Numerikus sorok - Index of

Vagyis
∞∑
l=1
∞∑
n=1
1
(2 l ) α · 2l =
1
n és ∑ ∞
1
α (2 l ) · α 2l egyidejűleg konvergens, illetve divergens.
∞∑
l=1
l=1
1 1
=
2 αl 2 −l
∞∑
( ) lα−l 1
=
2
l=1
∞∑
( ) (α−1)l 1
=
2
Geometriai sort kaptunk,
( )
mely csak akkor konvergens, ha
α−1
1
|q| = < 1.
2
l=1
(
∞∑ (1 ) ) α−1 l
=
2
l=1
∞∑
l=1
q l
Tehát a konvergencia csak akkor teljesül, ha α − 1 > 0, vagyis α > 1.
Vigyázat! A tételben szereplő két sor összege nem azonos, tehát nem tudtuk megállapítani
∞∑ 1
a sor összegét, csak a konvergencia tényét tudtuk megállapítani α > 1 -re.
1
n α
Ilyenkor a megfelelő s n részletösszeggel tudjuk közelíteni a sor összegét az esetleg előírt
pontossággal (lásd hibabecslések).
✓✏ ∞∑ 1
Pl.
✒✑ n · log
n=n 1 2 n
Ugyanis:
divergens
∞∑ 1
∞∑
2 l · log
l=l 2 2 · 1
l 2l =
l
1 l=l 1
divergens.
✓✏ ∞∑ 1
Pl.
✒✑ n · (log
n=n 1 2 n) p
p > 1 konvergens, egyébként divergens
p > 0 esetén alkalmazható az előző tétel:
∞∑ 1
∞∑
2 l · (log
l=l 2 2 l ) · 1
p 2l = 0 < p ≤ 1 : div.; 1 < p : konv.
l p
1 l=l 1
(p ≤ 0 esete HF. Pl. minoráns kritériummal — lásd később — megmutatható.)
✓✏ ∞∑ 1
Pl.
✒✑ n · log
n=n 1 2 n · log 2 log 2 n
divergens
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 11 v1.4