Numerikus sorok - Index of

3. Sorok abszolút és feltételes konvergenciája
✎☞ ∑ ∞
✍✌ D ak sor abszolút konvergens, ha
∞∑
(
Pl. − 1 k
abszolút konvergens.
2)
k=1
∞∑
|ak | konvergens.
(Konvergens geometriai sorokról van szó, ahol a kvóciens − 1 2 illetve 1 2 . )
∞∑ (−1) k+1
k=1
k
nem abszolút konvergens, de konvergens.
✎☞
✍✌ D
Feltételesen konvergens sor:
a konvergens, de nem abszolút konvergens sor
∞∑ (−1) k+1
Ilyen pl. a
sor.
k
k=1
∑
Ugyanis beláttuk, hogy ez a sor konvergens, de a ∞ (−1) k+1
∣ k ∣ = ∑ ∞
k=1
k=1
1
k
sor divergens.
✎☞
✍✌ T
( ∞
∑
|ak | konvergens
)
=⇒
( ∞
∑
ak konvergens)
Tehát az abszolút konvergenciából következik a konvergencia.
✎☞ ∞∑
✍✌ B Ha |ak | konvergens, akkor teljesül rá a Cauchy kritérium, továbbá
miatt
|a n+1 + · · · + a n+k | ≤ |a n+1 | + · · · + |a n+k |
|a n+1 + · · · + a n+k | ≤ ||a n+1 | + · · · + |a n+k || < ε, ha n > M(ε), k ∈ N +
} {{ }
Cauchy kritérium ∞ ∑ |ak |-ra
∞∑
Így ak -ra is teljesül a szükséges és elégséges tétel (Cauchy kritérium), tehát
konvergens.
Ez a tétel azt mutatja, hogy az abszolút konvergencia vizsgálata igen hasznos lehet.
A ∞ ∑ |ak | sor elemei nem negatívak, sőt pozitívnak tekinthetők, mivel a nulla elemeket
nyilván nem kell figyelembe vennünk.
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 9 v1.4