Numerikus sorok - Index of
Numerikus sorok - Index of
Numerikus sorok - Index of
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
4. Pozitív tagú <strong>sorok</strong><br />
✎☞<br />
✍✌ T (i) Egy pozitív tagú sor részletösszegei monoton növekedőek.<br />
(ii) Egy pozitív tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha részletösszegeinek<br />
sorozata korlátos.<br />
✎☞<br />
B ✍✌<br />
(i) Ha a n ≥ 0, ∀ n ∈ N, akkor s n+1 = s n + a n+1 ≥ s n ∀ n-re.<br />
(ii) a) Ha a sor konvergens, akkor (s n ) konvergens =⇒ (s n ) korlátos<br />
b) Ha (s n ) korlátos, akkor (s n ) ↗ miatt (s n ) konvergens.<br />
✎☞<br />
✍✌ M Pozitív tagú sor vagy konvergens, vagy ∞-nel egyenlő. Ez nem igaz általánosságban<br />
egy váltakozó előjelű sorra, ahol a részletösszegek sorozatának lehet több torlódási pontja<br />
∞∑<br />
(pl. (−1) k ).<br />
k=0<br />
✎☞<br />
✍✌ T a k > 0; a k ≥ a k+1 feltételek mellett<br />
∞∑<br />
a a k sor akkor és csak akkor konvergens, ha<br />
k=1<br />
∞∑<br />
a 2 l · 2 l<br />
l=1<br />
is konvergens<br />
✎☞<br />
✍✌ B (¬B)<br />
A bizonyítás lényege, hogy az első sor részletösszegei a második sor megfelelő részletösszegeivel<br />
alulról és felülről is becsülhetőek. A becslés igazolásához fontos feltenni,<br />
hogy az (a k ) sorozat monoton csökken.<br />
(A részletes bizonyítás megtekinthető Walter Rudin: A matematikai analízis alapjai<br />
című könyvében.)<br />
Példák a tétel alkalmazására:<br />
✓✏ ∞∑ 1<br />
Pl.<br />
✒✑ konvergens, ha α > 1 .<br />
nα n=1<br />
Egyébként divergens.<br />
Ha α ≤ 0 : a n = 1<br />
n α = n|α| ↛ 0<br />
A konvergencia szükséges feltétele nem teljesül =⇒ divergens a sor.<br />
Ha α > 0 : a n = 1 ↘ , így alkalmazható az előző tétel:<br />
nα c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 10 v1.4