Numerikus sorok - Index of

elégséges tétel alkalmazható. (s n ) akkor és csak akkor konvergens, ha ∀ ε > 0 -hoz
∃ M(ε) , hogy n, m > M(ε) esetén |s m − s n | < ε.
Legyen m > n és m = n + k ! Mivel
Ezért
s n = a 1 + a 2 + · · · + a n ,
s m = s n+k = a 1 + a 2 + · · · + a n + a n+1 + a n+2 + · · · + a n+k .
ha n > M(ε) és k ∈ N + tetszőleges.
|s m − s n | = |a n+1 + a n+2 + · · · + a n+k | < ε ,
✓✏∞∑
Pl.
✒✑ (−1) n+1 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · ·
n=1
konvergens
Ugyanis
|s n+k − s n | = |a n+1 + a n+2 + · · · + a n+k | =
1
∣n + 1 − 1
n + 2 + 1
n + 3 − · · · + (−1)k+1
n + k ∣ =
⎧ ( 1
n + 1 − 1 ) ( 1
+
n + 2 n + 3 − 1 ) (
1
+ · · · +
n + 4
n + k − 1 − 1 )
=
n + k
} {{ } } {{ } } {{ }
>0
>0
>0
= 1 ( 1
n + 1 − n + 2 − 1 ) ( ) 1
− · · · − , ha k páros
n + 3
n + k
} {{ } } {{ }
>0
>0
⎪⎨
=
( 1
n + 1 − 1 )
n + 2
} {{ }
>0
⎪⎩
Vagyis
= 1
n + 1 − ( 1
n + 3 − 1 ) (
)
1
+ · · · +
n + 4
n + k − 2 − 1
n + k − 1
} {{ } } {{ }
( 1
+
>0
>0
+ 1
n + k =
n + 2 − 1 ) (
1
− · · · −
n + 3
n + k − 1 − 1 )
, ha k páratlan
n + k
} {{ } } {{ }
>0
>0
|s n+k − s n | < 1
n + 1 < ε, ha n > 1 ε − 1 =⇒ N(ε) ≥ [ 1
ε − 1 ]
Későbbiekben könnyen ellenőrizhetjük, hogy ez egy úgynevezett Leibniz sor.
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 5 v1.4