Numerikus sorok - Index of

A Cauchy-szorzat:
∞∑
c n , ahol c n =
n=1
n∑
b k a n−k+1 .
k=1
✎☞
✍✌ T Ha
∞∑
k=1
akkor a
a k
∞∑
k=1
és
a k
∞∑
k=1
és
b k
∞∑
k=1
∞∑
∞∑
abszolút konvergens sorok és a k = S a , b k = S b ,
b k
k=1
k=1
Cauchy-szorzata is abszolút konvergens, és
∞∑
c n = S a S b , ahol c n =
n=1
k=1
n∑
b k a n−k+1 .
(¬B)
✓✏∞∑
Pl.
✒✑
k=0
∞∑
k=0
x k = 1 + x + x 2 + · · · + x k + · · · = 1 , ha |x| < 1.
1 − x
(−1) k x k = 1 − x + x 2 + · · · + (−1) k x k + · · · = 1 , ha |x| < 1 .
1 + x
Írjuk fel a fenti két sor Cauchy-szorzatát!
1 + x + x 2 + x 3 + · · · + x k + · · ·
1 1 x x 2 x 3 · · · x k · · ·
+ ✑ ✑✑ ✑ ✑✑ ✑ ✑✑
−x −x −x 2 −x 3 −x 4 · · · −x k+1 · · ·
+
✑ ✑✑ ✑ ✑✑
x 2 x 2 x 3 x 4 x 5 · · · x k+2 · · ·
+
✑ ✑✑
−x 3 −x 3 −x 4 −x 5 −x 6 · · · −x k+3 · · ·
+. .
+
(−1) k x k · · ·
+. .
Cauchy-szorzat:
1+0+x 2 +0+x 4 +0+x 6 +· · · = 1+x 2 +x 4 +x 6 +· · ·+x 2k +· · · = 1
1 − x = 1 1
2 1 − x·
1 + x ,
ha |x| < 1 .
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 27 v1.4