Numerikus sorok - Index of
Numerikus sorok - Index of
Numerikus sorok - Index of
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
0 < a n ≤ a n+1 , tehát a n ↗ (és a n > 0) =⇒ a n ↛ 0 (nem teljesül a szükséges<br />
∞∑<br />
feltétel) =⇒ a n divergens<br />
1<br />
A hányados kritérium egy kényelmesebben használható formában is kimondható:<br />
✎☞<br />
T<br />
✍✌ 1 ∗<br />
1. (a n > 0, ∀ n) ∧<br />
2. (a n > 0, ∀ n) ∧<br />
(<br />
)<br />
a n+1<br />
∃ lim = c < 1<br />
n→∞ a n<br />
(<br />
)<br />
a n+1<br />
∃ lim = c > 1<br />
n→∞ a n<br />
=⇒<br />
=⇒<br />
∞∑<br />
a n konv.<br />
n=1<br />
∞∑<br />
a n div.<br />
n=1<br />
✎☞<br />
B ✍✌<br />
1. Legyen ε = 1 − c , így q = c + ε < 1. A határérték tulajdonsága miatt<br />
2<br />
a n+1<br />
< q < 1 , ∀ n > N(ε).<br />
a n<br />
∞∑<br />
∞∑<br />
Ezért T 1 (1)-ből adódik, hogy<br />
a n<br />
n=N(ε)<br />
és így vele együtt<br />
2. Legyen ε = c − 1 , így q = c − ε > 1 . Ekkor ∃ N(ε) , hogy<br />
2<br />
a n+1<br />
> q > 1, ∀ n > N(ε).<br />
a n<br />
Így T ∗ 1 (2)-ből adódik az állítás.<br />
a n<br />
n=1<br />
is konvergens.<br />
T ∗ a n+1<br />
1 (2) állítása c = ∞ esetén is igaz. Ugyanis, ha lim<br />
n→∞ a n<br />
megfelelő q . (Pl. q = 2 is választható.)<br />
1<br />
✎☞<br />
M4<br />
✍✌<br />
= ∞ , akkor is található<br />
✎☞ a n+1<br />
M3<br />
✍✌Ha lim = 1 , akkor nem tudtunk meg semmit a konvergenciáról. Lehet a<br />
n→∞ a n<br />
sor konvergens és divergens is.<br />
∞∑ 1<br />
∑ ∞<br />
1<br />
a n+1<br />
Pl. divergens, és a konvergens <strong>sorok</strong> esetén egyaránt lim = 1.<br />
n n 2 n→∞ a n<br />
1<br />
A fenti tétel tovább finomítható. Bebizonyíthatók az alábbi állítások is:<br />
Ha a n > 0 ∀ n, és lim a n+1<br />
a n<br />
< 1 =⇒<br />
∞∑<br />
a n konvergens.<br />
1<br />
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 17 v1.4