Numerikus sorok - Index of

1. Numerikus sorok konvergenciája
A
∑ ∞ a k
k=1
módon:
végtelen összeghez hozzárendelünk egy ( s n ) számsorozatot a következő
s n :=
n∑
a k :
k=1
∞∑
k=1
a k = a }{{} 1 +a 2 +a 3 + · · · + a n + · · ·
s
}
1
{{ }
s
}
2
{{ }
s
}
3
{{ }
s n
n-edik részletösszeg
E számsorozat határértékének segítségével definiáljuk a sor összegét az alábbiaknak
megfelelően.
✎☞ ∑ ∞
✍✌ D A a k numerikus sor konvergens és összege s , ha létezik a
k=1
(véges) határérték.
( n∑
)
lim s n = lim a k = s ∈ R
n→∞ n→∞
k=1
A részletösszegek (s n ) sorozatának viselkedése szerint az alábbi esetek lehetségesek:
⎧
s ∈ R ,
∞∑
n∑
⎪⎨ ⎫ az összeg konvergens
+∞ , ⎬
a k = lim a k = lim s n =
n→∞
n→∞ −∞ , az összeg divergens.
k=1
k=1
⎪⎩ ⎭
∄ ,
✓✏ ∞∑
∑
Pl.
✒✑ 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + · · · esetén s n = n 1 = n
k=1
k=1
=⇒ lim
n→∞
s n = ∞
(Divergens a sor.)
✓✏ ∞∑
Pl.
✒✑ (−1) k+1 = 1 − 1 + 1 − 1 + · · · + (−1) k + · · · divergens, mert
k=1
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 1 v1.4