Numerikus sorok - Index of
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A Cauchy-szorzat:<br />
∞∑<br />
c n , ahol c n =<br />
n=1<br />
n∑<br />
b k a n−k+1 .<br />
k=1<br />
✎☞<br />
✍✌ T Ha<br />
∞∑<br />
k=1<br />
akkor a<br />
a k<br />
∞∑<br />
k=1<br />
és<br />
a k<br />
∞∑<br />
k=1<br />
és<br />
b k<br />
∞∑<br />
k=1<br />
∞∑<br />
∞∑<br />
abszolút konvergens <strong>sorok</strong> és a k = S a , b k = S b ,<br />
b k<br />
k=1<br />
k=1<br />
Cauchy-szorzata is abszolút konvergens, és<br />
∞∑<br />
c n = S a S b , ahol c n =<br />
n=1<br />
k=1<br />
n∑<br />
b k a n−k+1 .<br />
(¬B)<br />
✓✏∞∑<br />
Pl.<br />
✒✑<br />
k=0<br />
∞∑<br />
k=0<br />
x k = 1 + x + x 2 + · · · + x k + · · · = 1 , ha |x| < 1.<br />
1 − x<br />
(−1) k x k = 1 − x + x 2 + · · · + (−1) k x k + · · · = 1 , ha |x| < 1 .<br />
1 + x<br />
Írjuk fel a fenti két sor Cauchy-szorzatát!<br />
1 + x + x 2 + x 3 + · · · + x k + · · ·<br />
1 1 x x 2 x 3 · · · x k · · ·<br />
+ ✑ ✑✑ ✑ ✑✑ ✑ ✑✑<br />
−x −x −x 2 −x 3 −x 4 · · · −x k+1 · · ·<br />
+<br />
✑ ✑✑ ✑ ✑✑<br />
x 2 x 2 x 3 x 4 x 5 · · · x k+2 · · ·<br />
+<br />
✑ ✑✑<br />
−x 3 −x 3 −x 4 −x 5 −x 6 · · · −x k+3 · · ·<br />
+. .<br />
+<br />
(−1) k x k · · ·<br />
+. .<br />
Cauchy-szorzat:<br />
1+0+x 2 +0+x 4 +0+x 6 +· · · = 1+x 2 +x 4 +x 6 +· · ·+x 2k +· · · = 1<br />
1 − x = 1 1<br />
2 1 − x·<br />
1 + x ,<br />
ha |x| < 1 .<br />
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 27 v1.4