Numerikus sorok - Index of
Numerikus sorok - Index of
Numerikus sorok - Index of
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
1. megoldás:<br />
lim<br />
n→∞<br />
cos 1 n − 1<br />
An α = 1 =⇒ lim<br />
n→∞<br />
cos 1 n − 1<br />
n α = A ≠ 0<br />
u := 1 n −→n ↓<br />
∞<br />
lim<br />
u→+0<br />
}<br />
α = 0-ra A = 0 lenne<br />
α > 0-ra 0 → 0 = A lenne =⇒ α < 0<br />
∞<br />
0<br />
0<br />
0<br />
cos u − 1<br />
} u{{ −α<br />
}<br />
L’H<br />
= lim<br />
u→+0<br />
− sin u<br />
= lim<br />
−αu−α−1 u→+0<br />
sin u<br />
u · 1<br />
−α−1 α = 1 α = A<br />
ha −α − 1 = 1 =⇒ α = −2, A = − 1 2 .<br />
Tehát cos 1 n − 1 ∼ −1 2<br />
2. megoldás:<br />
1<br />
n 2<br />
cos x − 1 = −2 sin 2 x cos 1<br />
2 azonosság segítségével: n − 1<br />
=<br />
( ) An α 2 1<br />
An α = −2 → A = − 1 2n<br />
2 , α = −2<br />
−2 sin 2 1<br />
2n<br />
An α<br />
→ 1, ha<br />
Feladat:<br />
Határozza meg A és α értékét úgy, hogy sin 1 n − 1 n ∼ Anα fennálljon!<br />
✎☞<br />
✍✌ T a n > 0, b n > 0<br />
a n ∼ b n =⇒<br />
∞∑<br />
an és<br />
∞∑<br />
bn egyidejűleg konvergens, illetve divergens<br />
(Jelben:<br />
∞∑<br />
an ∼<br />
∞∑<br />
bn )<br />
✎☞<br />
✍✌ B an ∼ b n =⇒ a n<br />
→ 1 =⇒ 1 − ε < a n<br />
< 1 + ε. Legyen ε < 1.<br />
b n b n<br />
Tehát c 1 b n < a n < c 2 b n (c 1 = 1 − ε > 0, c 2 = 1 + ε)<br />
Ha<br />
Ha<br />
∞∑<br />
an konvergens, akkor b n < 1 c 1<br />
a n miatt<br />
∞∑<br />
an divergens, akkor 1 c 2<br />
a n < b n miatt<br />
∞∑<br />
bn is konvergens (majoráns kritérium)<br />
∞∑<br />
bn is divergens (minoráns kritérium)<br />
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 36 v1.4