✓✏∞∑<br />
Pl.<br />
✒✑<br />
n=1<br />
(−1) n+1 1<br />
3√ 2n + 1<br />
=<br />
∞∑<br />
n=1<br />
(−1) n+1 c n<br />
A sor Leibniz típusú és így konvergens, mivel c n =<br />
1<br />
3√ 2n + 1<br />
↘ 0 .<br />
✓✏∞∑<br />
Pl.<br />
✒✑<br />
n=1<br />
(−1) n+1 1<br />
n√ 2n + 1<br />
=<br />
1<br />
n√<br />
3<br />
n √ n<br />
} {{ }<br />
↓<br />
1<br />
=<br />
∞∑<br />
n=1<br />
a n =<br />
∞∑<br />
n=1<br />
(−1) n+1 c n<br />
1<br />
n√ 2n + n<br />
≤ c n < 1 → 1<br />
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 7 v1.4