Numerikus sorok - Index of

More documents

Recommendations

Info

$t.-l ,\l$

5.4. Gyökkritérium ✎☞ T2 ✍✌Ha ∀ n ≥ N -re a n > 0 és 1. √ ∞∑ n a n ≤ q < 1 =⇒ a n konv. 2. √ ∞∑ n a n ≥ 1 =⇒ a n div. ✎☞ B ✍✌ ∞∑ 1. 0 < a n ≤ qn és q n konvergens =⇒ N kritérium miatt. ∞∑ 2. a n ≥ 1 =⇒ a n ↛ 0 =⇒ a n div. N N N ∞∑ a n konvergens a majoráns N ✎☞ √ M5 n ✍✌ a n ≥ 1 elég, ha végtelen sok n-re igaz. Nem kell, hogy ∀ n > N-re teljesüljön. Ekkor már ∃ a nr ↛ 0 részsorozat. Ez a tétel is kimondható limeszes alakban: ✎☞ T ✍✌ 2 ∗ Ha lim n a n = c n→∞ és c < 1 =⇒ ∞∑ an konvergens. c > 1 vagy c = ∞ =⇒ ∞∑ an divergens. ✎☞ ✍✌ B Hasonló a hányados kritériumnál látotthoz. ✎☞ M6 ✍✌c = 1 , tehát lim √ n a n = 1 esetén nem használható a gyökkritérium. Az alábbi n→∞ két példa igazolja állításunk helyességét. ✓✏ ∞∑ 1 Pl. ✒✑ divergens és n √ lim n√ n 1 an = lim n→∞ n→∞ n = lim 1 n→∞ n√ = 1 n ✓✏ ∞∑ 1 Pl. ✒✑ konvergens és n 2 c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 19 v1.4
lim n→∞ n√ an = lim n→∞ √ n 1 n = lim 2 n→∞ 1 ( n√ n) 2 = 1 Bebizonyítható az alábbi állítás is: Ha a n > 0, n > N és lim n√ a n < 1 =⇒ Ha a n > 0, n > N és lim n√ a n > 1 =⇒ ∞∑ an konv. ∞∑ an div. ✎☞ M6 ✍✌A második állítás könnyen bizonyítható, hiszen lim n√ a n > 1 -ből következik a divergencia, mivel végtelen sok n -re: n√ an > 1 =⇒ a n > 1 ; tehát ∃ a nr ↛ 0 részsorozat. ✓✏ Pl. ✒✑Konvergens-e az alábbi sor? ∞∑ ( ) 2n 2 2n 3 + 2 2n 2 + 5 n=1 A feladatot a T ∗ 2 tétellel (gyökkritériummal) oldjuk meg. lim n → ∞ n√ an = lim n → ∞ ( ) 2n 2 2n 2 + 2 2n 2 + 5 = lim n → ∞ ( 1 + 2 ) 2n 2 2n 2 ( 1 + 5 ) 2n 2 2n 2 = e2 e 5 = 1 e 3 < 1 =⇒ ∞∑ a n konvergens. n=1 5.4.1. Feladatok Vizsgálja meg az alábbi <strong>sorok</strong>at konvergencia szempontjából! c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 20 v1.4
Page 1 and 2: VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS
Page 3 and 4: s 2k+1 = 1 → 1 s 2k = 0 → 0 } =
Page 5 and 6: ✎☞∑ ∞ ∞∑ ✍✌ M (c ·
Page 7 and 8: 1.1. A konvergencia szükséges fel
Page 9 and 10: =⇒ lim c n = 1 =⇒ lim a n ≠ 0
Page 11 and 12: 4. Pozitív tagú sorok ✎☞ ✍
Page 13 and 14: A tétel alkalmazható. ∞∑ 1 2
Page 15 and 16: A sor divergens, mivel a rendőrelv
Page 17 and 18: ∞∑ ∞∑ a n -nek q n−1 a 1
Page 19: (lim a n+1 a n Ha a n > 0 ∀ n, é
Page 23 and 24: Most viszont a hányados kritérium
Page 25 and 26: 2. ∫ n 1 f(x) dx ≤ a 1 + a 2 +
Page 27 and 28: t 1 = b 1 a 1 , t 2 = b 2 a 1 + b 2
Page 29 and 30: Házi feladat: ∞∑ x k ∞∑ Ha
Page 31 and 32: m) n) o) p) q) r) s) ∞∑ ( ) n n
Page 33 and 34: 8. Számsorozatok nagyságrendje
Page 35 and 36: ✎☞ ✍✌ T a n , b n , c n , d
Page 37 and 38: 1. megoldás: lim n→∞ cos 1 n
Page 39: ✎☞ ✍✌ D an = o(b n ) ( kis

Numerikus sorok - Index of

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?