Numerikus sorok - Index of
Numerikus sorok - Index of
Numerikus sorok - Index of
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
5.4. Gyökkritérium<br />
✎☞<br />
T2<br />
✍✌Ha ∀ n ≥ N -re a n > 0 és<br />
1. √ ∞∑<br />
n<br />
a n ≤ q < 1 =⇒ a n konv.<br />
2. √ ∞∑<br />
n<br />
a n ≥ 1 =⇒ a n div.<br />
✎☞<br />
B ✍✌<br />
∞∑<br />
1. 0 < a n ≤ qn és q n konvergens =⇒<br />
N<br />
kritérium miatt.<br />
∞∑<br />
2. a n ≥ 1 =⇒ a n ↛ 0 =⇒ a n div.<br />
N<br />
N<br />
N<br />
∞∑<br />
a n konvergens a majoráns<br />
N<br />
✎☞ √<br />
M5 n<br />
✍✌ a n ≥ 1 elég, ha végtelen sok n-re igaz. Nem kell, hogy ∀ n > N-re teljesüljön.<br />
Ekkor már ∃ a nr ↛ 0 részsorozat.<br />
Ez a tétel is kimondható limeszes alakban:<br />
✎☞<br />
T<br />
✍✌ 2 ∗ Ha lim<br />
n<br />
a n = c<br />
n→∞<br />
és<br />
c < 1 =⇒<br />
∞∑<br />
an konvergens.<br />
c > 1 vagy c = ∞ =⇒<br />
∞∑<br />
an divergens.<br />
✎☞<br />
✍✌ B Hasonló a hányados kritériumnál látotthoz.<br />
✎☞<br />
M6<br />
✍✌c = 1 , tehát lim<br />
√ n<br />
a n = 1 esetén nem használható a gyökkritérium. Az alábbi<br />
n→∞<br />
két példa igazolja állításunk helyességét.<br />
✓✏ ∞∑ 1<br />
Pl.<br />
✒✑ divergens és<br />
n<br />
√<br />
lim n√ n 1<br />
an = lim<br />
n→∞<br />
n→∞ n = lim 1<br />
n→∞ n√ = 1 n<br />
✓✏ ∞∑ 1<br />
Pl.<br />
✒✑ konvergens és<br />
n 2<br />
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 19 v1.4