Numerikus sorok - Index of

0 < a n ≤ a n+1 , tehát a n ↗ (és a n > 0) =⇒ a n ↛ 0 (nem teljesül a szükséges
∞∑
feltétel) =⇒ a n divergens
1
A hányados kritérium egy kényelmesebben használható formában is kimondható:
✎☞
T
✍✌ 1 ∗
1. (a n > 0, ∀ n) ∧
2. (a n > 0, ∀ n) ∧
(
)
a n+1
∃ lim = c < 1
n→∞ a n
(
)
a n+1
∃ lim = c > 1
n→∞ a n
=⇒
=⇒
∞∑
a n konv.
n=1
∞∑
a n div.
n=1
✎☞
B ✍✌
1. Legyen ε = 1 − c , így q = c + ε < 1. A határérték tulajdonsága miatt
2
a n+1
< q < 1 , ∀ n > N(ε).
a n
∞∑
∞∑
Ezért T 1 (1)-ből adódik, hogy
a n
n=N(ε)
és így vele együtt
2. Legyen ε = c − 1 , így q = c − ε > 1 . Ekkor ∃ N(ε) , hogy
2
a n+1
> q > 1, ∀ n > N(ε).
a n
Így T ∗ 1 (2)-ből adódik az állítás.
a n
n=1
is konvergens.
T ∗ a n+1
1 (2) állítása c = ∞ esetén is igaz. Ugyanis, ha lim
n→∞ a n
megfelelő q . (Pl. q = 2 is választható.)
1
✎☞
M4
✍✌
= ∞ , akkor is található
✎☞ a n+1
M3
✍✌Ha lim = 1 , akkor nem tudtunk meg semmit a konvergenciáról. Lehet a
n→∞ a n
sor konvergens és divergens is.
∞∑ 1
∑ ∞
1
a n+1
Pl. divergens, és a konvergens sorok esetén egyaránt lim = 1.
n n 2 n→∞ a n
1
A fenti tétel tovább finomítható. Bebizonyíthatók az alábbi állítások is:
Ha a n > 0 ∀ n, és lim a n+1
a n
< 1 =⇒
∞∑
a n konvergens.
1
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 17 v1.4