Numerikus sorok - Index of
Numerikus sorok - Index of
Numerikus sorok - Index of
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
∞∑<br />
∞∑<br />
a n -nek q n−1 a 1 konvergens majoránsa (geometriai sor, 0 < q < 1 ) =⇒<br />
1<br />
∞∑<br />
1<br />
a n<br />
1<br />
konvergens.<br />
2. Mivel a n+1 ≥ q a n ≥ q 2 a n−1 ≥ · · · ≥ q n a 1 , ∀ n , ezért<br />
∞∑<br />
∞∑<br />
a n -nek q n−1 a 1 divergens minoránsa (geometriai sor, q ≥ 1) =⇒<br />
1<br />
∞∑<br />
1<br />
a n<br />
1<br />
divergens.<br />
✎☞∑<br />
∞<br />
M1<br />
✍✌ a n és<br />
1<br />
∞∑<br />
N 0<br />
a n egyidejűleg konvergens ill. divergens, ezért elég, ha a T 1 feltételei<br />
∀ n ≥ N 0 -ra teljesülnek.<br />
(Természetesen, ha konvergensek, akkor az első sor összege a 1 + a 2 + · · · + a N0 −1 -gyel<br />
több, mint a második sor összege.)<br />
✎☞<br />
M2<br />
✍✌T 1 (1)-nél nem elég megmutatni, hogy a n+1<br />
< 1 , q -t is kell találni.<br />
a n<br />
✓✏ ∞∑ 1<br />
Pl.<br />
✒✑<br />
1 n<br />
divergens, pedig<br />
a n = 1 n , a n+1 = 1<br />
n + 1<br />
✓✏ ∞∑<br />
Pl.<br />
✒✑<br />
1<br />
a n+1<br />
a n<br />
=<br />
1<br />
n 2<br />
1<br />
(n + 1) 2<br />
1<br />
n 2 =<br />
konvergens.<br />
miatt<br />
És most is<br />
a n+1<br />
a n<br />
=<br />
1<br />
n + 1<br />
1<br />
n<br />
= n<br />
n + 1 < 1 .<br />
( )<br />
n 2<br />
2 n<br />
(n + 1) = < 1 . (De ∄ 0 < q < 1 )<br />
2 n + 1<br />
T 1 (2)-nél viszont q megtalálása nem fontos. A tétel így is kimondható.<br />
Ekkor ugyanis:<br />
(a n > 0) ∧<br />
(<br />
an+1<br />
a n<br />
≥ 1, ∀ n ≥ N 0<br />
)<br />
=⇒<br />
∞∑<br />
a n div.<br />
1<br />
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 16 v1.4