Numerikus sorok - Index of

✎☞
✍✌ T a n , b n , c n , d n > 0
⎧
1. a n + b n ∼ c n + d n
}
a n ∼ c n
b n ∼ d n
=⇒
⎪⎨
⎪⎩
2. a n b n ∼ c n d n
3.
4.
1
∼ 1 a n c n
b n
∼ d n
a n c n
Megint nincs különbség!
✎☞
B ✍✌
a n ∼ c n : a n
→ 1 =⇒ 0 < 1 − ε < a n
< 1 + ε, n > N 1
c n c n
b n ∼ d n :
Legyen n > max{N 1 , N 2 } = N
b n
d n
→ 1 =⇒ 0 < 1 − ε < b n
d n
< 1 + ε, n > N 2
1. 1 − ε = (1 − ε)c n + (1 − ε)d n
c n + d n
< a n + b n
c n + d n
< (1 + ε)c n + (1 + ε)d n
c n + d n
= 1 + ε ,
ha n > N
2. ¬B
3.
1
a n
1
c n
= c n
a n
= 1 a n
cn
→ 1
4. Az előző kettőből következik: a n ∼ c n =⇒ 1 a n
∼ 1 c n
; másrészt b n ∼ d n
=⇒ b n
a n
∼ d n
c n
✓✏
Pl.
✒✑a n = 3√ 2n 2 + n + 1 − 3√ 2n 2 − 3n − 7 =
2n 2 + n + 1 − (2n 2 − 3n − 7)
= ( √ 3
2n2 + n + 1 ) 2 √ +
3
2n 2 + n + 1 3√ 2n 2 − 3n − 7 + ( √ 3
2n 2 − 3n − 7 ) 2 ∼
∼
(
)
3√ 2 2 (
2 n 3 +
4n
3√
2 n
2
3
) 2
+
(
)
3√ 2 2
=
2 n 3
4n
3√
4 · 3 n
4
3
=
4
3 3√ 4 3√ n
=⇒ a n → 0
✓✏
Pl.
✒✑a n =
arctg √ n
3√
2n2 + n + 1 − 3√ 2n 2 − 3n − 7 ∼
π
2
4
3 3√ 4 3√ n
=konst· 3√ n → ∞
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 34 v1.4