Numerikus sorok - Index of

More documents

Recommendations

Info

$t.-l ,\l$

5.2. Minoráns kritérium ✎☞ ✍✌ T Ha 0 ≤ d n ≤ a n ∀ n-re és ∞∑ d n divergens =⇒ n=1 ∞∑ a n divergens n=1 ✎☞ ✍✌ B s a n ≥ s d n → ∞ =⇒ s a n → ∞ (spec. rendőrelv) ✎☞ ✍✌ M Mindkét esetben elegendő, ha a feltétel ∀ n helyett n ≥ N 0 -ra teljesül. ∑ ( ∞ ∞∑ a n és a n egyidejűleg konvergens ill. divergens, hiszen az első szumma részletösszegei c = N ∑0−1 a n konstanssal nagyobbak, mint a második szumma n=1 n=N 0 részletösszegei.) n=1 ✓✏∞∑ Pl. ✒✑ n=1 1 2n + 1 = ∞∑ n=1 a n A harmonikus sorból végtelen sok tagot elhagytunk. Vajon konvergens-e az új sor? A minoráns kritériummal belátjuk, hogy még ez a sor is divergens. Ugyanis a n > 1 2n + n = 1 3n , ∞ ∑ n=1 1 3n = 1 3 ∞∑ n=1 ∞ 1 n divergens =⇒ ∑ n=1 a n divergens ✓✏∞∑ Pl. ✒✑ n=2 1 √ 2n5 + 3 = ∞∑ n=1 a n a n < 1 √ 2n 5 = 1 √ 2 n 5/2 , 1 √2 ∞ ∑ n=1 1 konvergens (α = 5 ∞ n 5/2 2 > 1) =⇒ ∑ n=1 a n konvergens ✓✏∞∑ Pl. ✒✑ n=1 1 n√ 2n5 + 3 = ∞∑ n=1 a n c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 13 v1.4
A sor divergens, mivel a rendőrelvvel megmutatható, hogy lim n → ∞ a n = 1 , tehát nem tart nullához, így nem teljesül a konvergencia szükséges feltétele. Részletezve: 1 n√ √ 5 ( n n) 5 = } {{ } ↓ 1 1 · 1 = 1 5 1 n√ 2n5 + 3n 5 ≤ a n = =⇒ a n → 1 . 1 n√ 2n5 + 3 < 1 n √ 1 = 1 }{{} ↓ 1 ✓✏∞∑ Pl. ✒✑ n=1 n + 2 3n 4 + 5 = ∞∑ n=1 a n a n < n + 2n 3n 4 = 1 n 3 , ∞ ∑ n=1 1 n 3 konvergens (α = 3 > 1) =⇒ ∞∑ n=1 a n konvergens ✓✏∞∑ Pl. ✒✑ n=1 2n 2 − 32 n 3 + 8 = ∞∑ n=1 a n n ≥ 4 -re a sor pozitív tagú. A minoráns kritériummal megmutatjuk, hogy divergens. Ugyanis, ha n ≥ 6 , akkor n 2 > 32 és ezért a n = 2n2 − 32 n 3 + 8 > 2n2 − n 2 n 3 + 8n 3 = 1 9n , ∞ ∑ n=1 1 9n = 1 9 ∞∑ n=1 1 n divergens =⇒ ∞∑ n=1 a n divergens. ✓✏∞∑ Pl. ✒✑ n=1 2 n + 3 n+1 2 2n+3 + 5 = ∞∑ n=1 a n 1 2 ∞∑ n=1 a n = 2n + 3 · 3 n 8 · 4 n + 5 < 3n + 3 · 3 n = 1 ( n 3 8 · 4 n 2 4) ( ) n 3 konvergens geometriai sor (q = 3 ) 4 4 , |q| < 1 =⇒ ∞∑ n=1 a n konvergens c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 14 v1.4
Page 1 and 2: VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS
Page 3 and 4: s 2k+1 = 1 → 1 s 2k = 0 → 0 } =
Page 5 and 6: ✎☞∑ ∞ ∞∑ ✍✌ M (c ·
Page 7 and 8: 1.1. A konvergencia szükséges fel
Page 9 and 10: =⇒ lim c n = 1 =⇒ lim a n ≠ 0
Page 11 and 12: 4. Pozitív tagú sorok ✎☞ ✍
Page 13: A tétel alkalmazható. ∞∑ 1 2
Page 17 and 18: ∞∑ ∞∑ a n -nek q n−1 a 1
Page 19 and 20: (lim a n+1 a n Ha a n > 0 ∀ n, é
Page 21 and 22: lim n→∞ n√ an = lim n→∞
Page 23 and 24: Most viszont a hányados kritérium
Page 25 and 26: 2. ∫ n 1 f(x) dx ≤ a 1 + a 2 +
Page 27 and 28: t 1 = b 1 a 1 , t 2 = b 2 a 1 + b 2
Page 29 and 30: Házi feladat: ∞∑ x k ∞∑ Ha
Page 31 and 32: m) n) o) p) q) r) s) ∞∑ ( ) n n
Page 33 and 34: 8. Számsorozatok nagyságrendje
Page 35 and 36: ✎☞ ✍✌ T a n , b n , c n , d
Page 37 and 38: 1. megoldás: lim n→∞ cos 1 n
Page 39: ✎☞ ✍✌ D an = o(b n ) ( kis

Numerikus sorok - Index of

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?