Numerikus sorok - Index of

1. Azonos értelmű egyenlőtlenségek összeszorozhatók:
(α 1 β 1 )c n d n ≤ a n b n ≤ (α 2 β 2 )c n d n =⇒ a n b n = Θ(c n d n )
2.
3.
0 < α 1 c n ≤ α n ≤ α 2 c n
⎫
⎪⎬
0 < 1 1
≤ 1 ≤ 1 1 =⇒
⎪ ⎭
β 2 d n b n β 1 d n
tehát a ( )
n cn
= Θ
b n d n
( )
α1 cn
≤ a ( )
n α2 cn
≤ ,
β 1 d n b n β 1 d n
α(c n + d n ) ≤ α 1 c n + β 1 d n ≤ a n + b n ≤ α 2 c n + β 2 d n ≤ β(c n + d n )
=⇒ a n + b n = Θ(c n + d n )
α = min{α 1 , β 1 }, β = max{α 2 , β 2 }
✓✏
Pl.
✒✑a n = √ 2n 2 + 3n + 1 − √ n 2 − n + 1 =
=
(
Θ(n 2 )
Θ(n) + Θ(n) = Θ(n2 )
Θ(n + n) = Θ(n2 ) n
2
Θ(n) = Θ n
✓✏
Pl.
✒✑a n = √ 7n 2 − 2n + 10 − √ 7n 2 − 2n + 3 =
= Θ(1) ( ) 1
Θ(n + n) = Θ =⇒ a n → 0
n
n 2 + 4n
√
2n2 + 3n + 1 + √ n 2 − n + 1 =
)
= Θ(n) =⇒ a n → ∞
10 − 3
√
7n2 − 2n + 10 + √ 7n 2 − 2n + 3 =
8.2. a n ∼ b n
✎☞
✍✌ D an aszimptotikusan egyenlő b n -nel, jelben a n ∼ b n , ha
a n
lim = 1
n→∞ b n
✓✏
Pl.
✒✑sin 1 n ∼ 1 sin 1 n
, mert lim
n n→∞
1
= 1
n
✓✏ ( n
) n √
Pl.
✒✑n! ∼ 2πn Stirling formula (¬B)
e
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 33 v1.4