Jegyzet - NymE GEO portál

VETÜLETTAN
Bácsatyai László
SZÉKESFEHÉRVÁR, 2008

Bevezetés
Jelen jegyzet alapját a „Magyarországi vetületek” c., a Szaktudás Kiadóháznál 2006-ban megjelent
tankönyv képezi. A tárgyalt vetületi rendszerek tekintetében nem törekszik teljességre,
kizárólag a Magyarországon alkalmazott vetületi rendszerekkel foglalkozik. A bevezetı általános
fogalmak után sorrendben a vetületi torzulásokat és redukciókat, majd a kizárólag Magyarországon
kidolgozott, a mindenkori magyarországi területi sajátosságokat magukon hordozó,
a magyarországi térképezés céljára kiválasztott geodéziai vetületeket tárgyalja. A következı
részek a Gauss-féle szögtartó gömbi vetületet, a Magyarországon is használt nemzetközi
vetületeket, a Gauss-Krüger és az UTM vetületet tartalmazzák. A könyv utolsó fejezetének
tárgya a vetületi rendszerek közötti átszámítások.
E jegyzet nem pótolhatja és nem is helyettesítheti Hazay Istvánnak a geodéziai vetületek terén
Magyarországon mindmáig alapmőnek tekinthetı munkásságát és nem versenytársa, hanem
kiegészítıje kíván lenni az e témában eddig megjelent irodalmaknak. Ezek közé tartoznak
Varga Józsefnek a BME földmérı és térinformatika szakos hallgatói, ill. Németh Gyulának az
NyME Geoinformatikai Kara hallgatói számára írt jegyzetei.
Törekedtem arra, hogy a számítástechnika mai színvonalának megfelelı anyagot állítsak öszsze.
Ezért többek között – a Gauss-Krüger és az UTM vetületek kivételével – mind a vetületi
egyenleteknél, mind a vetületi redukcióknál elhagytam a vetületi sorokat és a legtöbb esetben
számítógépen különösebb nehézségek nélkül programozható zárt képleteket fogalmaztam
meg. Az egyes anyagrészeket számítási példákkal egészítettem ki.
A vetületi rendszerek közötti átszámítások felfogásmódját a GIS és a GPS technika mai
fejlettségi szintjéhez igazítottam, bemutatva, hogy az átszámításokat a térben kell elvégezni: a
GPS mérésekbıl a térben 3 koordinátát kapunk egy, középpontjával a Föld tömegközéppontjába
helyezett vonatkoztatási ellipszoid térbeli, ill. ellipszoidi földrajzi koordinátarendszerében.
A különbözı országok vetületi (és magassági) rendszereinek összekapcsolása ezen keresztül
lehetséges.
A térben megszerkesztett ábrák a síkban, sajnos, nem mindig azt mutatják, amit térben látni
lehetett, a síkban, a jegyzet ábrájaként sajnos szegényebbé válnak. Remélem azonban, hogy –
a jegyzetet kiegészítı powerpointos bemutató animált ábráinak megtekintése után - az ábrák
megfelelı figyelemmel jobban követhetık.
A jegyzetben alkalmazott jelölések több helyen különböznek a „Magyarországi vetületek” c.
tankönyv jelöléseitıl. Ennek fı oka, hogy elkerülni igyekeztem az átfedéseket, esetleges ellentmondásokat
a Felsıgeodézia tantárgyban követett jelölésrendszerrel. A jelölések módosítására
elsısorban az ellipszoidi és gömbi földrajzi szélesség és hosszúság, a geoidunduláció és
a harántgörbületi sugár vonatkozásában volt szükség. Így is elıfordul, hogy különbözı fogalmakat
azonos betővel jelöltem. A geoidunduláció mellett pl. U-val jelölöm a hossztorzulást és
2

a jegyzet utolsó fejezetében a normálpotenciált is. Ugyanazon fejezetben viszont azonos jelölés
nem fordul elı, úgyhogy értelmezési problémák remélhetıleg nem lesznek majd.
A jegyzet – a tankönyvvel ellentétben – nem tartalmaz levezetéseket, a közölt képletek többsége
részben a szemléletesség kedvéért, részben azért, hogy a gyakorlati feladatok megoldásában
segítsen, szerepel a jegyzetben. A képletek memorizálása szükségtelen, elvárható viszont,
hogy a számonkérés során a hallgatók a képletek helyét és szerepét, a bennük szereplı
jelöléseket felismerjék.
A jegyzet alapjául szolgáló könyv megírásakor komoly támogatást és segítséget kaptam
Ádám József egyetemi tanár, akadémikustól, aki tanácsaival végig segítette munkámat. Hálámat
fejezem ki könyvem lektorainak, Varga József egyetemi adjunktusnak és. Csepregi Szabolcs
fıiskolai tanárnak, akik részletekbe menı, helyenként szigorú ítéletükkel remélhetıleg
megakadályozták, hogy könyvemben, s így remélhetıleg e jegyzetben se maradjanak tisztázatlan
fogalmak, definíciók. Sajnos, Csepregi tanár úr már nem lehet közöttünk, hogy a Vetülettan
oktatásában esetleg felmerülı problémák megoldásában segítsen, remélhetıleg minden
vonatkozásban számíthatok viszont Németh Gyula fıiskolai tanár úr közremőködésére, aki
Karunkon a tantárgy eddigi gondozója volt. A tantárgy gyakorlati foglalkozásait is az ı eddigi
gyakorlatainak felhasználásával készítettem elı.
Székesfehérvár, 2008. szeptember 11.
Bácsatyai László
3

Alapfogalmak
A földfelszín megismerésének egyik legfontosabb segédeszköze és a mérnöki tervezés alapja
a térkép. Szó szerinti értelemben a térkép a térnek a képe, olyan síkbeli alkotás, amely a valós
földfelszín modellezésének végterméke és a körülöttünk lévı háromdimenziós világot, illetve
annak kisebb-nagyobb részeit különbözı mértékő kicsinyítésben ábrázolja. A földfelszín térképi
végtermék célú modellezésének folyamatát az alábbi ábrán követhetjük végig.
Felsıgeodézia
Z
geoid
X
Y
Térbeli (3D, geocentrikus)
modell
Vízszintes (2D) modell
Földünk – a valós világ
Vetülettan
Magassági (1D) modell
Ellipszoid, gömb: kis területen
legjobban illeszkedik
Kicsinyítve: térkép
alapfelület:
ellipszoid, vagy
gömb
A térképezés
felülete: képfelület
Vetület síkja
A földfelszín modellezésének folyamatábrája
A valós világ pontjai értelmezhetık egy, origójával a Föld tömegközéppontjába helyezett
(geocentrikus) térbeli derékszögő koordinátarendszerben. Gyerekkorunk óta kialakult szemléletmódunknak
megfelelıen a valós világ pontjait
vízszintes (2D, kétdimenziós modell),
függıleges (1D, egydimenziós magassági modell) helyzetükkel adjuk meg.
A Föld vízszintes, kétdimenziós modelljét több lépésben (közelítésben) állítjuk elı:
1. Geoid: a Föld nehézségi erıteréhez kapcsolódó, zárt matematikai formában nem leírható,
idealizált térbeli felület, a nyugalomban lévı közepes tengerszint felülete. Nem alkalmas
arra, hogy egy matematikailag szigorúan megalapozott térképrendszert érthetı formában
ráépítsünk.
2. Alapfelület: matematikailag viszonylag egyszerően leírható, szabályos térbeli felület, forgási
ellipszoid, vagy gömb.
3. Képfelület: az alapfelülethez illesztett sík, vagy síkba fejthetı felület.
Az alapfelület és a képfelület egy lehetséges kapcsolódását mutatja be az alábbi ábra:
4

alapfelület
képfelület
4. Vetület: a képfelület síkba terítésével jön létre.
5. Térkép: a vetület szükség és cél szerinti kicsinyítése. A kicsinyítés mértékszáma a térkép
méretaránya:
M = térképi méretarány=
térképi hossz
vetületi hossz
.
Az egydimenziós magassági modell kétféleképpen értelmezhetı:
1. A geoidhoz képest: középtengerszint feletti magasság, H.
2. Az ellipszoidhoz képest: ellipszoidi magasság, h.
A két fajta magasság különbsége a geoidunduláció:
U = h − H .
A domborzatábrázolást is tartalmazó (szintvonalas) térképek a geoidhoz képest értelmezett
magassági modellre épülnek.
A valós földfelszínrıl az alapfelületre (ellipszoidra) történı áttérés fizikai és matematikai törvényszerőségeivel
a Felsıgeodézia, az alapfelületrıl a vetületre való áttérés matematikaigeometriai
összefüggéseivel, jellemzı tulajdonságaival pedig a Vetülettan foglalkozik.
A vetítés
Az alapfelületrıl a képfelületre vetítéssel térünk át. A vetítés matematikai összefüggésekkel
történhet
1. geometriailag megszerkeszthetı és szemléltethetı,
2. geometriailag nem szemléltethetı módon.
Az elsı esetben a vetítést valamilyen vetítési középpontból végezzük és vetítısugarakkal közvetítjük.
Ha a vetítési középpont a végtelenben van és a vetítısugarak a képfelületre merılegesek,
ortogonális, vagy derékszögő vetítésrıl (a. ábra), ha a vetítısugarak párhuzamosak, de
5

a képfelületre nem merılegesek, klinogonális, vagy ferdeszögő vetítésrıl (b. ábra) beszélünk.
Ha vetítési középpont a végesben van, a vetítés centrális (c. ábra).
C
e
P 1
e
P 2
e
P 1
e
P 2
e
P 1
e
P 2
Vetítés vetítısugarakkal
a) ortogonális vetítés, b) klinogonális vetítés, c) centrális vetítés
A második esetben a vetítési középpont és a vetítısugarak helyzete geometriailag nem szemléltethetı,
a vetített pontok geometriailag nem szerkeszthetık.
Alap- és képfelületek
A forgási ellipszoid
P 1 a) P 2 P 1 b) P 2 P 1 c) P 2
A Föld tengelykörüli forgása következtében létrejövı centrifugális erı a Földet a forgástengelyére
merılegesen „széthúzza”. Ez okozza a Föld lapultságát, ami a kétdimenziós modellalkotás
2. lépésében kéttengelyő, ún. forgási ellipszoidot eredményez (ábra).
forgástengely
b
q
a
meridián-ellipszis
a
Egyenlítı
A forgási ellipszoid paraméterei
Ha az ellipszoidot a forgástengelyén áthaladó síkkal elmetsszük, a meridián-ellipszishez jutunk.
A földi ellipszoid méretét és alakját az ellipszoid fél nagytengelyével, a-val és fél kistengelyével,
b-vel adják meg. Az a és b értékekbıl levezethetı a forgási ellipszoid lapultsága:
6

f
a − b
= .
a
Meghatározásuk idejétıl, helyétıl és módjától függıen az egyes forgási ellipszoidok méretei
különböznek egymástól. Az alábbi táblázatban összefoglaljuk a Magyarországon is használatos
ellipszoidok a, b és f paramétereit.
Az ellipszoid Közlésének a (m) b (m) f
neve éve
Bessel 1842 6377397,155 6356078,963 1:299,153
Kraszovszkij 1940 6378245 6356863,019 1:298,3
IUGG/1967 1967 6378160 6356774,516 1:298,247
WGS84 1984 6378137 6356752,3142 1:298,257
Az alábbi ábrán a forgási ellipszoidhoz tartozó térbeli derékszögő és a felületi koordinátákat
mutatjuk be. A két rendszer között az átszámítás zárt képletekkel történik.
Z
ellipszoidi normális
P(ϕ, λ, h)
Kezdı-meridián
O
P’
N
ϕ
λ
h
Q’
α ellipszoidi azimut
A P pont
ellipszoidi meridiánja
Y
X
Ellipszoidi egyenlítı síkja
Az X, Y, Z ellipszoidi térbeli rendszer origója az ellipszoid középpontja. Az ellipszoid felületébıl
az ellipszoid forgástengelyén átfektetett síkok a meridiánokat, az Egyenlítı síkjával párhuzamos
síkok a szélességi köröket metszik ki. Valamely P pont ϕ ellipszoidi szélességén a P
pont normálisának (amely – a pólusokban és az Egyenlítı pontjain emelt normálisok kivételével
- nem megy át az ellipszoid középpontján) az ellipszoidi egyenlítı síkjával bezárt szögét,
λ ellipszoidi hosszúságán a P ponton átmenı meridiánnak a kezdı-meridiánnal bezárt szögét
értjük. A kezdı-meridián elvileg tetszıleges lehet, rendszerint a Greenwich-i meridiánnal
egyezik meg. α - ellipszoidi azimut, a P’Q’ ellipszoidi ív érintıjének a P’ pont meridiánjának
P’ pontbeli érintıjével közbezárt szöge. Az ábrán még N az ellipszoid harántgörbületi sugara
a P’ pontban, h az ellipszoidi magasság.
A gömb
Kisebb országok térképi ábrázolásánál az ellipszoidot gömbbel is helyettesíthetjük. Ekkor a
meridiánok is hosszúsági körök lesznek és a számítások összefüggései is lényegesen leegyszerősödnek,
mivel a gömbi normálisok a gömb középpontján mennek keresztül.
Az alábbi ábrán a gömbhöz tartozó gömbi derékszögő és a gömbi felületi koordinátákat mutatjuk
be: ϕ – gömbi szélesség, λ – gömbi hosszúság, φ - pólustávolság.
7

Z
P(ϕ, λ)
gömbi normális
Gömbi kezdımeridián
φ
ϕ
λ
P’
R
h
α gömbi azimut
Q’
A P pont
gömbi meridiánja
Y
X
Gömbi egyenlítı
síkja
Az alábbi táblázatban az ellipszoid és a gömb fontos paramétereit, valamint a derékszögő és a
felületi koordináták közötti átszámítás összefüggéseit foglaljuk össze.
Megnevezés
Ellipszoid: jelölések
és összefüggések
Gömbi megfelelı
(R – a gömb sugara)
az alapfelület fél nagytengelye a R
az alapfelület fél kistengelye b R
lapultság
(arányszám)
f = ( a − b)
/ a = 1/α
( α = a /( a − b)
)
elsı excentricitás négyzete
2 2 2 2
e = ( a − b ) / a
0
második excentricitás négyzete
2 2 2 2
e′ = ( a − b ) / b
0
harántgörbületi sugár
(meridiánra merıleges irányú)
N
a
( 1 − e sin ϕ)
=
2 2 1/ 2
R
a(1
− e )
meridián irányú görbületi sugár M =
2 2 3 / 2
R
(1 − e sin ϕ)
derékszögő koordináták számítása a
felületi koordinátákból
felületi koordináták számítása a derékszögő
koordinátákból
X = ( N + h)
⋅ cosϕ ⋅ cosλ
Y = ( N + h)
⋅ cosϕ ⋅ sin λ
2
( b
2 ⋅ N + ) ⋅ sinϕ.
Z = h
a
2
p = X + Y
θ = arctan
2
Z ⋅ a
p ⋅ b
2
Z + e′
⋅ b ⋅ sin
= arctan
p − e ⋅ a ⋅ cos
ϕ
2 3
Y
λ = arctan ,
X
p
h = − N
cosϕ
2
3
θ
θ
0
-
X = ( R + h)
⋅ cosϕ ⋅ cos λ
Y = ( R + h)
⋅ cosϕ ⋅ sin λ
Z = ( R + h) ⋅ sinϕ
⋅
2
p = X + Y
-
Z
ϕ = arctan
p
2
Y
λ = arctan
X
p
h = − R
cosϕ
8

Földrajzi koordináták
A továbbiakban az „ellipszoidi” és a „gömbi” jelzık helyett a földrajzi hosszúság, földrajzi
szélesség, földrajzi azimut kifejezéseket fogjuk használni akkor, amikor tárgyalásunk mind az
ellipszoidra, mind a gömbre vonatkozhat. A földrajzi szélesség és földrajzi hosszúság fogalmakat
a földrajzi koordináták kifejezésben foglaljuk össze.
A sík
A földfelszíni pontok térképi ábrázolásánál az alapfelületi pontokat a vetület síkjában adjuk
meg és a számításokat a vetületi síkban definiált koordinátarendszerben (vetületi koordinátarendszer)
hajtjuk végre.
+x
A fenti ábrán ún. délnyugati, ill. északkeleti tájékozású vetületi koordinátarendszert látunk,
azaz a rendszer +x tengelye délre, ill. északra, +y tengelye nyugatra, ill. keletre mutat.
A fenti ábra jelölései:
y, x – sík derékszögő koordináták,
∆ y = y − y , ∆x
= x − x - koordinátakülönbségek,
Q
+y
δ QP
P
δ – irányszög.
y Q
Q
d
∆y PQ
δ PQ
∆x PQ
a)
Q
y P
P
P
K
x P
x Q
+x
x Q
x P
K
∆x PQ
P
δ PQ
y P
∆y PQ
d
b)
Q
δ QP
y Q
+y
É t
µ
+x É f
Q
Meridián képe
δ
P
α
K +y
A vetületi koordinátarendszerben értelmezzük még az alábbi fogalmakat:
α - földrajzi azimut (szögtartó vetületeknél),
δ - irányszög,
µ – vetületi meridiánkonvergencia,
Az É f és É t jelölések az alapfelületi és a vetületi (térképi) északi irányokat jelentik.
9

Vetületi egyenletek
Az alap- (ellipszoid, gömb) és a képfelület (vetület) között a kapcsolatot a vetületi egyenletek
teremtik meg. Utóbbiak az y és x vetületi koordinátákat fejezik ki a ϕ földrajzi szélesség és a
λ földrajzi hosszúság függvényében. Szimbolikus jelöléssel:
y = f
x = f
( ϕ,
λ)
( ϕ,
λ)
A vetületi egyenletekkel szemben az alábbi feltételeket kívánják meg:
− az alapfelület minden pontjának csak egy és csakis egy pont feleljen meg a képfelületen,
− a vetületi egyenletek folytonosak és differenciálhatók, deriváltjaik szintén folytonosak lea
vetületi koordináták függvényé-
gyenek,
− kielégítsék a (vetületi) torzulásokra megadott követelményeket.
Fordítva, a ϕ és λ földrajzi koordinátákat kifejezhetjük ben:
ϕ = fϕ
( y,
x)
.
λ = f y,
x
Utóbbiak az ún. inverz vetületi egyenletek.
A vetületi egyenleteket nem minden térképezendı pontra használják. Korlátozott számú pont
földrajzi koordinátái és a szomszédos pontok közötti földrajzi azimutok meghatározása után
azokat a vetületi egyenletek segítségével számítják át vetületi koordinátákká és irányszögek-
ké. Az ily módon definiált vetületben további, immár tetszıleges számú pontot már a sík dekoordinátarendszerben
érvényes összefüggések felhasználásával határoznak meg, a
rékszögő vetületi egyenletek alkalmazása nélkül.
Vetületi torzulások és redukciók
y
x
λ
( )
.
Az alapfelületi alakzatok torzulnak a síkban
Az alapfelületi görbe vonalak és felületek képfelületre vetítésekor nem elhanyagolható torzulépnek
fel. A térképalkotás során arra kell törekednünk, hogy a síkrajzot és a síkban áb-
rázolt domborzatot alkotó természetes és mesterséges tereptárgyakat lehetıleg valódi
lások alakjuk-
10

an vagy ahhoz minél közelebb mutassuk be. Ebbıl a szempontból a torzulások annál nagyobbak,
szembetőnıbbek és zavaróbbak, minél nagyobb az alapfelületnek az a része, amelyet
a térképen ábrázolni akarunk. Szélsı esetben, ha például az egész Földet egy térképen kívánjuk
ábrázolni, a fenti ábrán vázolt helyzet állhat elı, amikor az egyes földrészek térképi területe
jelentıs mértékben ellentmond a valóságos területi adatoknak.
Fordítva, minél kisebb a térképen ábrázolni kívánt felület, annál kisebbek a torzulások, míg
végül eljutunk egy akkora területhez, amelynek térképi ábrázolásakor a térképezési gyakorlat
szempontjából a torzulások mértéke már elhanyagolható. E terület nagysága a térkép méretarányától
és a térképi ábrázolás elıírt megbízhatóságától függ, s emiatt relatív. Határozzuk
meg azt a - méretaránytól függı - legnagyobb területet, amelyen belül a torzulások figyelmen
kívül hagyhatók. A területi korlátok betartása esetén vetítésre nincs szükség.
Induljunk ki abból, hogy a grafikus térképen az egymáshoz 0,1 mm-nél közelebb esı pontokat
már nem tudjuk egymástól megkülönböztetni. Ez pld. 1:10000 méretarány esetén a vetületben
0 ,1mm ⋅10000
= 1000 mm = 1m -nek felel meg.
A torzulás mértéke a felület nagyságától függ
Az alapfelület R sugara mintegy 6380 km. A γ az s alapfelületi hosszhoz tartozó középponti
szög. Az s hossznak az érintési síkra, más szóval, a K pont vízszintes síkjára vetített értéke d.
A kettı különbsége az s hossz torzulásának a vetületben megengedhetı mértéke, esetünkben
1 m = 0,001km . Az ábrából
s
∆ s = R ⋅sin − s,
R
s
0,001
= 6380⋅sin
− s.
6380
A fenti egyenletet az s = 50 km érték elégíti ki, azaz a torzulást a K pont környezetében mintegy
50 km-es sugarú körben hagyhatjuk figyelmen kívül. Kisebb méretaránynál s értéke nagyobb,
nagyobb méretaránynál kisebb. Pld. nagyobb, 1:1000 méretaránynál s = 23 km .
Vetületi torzulások
∆ s = d − s = R ⋅ sin γ − s ,
Az alábbi ábra a) baloldali része az alapfelület végtelen kis részét, b) jobboldali része a képfelület
megfelelı végtelen kis részét mutatja be. A baloldali elemi kis háromszög α földrajzi
azimut melletti befogója M ⋅ dϕ
, szemközti befogója r ⋅ dλ
, az átfogó ds. M a meridián irányú
görbületi sugár, r = N ⋅ cosϕ
, ahol N a haránt irányú görbületi sugár. Az alapfelületi
11

M ⋅ dϕ befogónak a dx, az r ⋅ dλ
befogónak a dy, a ds átfogónak a dd, az α azimutnak a β, a
dF elemi kis területnek a dT, a ϕ ,λ pontnak az 0 0
x , y 0 0
pont felel meg a vetületben. A vetületek
többségében a vetület x tengelye az alapfelületi meridián képe, az y tengely erre merıleges.
ϕ0
+ M ⋅ dϕ
M ⋅ dϕ
α
r ⋅ dλ
ds
ϕ0 + M ⋅ dϕ,
λ0
+ r ⋅ dλ
dy
y0 + dy,
x0
+ dx
x + 0
dx
dd
dx
β
a) y , x
b)
0
ϕ ,λ 0 0
0
Végtelen kis felületek az alapfelületen és a képfelületen
A fenti ábrabeli két háromszög hosszban, szögben és területben jelentkezı eltérései a vetületi
torzulások. A vetítés során a hosszak és területek torzulásával általánosságban a szögek is torzulnak.
A vetületi egyenletek azonban megválaszthatók úgy, hogy valamelyik mennyiség a
másik rovására a vetítéssel ne változzon.
Lineármodulus
A hosszak el nem kerülhetı változása a vetületen azt jelenti, hogy a vetítéskor az alapfelületi
méretek pontról pontra a helytıl függıen különbözı méretekben képzıdnek le a képfelületen.
Ezt a változást a hosszak torzulását jellemzı lineármodulussal értelmezzük:
dd
l = .
ds
A lineármodulus kifejezi, hogy egy alapfelületi s hossz végtelen kis ds változásának a vetületi
d hossz (ábra) mekkora végtelen kis dd változása felel meg. Általános esetben dd
≠ ds
.
A lineármodulus fenti összefüggésébıl kiindulva az alábbi összefüggés vezethetı le:
Az összefüggés jelölései:
Az
2
2
2
l = P ⋅ cos α + Q ⋅ sin 2α
+ T ⋅ sin α .
E
P = ,
2
M
F G
Q = , T = .
2
M ⋅ r r
⎛ ∂x
⎞ ⎛ ∂y
⎞
E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ,
⎝ ∂ϕ
⎠ ⎝ ∂ϕ
⎠
∂x
∂x
∂y
∂y
F = ⋅ + ⋅ ,
∂ϕ
∂λ
∂ϕ
∂λ
2
⎛ ∂x
⎞
G = ⎜ ⎟
⎝ ∂λ
⎠
2
2
⎛ ∂y
⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ ∂λ
⎠
parciális deriváltakból álló mennyiségek az ún. Gauss-féle állandók, α a földrajzi azimut.
2
12

Példa:
A gömbre, mint alapfelületre vonatkozó vetületi egyenletek legyenek az alábbiak:
1. Határozzuk meg a lineármodulust!
Képezzük az alábbi parciális deriváltakat:
Továbbá
mert a földgömbre
y = R ⋅ λ
.
x = R ⋅ϕ
∂y
∂y
∂x
∂x
= R; = 0; = R;
= 0 .
∂λ
∂ϕ
∂ϕ
∂λ
E =
2
2
= R ; F = 0; G R ,
1
P = 1 ; Q = 0; T = ,
2
cos ϕ
M = R , N = R , r = R ⋅ cosϕ
, R a földgömb sugara.
A lineármodulus összefüggésébe helyettesítve, írhatjuk:
2 2 1
2
l = cos α + ⋅sin
α .
2
cos ϕ
2. Számítsuk ki az l lineármodulusnak a gömbi meridián és a gömbi szélességi kör irányába
esı m, ill. n értékeit!
g
A gömbi azimut a meridián irányában α = 0
2
értékeit az l képletébe helyettesítve, kapjuk:
o
, a szélességi kör irányában
1
l 0
( ) = m = 1,
l 0
α 0 ( α 90 ) = n = .
= =
cosϕ
g
α
o
= 90
A gömbi meridián hossza a vetületben nem szenved torzulást, a szélességi kör hossza az
egyenlítıtıl való távolság függvényében 1-tıl ∞ -ig változik.
Vetületi fıirányok
Az alapfelület minden egyes pontjánál van két egymásra merıleges vonal, amelyek vetületei
is merılegesek. Ezek az irányok a vetületi fıirányok, az I. és a II. vetületi fıirány. A vetületi
fıirányokba esı lineármodulusok mindig extremálisak, azaz lmax.
maximális, vagy l
min.
minimális
értéket vesznek fel.
Torzulási ellipszis (Tissot-féle indikatrix)
Az alapfelület tetszıleges pontjába helyezett, végtelen kis kör képe a vetület megfelelı pontjában
ellipszis, az ún. torzulási ellipszis, vagy a Tissot-féle indikatrix. Mivel, mint mondtuk
feljebb, a vetületi fıirányokba esı lineármodulusok extremálisak, a torzulási ellipszis a és b
féltengelyei a vetületi fıirányokkal esnek egybe. Ábránkon a kör sugarát egységnyinek választottuk.
! Az
g
α
13

ϕ
x ϕ
1
Vetület
m a
ϕ 0 λ
b
1
λ 0
x 0
n
λ
y
Az alapfelületen végtelen kis sugarú kör képe a vetületen a torzulási ellipszis (Tissot-féle
indikatrix)
Az ábrán y
0
, x0
az alapfelület ϕ
0
,λ0
ellipszoidi koordinátájú pontjának vetületi koordinátái,
m a meridián irányú és n a meridiánra merıleges (haránt-) irányú lineármodulus.
Szögeltérés
A szögek torzulását a
a) b)
∆γ
= γ ′ − γ
szögeltéréssel, s annak υ = ∆γ
max
maximális értékével jellemezzük (ábra).
y 0
γ
γ’
Tetszıleges alapfelületi γ szög képe γ'
A fenti összefüggésben γ ′ két tetszıleges irány közbezárt szöge a képfelületen, γ a megfelelı
irányok által bezárt szög az alapfelületen. A maximális szögeltérés értéke a
vagy a
összefüggésbıl fejezhetı ki.
Azimut eltérése a képfelületen
a − b
sin υ = , (1)
2 a + b
a − b
tan υ = (2)
2 2 ⋅ a ⋅ b
„A lineármodulus általános egyenlete” c. fejezet ábrája szerint az α földrajzi azimutnak a
képfelületen a β szög felel meg. A β értékére α függvényében az alábbi összefüggések vezethetık
le:
M ⋅ H
tan β =
,
r ⋅ E ⋅ cotα
+ M ⋅ F
14

vagy
tan β =
M ⋅ H ⋅ tanα
.
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα
A földrajzi azimut képe és a földrajzi azimut egymástól az alábbi összefüggés szerint térnek
el:
A
tan
( − α )
=
( M ⋅ H − r ⋅ E)
tan β és tan α szögek hányadosa:
2
⋅ tanα
− M ⋅ F ⋅ tan α
. (1)
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα
+ M ⋅ H ⋅ tan α
β
2
tan β M ⋅ H
=
. (2)
tanα
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα
A már ismert jelöléseken túl a fenti összefüggésekben
Példa:
H
2
= E ⋅ G − F .
1. Számítsuk ki a „Lineármodulus” c. fejezet példájában szereplı gömbi vetületre a gömbi
azimut eltérését!
továbbá
R a földgömb sugara.
E =
2
2
= R ; F = 0; G R ,
Az (1) összefüggésbe helyettesítve, írhatjuk:
tan
( −α
)
2. Számítsuk ki ( β − α )
y = R ⋅ λ
,
x = R ⋅ϕ
H =
2 2
= E ⋅ G − F R , r = R ⋅ cosϕ
,
2
3 3
( M ⋅ H − r ⋅ E) ⋅ tanα
− M ⋅ F ⋅ tan α ( R − R ⋅ cosϕ)
⋅ cosϕ
+ R
⋅ tanα
.
⋅ tan α
β =
2
3
3 2
=
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα
+ M ⋅ H ⋅ tan α R
tan
, valamint
( α )
( 1−
cosϕ)
⋅ tanα
− =
.
cosϕ
+ tan α
β
2
tan β
tanα
A tan ( β −α ) képletébe helyettesítve, kapjuk:
g
értékétα
1−
cosϕ
o
= 45
mellett!
tan β
( β − α ) ( α = 45 ) = , = .
1+
cosϕ
tanα
cosϕ
tan 0
o
0
ϕ = 0 - nál : tan
= 45
α =
2
ϕ
o
( β −α
) ( ) = = 0; ( β −α
) (
0 ) = 0 , = 1
0
1
tan β
tanα
α 45
,
1
1
tan β
tanα
o
( β −α
) ( ) = = 1; ( β − α ) (
0 ) = 45 , = ∞
o
= 90 - nál : tan
0
α = 45
α = 45
.
15

Fokhálózati vonalak merılegességének feltétele
A meridiánok és a szélességi körök az alapfelületen egymásra merılegesek. A meridiánoknak
és a szélességi köröknek a vetületben megfelelı vonalak a fokhálózati vonalak képei. Utóbbiak
akkor merılegesek egymásra, amikor
Területi modulus
∂x
∂x
∂y
∂y
F = ⋅ + ⋅ = 0 .
∂ϕ
∂λ
∂ϕ
∂λ
A vetületen lévı végtelen kis dT terület és a megfelelı alapfelületi dF felület
hányadosát területi modulusnak nevezzük.
τ =
dT
dF
d s m
dF
d s p
Vetület
d d m
χ
dT
d d p
Az alapfelületi végtelen kis felületnek végtelen kis vetületi terület felel meg
Az ábrából:
dT
dF
dd
= ds
m
m
⋅ dd
⋅ ds
p
p
⋅ sin
dT
τ =
dF
dd
=
= χ
,
χ
⋅ dd
p
⋅sin
χ dd
=
ds
⋅ ds
ds
m
m
p
m
m
dd
⋅
ds
p
p
⋅sin
.
A képletekben
m
d p
d s , ds
a meridián és a szélességi körök végtelen kis oldalai az alapfelületen,
m
d d , d a megfelelı oldalak a vetületben.
Az
dd
m d s
m
= és
m
p
dd
p
n = a meridián-, ill. a szélességi kör menti lineármodulusok, ezért
ds
p
τ = m ⋅ n ⋅sin χ .
Φ
a
m
χ
n
b
16

Az ábra és Apollonius 2. tétele szerint
o
A szélességi körön, α = 90 -nál
τ = a ⋅ b .
E G H H
τ = m ⋅ n ⋅sin χ = ⋅ ⋅ = . (1)
M r E ⋅ G M ⋅ r
A hosszak, szögek és területek fenti torzulásainak mértékszámai minısítik a vetületek használhatóságát,
alkalmazásuk feltételeit.
Az alapfelület ábrázolása a képfelületen
Az alapfelület szögtartó ábrázolása
Az alapfelület szögtartó (konform) ábrázolása során egy végtelen kis alapfelületi idom alakja
a vetületben hasonló marad és a υ maximális szögeltérés zérus.
A „Lineármodulus” c. fejezetben megadott
l
2
2
= P ⋅ cos α + Q ⋅ sin 2α
+ T ⋅sin
2
α
függvénynek ott van szélsıértéke, ahol az α szerinti elsı derivált 0:
( − 2 ⋅ P ⋅ cosα
⋅ sinα
+ 2 ⋅Q
⋅ cos 2α
+ 2 ⋅T
⋅ sinα
cosα
) dα
2 ⋅ l ⋅ dl
=
⋅
dl
= 2 ⋅ Q ⋅ cos 2α
+
α
dα
( T − P) ⋅sin 2 = 0
Ebben az összefüggésben az egyenlıség akkor áll fenn, ha
Q = 0 és T − P = 0.
.
F G
Q = és T = jelöléseket. A fokhá-
2
M ⋅ r r
E
Ugyanebben a fejezetben ismertettük a P = ,
2
M
lózati vonalak képeire vonatkozó
∂x
∂x
∂y
∂y
F = ⋅ + ⋅ = 0
∂ϕ
∂λ
∂ϕ
∂λ
F
merılegességi feltétel teljesülése esetén Q = = 0 , ekkor a T − P = 0 kifejezésbıl
M ⋅ r
E G
2 =
2 .
M r
A lineármodulus
2
2
2
l = P ⋅ cos α + Q ⋅ sin 2α
+ T ⋅ sin α
2 2 E 2 2 G
képlete alapján α = 0 mellett m = l α =
o = és n = l o =
0 2
90 2
M
α =
, ezért
r
2 2
m = n .
Ebbıl következik a szögtartó ábrázolás alábbi szükséges és elégséges feltétele:
17

m = n ,
azaz a lineármodulus minden irányban egyenlı.
A szögtartó ábrázolás feltételei:
1.
2.
3.
a = b = m = n = l
τ = a
2
υ = 0.
.
Az alapfelület ekvivalens és területtartó ábrázolása
Az alapfelület ekvivalens ábrázolásakor egy végtelen kis vetületi terület és a megfelelı alapfelületi
felület aránya megmarad:
dT
τ = = κ .
d F
Területtartó vetületeknél κ = 1, vagyis τ = 1.
Írjuk fel a területi modulusra vonatkozó alábbi összefüggéseket:
τ = a ⋅b
= 1
τ = m ⋅ n ⋅ sin χ = 1
H
τ = = 1 .
M ⋅ r
A területtartóság feltétele az utolsó összefüggésbıl:
H
= M ⋅ r .
Tekintettel a „Szögeltérés” c. fejezet (2) képletére is, a területtartó ábrázolás feltételei az alábbiak:
1.
1
a = ;
b
2. τ = 1
Az alapfelület általános torzulású ábrázolása
3.
1
b =
a
υ a − b
tan = .
2 2
Az általános torzulású vetületeknél a szögek és a területek is torzulnak. Ilyen vetület pld. a
meridián mentén hossztartó vetület, amelynél a meridián-menti lineármodulus egységnyi:
a ≠ b; b = 1; υ ≠ 0; τ ≠ 1.
18

Torzulási ellipszisek különbözı torzulású vetületekre
A különbözı torzulású vetületeknél az alapfelület tetszıleges pontjaiban felvett azonos mérető
végtelen kis kör képe általában más-más alakú, mérető és elhelyezkedéső ellipszis lesz.
Az alábbi ábrán néhány különbözı torzulású vetület torzulási ellipsziseit láthatjuk a földrajzi
szélesség függvényében. A vetületi fıirányok egybeesnek a meridiánokkal és szélességi körökkel,
vagyis a torzulási ellipszis b fél kistengelye a meridián, az a fél nagytengelye a szélességi
körök irányába esik. A vetületek kezdıpontja az Egyenlítı és egy tetszıleges meridián
metszéspontja. A meridiánra merıleges irányú lineármodulus legyen mind a három típusú vetületnél
a = .
1
cosϕ
o
60
o
30
a = 2
b = 2
a = 1,15
b = 1,15
o
90
o
60
a = ∞
b = 0
a = 2
a = 1,15
o
90
b = 0,5
o
60
o
o
30
b = 0,86
30
a = ∞
b = 1
a = 2
b = 1
a = 1,15
b = 1
o
0
a = 1
b = 1
o
0
a = 1
b = 1
o
0
a = 1
b = 1
-30
o
a = 1,15
b = 1,15
o
-30 a = 1,15 -30
b = 0,86
o
- 60 a = 2 - 60
b = 0,5
o
o
a = 1,15
b = 1
a = 2
b = 1
- 60
o
a = 2
b = 2
-90
o
a = ∞
b = 0
-90
o
a = ∞
b = 1
a = b,
υ = 0
a ≠ b,
υ ≠ 0
a ≠ b,
b = 1
2
τ = a
τ = 1
υ ≠ 0, τ ≠ 1
Szögtartó vetület Területtartó vetület
Meridián mentén
hossztartó vetület
Torzulási ellipszisek
A szögtartó vetületeknél a torzulási ellipszis a = b miatt a vetületen is kör lesz, alakja és elhelyezése
állandó, mérete pedig a vetület tulajdonságainak megfelelıen változik. Olyan vetület,
19

amely minden távolságot a vetület minden pontjában helyesen tudna rögzíteni, nem létezik.
Létezhet azonban olyan vetület, amely bizonyos pontokban, ill. vonalak mentén hossztartó,
sıt, akár egyidejőleg és ugyanott szögtartó is lehet (pl. a Marinus-féle két szélességi kör
(ϕ 1 , ϕ 2 ) mentén hossz- és szögtartó vetület).
ϕ 1
ϕ 2
Vetületek csoportosítása
Marinus-féle két szélességi kör mentén hossz- és szögtartó vetület
A torzulás szerinti megkülönböztetésen túl a vetületeket más szempontok szerint is csoportosítják.
Valódi és képzetes vetületek
A valódi és a képzetes vetületeket a fokhálózat képének alakulása különbözteti meg egymástól.
Valódi vetületrıl beszélünk, ha a fokhálózati vonalak képei merılegesek, ellenkezı esetben
a vetület képzetes. Utóbbiak között nincs szögtartó vetület. Mindkét típusú vetületnél lehetnek
geometriailag megszerkeszthetı és szemléltethetı, ill. geometriailag nem szemléltethetı
vetületek.
Csoportosítás a képfelület alakja szerint
A képfelület alakja szerint megkülönböztetünk
– henger,
– kúp és
– azimutális vetületeket.
Hengervetület
Kúpvetület
Vetületek alakjuk szerint
Azimutális(sík)
vetület
20

Csoportosítás a képfelület Földhöz viszonyított elhelyezése szerint
A Föld pólusokat összekötı átmérıjéhez képest a képfelület tengelyét háromféleképpen helyezhetjük
el. Sík esetében most tengely alatt egy síkra merıleges egyenest értünk. Eszerint
megkülönböztetünk
– normális (poláris)
– transzverzális (ekvatoriális) és
– ferde tengelyő vetületeket.
Normális elhelyezéső vetületnél a képfelület tengelye a Föld forgástengelye, transzverzális
vetületnél a képfelület tengelye az egyenlítı síkjában van. Ferde tengelyő vetületnél a a képfelület
tengelye átmegy az alapfelület (ellipszoid, gömb) középpontján.
Normális Transzverzális Ferde tengelyő
Érintı és süllyesztett vetület
Vetületek a Földhöz viszonyított elhelyezésük szerint
Érintı vetületnél az alapfelület érinti, süllyesztett (metszı) vetületnél metszi a képfelületet.
Érintı henger- és kúpvetületeknél az alapfelület a képfelülettel egy képfelületi vonal mentén,
azimutális vetületnél egy képfelületi pontban találkozik, süllyesztett vetületnél a találkozás
mindig az alapfelület és a képfelület metszésvonala.
Érintı
Süllyesztett
Közvetlen és közvetett vetítéső vetület
Érintı és süllyesztett vetület
Egy vetületet közvetlen vetítésőnek mondunk, ha az ellipszoidról a vetítés közvetlenül a síkra,
vagy síkba fejthetı felületre (henger, kúp) történik. Közvetett vetítéső a vetület akkor, ha a ve-
21

títés kettıs, vagyis ha a vetítést elsı lépésben az ellipszoidról gömbre (Gauss-gömb), második
lépésben a Gauss-gömbrıl a síkra végezzük el.
Vetületi redukciók
A képfelületen jelentkezı torzulások miatt a térképi ábrázoláskor az alapfelületi (a földfelszínrıl
az alapfelületre redukált) távolságokat, szögeket és területeket korrigálnunk kell. A
korrekcióra szolgáló mennyiségeket vetületi redukcióknak nevezzük.
P meridiánjának képe
É f
É t
Q meridiánjának
képe
É f
É t
+x
µ P
β PQ
geod. vonal µ
δ Q
PQ
képe
s PQ
P
∆ d
PQ
PQ
∆ QP
Q
δ QP
β QP
+y
Helymeghatározó adatok a vetületben
A fenti ábrán a földrajzi helymeghatározó adatok képeit és a megfelelı vetületi helymeghatározó
adatokat foglaljuk össze. Az ábrán a P és Q az alapfelületi pontok megfelelıi, β PQ és
β QP az α PQ és α QP a földrajzi azimutok képei, amelyek szögtartó vetületben megegyeznek a
földrajzi azimutokkal:
β = α .
É f – földrajzi észak, az alapfelületi meridiánok képeihez a vetületi P és Q pontokban szerkesztett
érintık iránya. Az alapfelületi meridiánoknak a vetületi koordinátarendszer +x tengelyével
párhuzamos egyenesek (szokásos nevük: térképi észak, jelölésük É t ), az alapfelületi legrövidebb
vonalnak, a geodéziai vonalnak a vetületi koordinátarendszerben a síkbeli legrövidebb
vonal, a d PQ egyenes szakasz, az α PQ földrajzi azimutnak a δ PQ irányszög, az α QP földrajzi
azimutnak a δ QP irányszög felel meg.
Az ellipszoidi adatokat a vetületre való áttérésnél az alábbi vetületi redukciókkal kell módosítanunk.
− elsı irány- és szögredukció,
− hossztorzulási tényezı és hosszredukció,
− területtorzulási tényezı és területi redukció,
− második irány- és szögredukció,
− gömbi szögfölösleg,
− vetületi meridiánkonvergencia.
Elsı irány- és szögredukció. Az iránymodulus.
Azimutredukció: A β vetületi azimut és a megfelelı α földrajzi azimut különbsége:
22

∆ = β −α
.
α
Αz azimutredukciót számíthatjuk az „Azimut eltérése a képfelületen” c. fejezet tan( β −α )
-ra
felírt (1) összefüggésébıl. Egy tetszıleges alapfelületi irány vetületbeli azimutját megkapjuk,
ha az α alapfelületi azimuthoz az azimutredukció értékét hozzáadjuk:
ΙΙ.
β = α + ∆ .
α
ΙΙ.
1
α
ω
1
P
Vetület
b β
ω′
Ι. a Ι.
P’
Az I. és II. vetületi fıirány
A fenti ábrán a torzulási ellipszis szélességi kör irányába esı a féltengelyének iránya legyen
az I., a meridián irányába esı b féltengelyének iránya a II. vetületi fıirány. Jelöljük
o
o
ω = 90 −α - val és ω′ = 90 − β -val egy tetszıleges alapfelületi iránynak, ill. a megfelelı
vetületi iránynak a I. vetületi fıiránnyal bezárt szögeit.
Elsı irányredukció alatt definíciószerően a
különbséget értjük. A továbbiakban
∆ = ω′
−ω
∆ = −∆ α ,
β = α − ∆ .
Az elsı szögredukció két irányra vonatkozó elsı irányredukciók különbsége:
Az
hányados az iránymodulus.
A továbbiakban
∆ sz = ∆ 2 − ∆1 .
tan ω′
i =
tanω
1
tan ω′
= ; tanω
=
tan β
1
tanα
miatt és az „Azimut eltérése a képfelületen” c. fejezet (2) képletét figyelembe véve
23

i =
tanω′
=
tanω
tanα
=
tan β
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα
.
M ⋅ H
A jegyzetben tárgyalt vetületek mind szögtartóak, így mind az elsı irányredukció, mind az elsı
szögredukció értéke zérus, a = b , i = 1.
Hossztorzulási tényezı és hosszredukció
Az alapfelület két pontjának képét a vetület síkjában összekötı vonal a d egyenes szakasz. A
d hossz és az alapfelületi pontok közötti legrövidebb s vonal hosszának hányadosát hossztorzulási
tényezınek, különbségüket hosszredukciónak nevezzük:
Hossztorzulási tényezı:
d képfelületi hossz
m = =
.(1)
s alapfelületi hossz
Hosszredukció:
∆ s = d − s = képfelületi hossz − alapfelületi hossz .
Írjuk fel az (1) összefüggést az
d
m = = m0 + U (2)
s
alakban. A (2) képletben m
0
egy elıre megválasztott konstans érték, neve a redukálás mértéke,
az U érték a hossztorzulás. A hossztorzulás értékét Magyarországon szokás U = -
1
10000
ben megszabni, de ezt követelményt csak a ferdetengelyő érintı hengervetületeknél sikerült
betartani.
Ha m
0
= 1, érintı vetületrıl beszélünk. Az alapfelület és a képfelület találkozásánál nyilvánvalóan
a hossztorzulás 0, bárhol máshol pozitív (a) ábra).
A hossztorzulás értékét csökkenteni, s ezzel a vetület használhatósági tartományát növelni lehet
úgy, ha m 0 < 1. Ez azt jelenti, hogy a vetületi egyenletekkel meghatározott valamennyi
koordinátát az 1-nél valamivel kisebb számmal megszorzunk, azaz az
vetületi egyenletek az
y =
x =
y = m
x = m
0
0
f
f
y
x
⋅ f
⋅ f
( ϕ,
λ)
( ϕ,
λ)
y
x
,
( ϕ,
λ)
,
( ϕ,
λ)
alakot öltik.
Ez esetben a vetület süllyesztett, az ábrázolás méretaránya változik úgy, hogy a vetületi számításokból
kapott távolságok a (3) képlet szerint rövidülnek. Süllyesztett vetületnél a hossztorzulás
értelemszerően pozitív és negatív is lehet. A b.) ábrán a képfelület metszi az alapfelületet,
az alapfelületen belül a hossztorzulás negatív, a képfelületi hosszak rövidülnek, azon kívül
pozitív, a képfelületi hosszak csak kisebb mértékben nagyobbodnak. A torzulásmentes helyek
az alap- és képfelület metszésvonalai (ábránkon körív és egyenes metszéspontjai).
(3)
24

A m 0 szám megválasztásánál ügyelni kell arra, hogy a hossztorzulás most ellenkezı (rövidülı)
értelemben ne lépje túl a megengedett értéket. Süllyesztett vetületek pld. az Egységes Országos
Vetület és az UTM vetület.
d
s
Pozitív és negatív elıjelő hossztorzulás
A süllyesztés következtében az alapfelületi távolságok egy redukált alapfelületen értelmezhetık,
a (2) képlet az
d U
m = = 1 + = 1 + U ′ (4)
m ⋅ s m
0
alakban írható fel. A (4)–ben m0 ⋅ s a redukált távolság, U ′a redukált alapfelületen értelmezett
hossztorzulás. A (4)–bıl a süllyesztett vetület hossztorzulása
A továbbiakban a (2) összefüggésbıl
0
U = m 0
⋅U
′ .
( m U )
d = s ⋅
0
+ .
Az (1) összefüggés figyelembe vételével m 0 = 1 esetén
m 0 < 1, azaz süllyesztett vetület esetén
( + U ) − s = s + s ⋅U
− s = U ⋅ s
∆s
= d − s = s ⋅ 1 , (5)
( m + U ) − s = m −1+
U ⋅ s
0
(
0
.
∆ s = d − s = s ⋅
)
A hosszredukcióval redukált távolság m 0 = 1 esetén:
+
vetület
alapfelület
+ s +
m ⋅
0
a) b)
-
s
d
d
= s + ∆s
= s + U ⋅ s . (6)
Végül, a hosszredukcióval redukált távolság az m 0 < 1 esetén:
d = s + ∆s
= s + s( m0 −1+
U ) .
Az U hossztorzulás az alapfelület méreteinek és a vetületi koordináták függvénye. Minden vetületben
van legalább egy pont, vagy vonal, ahol a hossztorzulási tényezı értéke 1, a hosszredukcióé
zérus. Ezek a pontok, vagy vonalak: az alapfelület és a vetület érintkezési pontja,
vagy vonala, ill. metszésvonala. A hossztorzulás értéke ezektıl távolodva nı.
25

Területtorzulási tényezı és területi redukció
A hossztorzulási tényezı és hosszredukció mintájára a területtorzulási tényezıt és a területredukciót
az alábbiak szerint definiálják:
Területtorzulási tényezı:
Területi redukció:
T képfelületi terület
f = =
.
F alapfelületi terület
∆ T = T − F = képfelületi terület − alapfelületi terület .
A területtorzulási tényezı és a területi redukció a hossztorzulási tényezıtıl és a hosszredukciótól
függ, e jegyzetben nem tárgyaljuk.
Második irány- és szögredukció
Második irányredukció: A „Vetületi redukciók” c. fejezet elsı ábráján a ∆
PQ
szög a vetületi
síkbeli PQ iránynak a megfelelı alapfelületi vonal pontonként vetített vetületbeli képéhez húzott
érintıjével bezárt szöge. A Q pontban fellépı ∆ második irányredukció értéke ettıl általában
mind nagyságban, mind elıjelben különbözik.
QP
R
∆ PR
s PR
d PR
P
ψ ′
ψ
P
P
∆ PQ
d PQ
s PQ
Q
Második szögredukció
Második szögredukció: Szögtartó vetületben két, ugyanazon pontból kiinduló geodéziai vonal
vetületbeli képéhez húzott érintık közbezárt ψ’ szögének és a képfelületen a megfelelı egyenes
szakaszok közbezárt ψ szögének különbsége (ábra):
∆ sz
= ψ ′ −ψ .
A második irány- és szögredukció értéke az alapfelület méreteitıl, a vetületi koordinátáktól és
a földrajzi szélességtıl függ, nagyságuk vetületenként változó, szögmásodperc nagyságrendő.
Gömbi szögfölösleg
Az alábbi ábrán a PQR háromszög oldalai az
d , d és d egyenes szakaszok.
PQ
PR
QR
s , s és s képfelületi görbe vonalak és a
PQ
PR
QR
26

s PR
d PR
R
ψ ′
ψ
R
R
d QR
s QR
P
ψ ′
P
∆ PQ
ψ
P
d PQ
s PQ
ψ
Q
∆ QP
ψ ′
Q
Q
Második szögredukciók és a gömbi szögfölösleg
A görbékkel határolt háromszög szögeinek összege
∑ ψ ′ = ψ ′
P
+ ψ ′
Q
+ ψ ′
R
.
Az egyenes szakaszokkal határolt háromszög szögeinek összege
∑
=
P
+ + = 180
o
ψ ψ ψ
Q
ψ
R
.
Az alapfelületet gömbnek, a képfelületi görbe vonalak alkotta háromszöget megengedhetı
közelítéssel gömbháromszögnek tekintjük. Ismeretes, hogy a gömbháromszög szögeinek öszszege
mindig nagyobb 180 -nál. Ekkor
o
az
különbség a gömbi szögfölösleg.
De
ε = ∑ψ
′ − ∑ψ > 0
ε ψ ′ − ψ = ∆ + ∆ + ∆
= ∑ ∑ ,
vagyis a gömbi szögfölösleg a háromszög csúcspontjaira vonatkozó második szögredukciók
összege. A gömbi szögfölöslegnek a vetületek második irányredukcióinak számításánál megkülönböztetett
jelentısége van. A gömbi szögfölösleg értéke megengedhetı közelítéssel a
T
ε = 2
⋅ ρ′
R
összefüggéssel fejezhetı ki, ahol ρ ′′ az 1 radián – az ε kicsinységét figyelembe véve –
szögmásodpercekben kifejezett értéke: ρ ′′ = 206264 , 8′
, T a gömbi háromszögnek megfelelı
vetületi háromszög területe.
Az ellipszoidi szögfölösleget a gömbi szögfölösleggel értelmezzük. A gömb sugara az
R =
M ⋅ N
összefüggéssel számítható. A képletben N a haránt-, M a meridián irányú görbületi sugár.
2
A gömbi szögfölösleg értéke 1 km - es háromszögfelület esetén mindössze ε ≈ 0 ,005′
, 100
2
km esetén , 5
ε ≈ 0 ′
és csak 200
P
sz
2
km -nél éri el az ε ≈ 1′′
Q
sz
-et.
R
sz
27

Vetületi meridiánkonvergencia
Vetületi meridiánkonvergencia: Az alapfelületi meridián képéhez a vetület P pontjában húzott
érintınek az +x tengellyel e pontban párhuzamos iránnyal bezárt szöge, jelölése µ
P
(„Vetületi
redukciók” c. fejezet elsı ábrája). Értéke a földrajzi, vagy a vetületi koordinátáktól és a Föld
sugarától függ, a vetületek szélein eléri a szögfokos nagyságrendet.
Az x tengelyen lévı pontokban a µ értéke zérus, mivel a térképi és a földrajzi északi irány
egybeesik, az x tengely a kezdı-meridián képe. Minél jobban eltávolodunk mindkét irányban
az x tengelytıl, annál nagyobb a meridiánkonvergencia értéke, vagy fordítva, minél inkább
közeledünk az x tengelyhez, annál jobban tart (konvergál) a meridián képe az x tengelyhez. A
vetületi meridiánkonvergencia elıjelét a fenti ábra szerint értelmezzük, azaz pozitívnak tekintjük
akkor, ha a térképi északi irány a µ szög jobb oldali szára.
_
+x
É t
+
É f
µ
É t = É f
A vetületi meridiánkonvergencia változása
A vetületi koordináta-rendszerbeli δ
PQ
irányszög a második irányredukció és a vetületi
meridiánkonvergencia figyelembe vételével szögtartó vetületekre (α = β) az alábbi összefüggésbıl
számítható ((„Vetületi redukciók” c. fejezet elsı ábrája):
δ
= + − .
PQ
α
PQ
∆PQ
µ
P
+y
28

Magyarország saját vetületei
Magyarország saját vetületei alatt a kizárólag Magyarországon kidolgozott, a mindenkori magyarországi
területi sajátosságokat magukon hordozó, a magyarországi térképezés céljára kiválasztott
vetületeket értjük. A vetületek szögtartóak és vagy érintik, vagy metszik az alapfelületet.
A fejezetben keletkezésük sorrendjében az alábbi vetületeket tekintjük át:
- Sztereografikus vetület,
- Ferdetengelyő hengervetületek,
- Egységes Országos Vetület (EOV).
A sztereografikus és a ferdetengelyő hengervetületek a történelmi Magyarország vetületei, kialakításuknál
az ország akkori területébıl indultak ki. Mindkettı vonatkoztatási ellipszoidja a
Bessel-ellipszoid (1841). A vetületek közvetett vetítésőek, vagyis a vetítést két lépésben hajtják
végre: az ellipszoidról elıször egy, az ellipszoidot helyettesítı gömbre, a Gauss-gömbre
(sugara R = 6378512,966 m ) vetítenek, s csak utána a síkra, ill. hengerre, mint síkba fejthetı
felületre. A vetületek valódiak, azaz a fokhálózati vonalak képei egymásra merılegesek. Az
EOV képfelülete süllyesztett henger, a vetület szintén közvetett és valódi, vonatkoztatási ellipszoidja
az IUGG/1967 elnevezéső ellipszoid, Gauss-gömbjének sugara
R = 6379743,001m .
A felsorolt vetületek 1:1000 – 1:100000 méretaránya mellett az országot a térképlapok kezelhetetlen
nagysága miatt egy térképen nem lehet ábrázolni. Emiatt a geodéziai felmérés eredményeit
több, egymáshoz csatlakozó térképlapon, más néven szelvényen, vagy szelvénylapon
ábrázoljuk. Abból a célból, hogy a választott vetületi rendszerben a szelvények összefüggését
biztosítsuk, azokat a szelvényhálózatban helyezzük el úgy, hogy a csatlakozó hálózati vonalak
mentén a térképi ábrázolás az egyes szelvénylapokon átfedés és hézagmentes legyen. A térképi
tartalom hely szerinti azonosítása, az egyes szelvények egymástól való elkülönítése céljából
az egyes szelvénylapokat számozzák, rajtuk feltüntetik a vetületi koordinátatengelyekkel
párhuzamos egyeneseket, esetleg a fokhálózati vonalak képeit.
A sztereografikus és a ferdetengelyő hengervetületek szelvényhálózata öl-, ill. méterrendszerő.
A méterrendszer bevezetése elıtt a hazánkban alkalmazott mértékegység a bécsi
ölrendszeren alapuló öl (a széttárt karok ujjvégei közötti távolság) volt. A bécsi öl továbbosztása
a 6-os rendszerben történt:
1 öl = 6 láb,
1 láb = 12 hüvelyk,
1 hüvelyk = 12 vonal.
A területmértékek közötti összefüggések pedig az alábbiak:
1 négyszögöl = 1 öl 2 ,
1 kataszteri hold = 1600 öl 2 ,
1 négyzetmérföld = 4000 öl ⋅ 4000 öl = 10000 kataszteri hold.
A mértékegység a méretarányt befolyásolja: az ölrendszer az alapja a térképek régi, ún. kataszteri
méretarányának, amelyet úgy választottak meg, hogy a térképen ábrázolt 1 hüvelyk 2 –
nek 1 kataszteri hold feleljen meg. Mivel 1 hüvelyk = 1/72 öl és
1hold
2
2
= 1600 öl = 40 öl , s a kettı aránya adja a méretarányt, kapjuk:
1
öl : 40 öl = 1: (72 ⋅ 40) = 1: 2880.
72
29

A sztereografikus vetület
A magyarországi sztereografikus vetület az elsı matematikai értelemben szigorúan kidolgozott
vetület, keletkezésének idıpontja 1863. A vetület a tárgyalt csoportosítási szempontok
szerint valódi, érintı, azimutális, ferde tengelyő. E pontban vetítés második lépcsıjét, a
Gauss-gömbrıl egy vízszintes érintı síkra történı vetítést mutatjuk be. A Gauss-gömböt késıbb
ismertetjük.
A sztereografikus vetület képfelülete egy Gauss-gömbi meridiánon a vetület K kezdıpontjának
választott ponthoz tartozó érintısík (ábra). Az x tengely a kezdıponton áthaladó gömbi
meridián vetületben egyenesként jelentkezı képe, pozitív ága dél felé mutat, az y tengely a
kezdıpontban a meridiánra merıleges gömbi fıkör vetületben szintén egyenesként jelentkezı
képe. A vetítés a meridián K kezdıpontjával ellentétes, az érintı gömbi körön lévı C pontjából
centrálisan történik, a vetületi koordinátarendszer délnyugati tájékozású.
É
S
+ y
K
O
+ x
Gömbi egyenlítı
C
Kezdıpont gömbi meridiánja
D
A magyarországi sztereografikus vetület
1
Az U hossztorzulás a K kezdıponttól 127 km-es sugárral húzott körön éri el az U =
10000
értéket, geodéziai vetületnek elvileg e körön belül használható. A történelmi Magyarország területe
ennél jóval nagyobb volt, ezért az ország területét három sztereografikus vetülettel fedték
le:
1. A budapesti rendszer. Kezdıpontja a Gellérthegy nevő felsırendő alappont gömbi megfelelıje.
2. A marosvásárhelyi rendszer. Kezdıpontja a Kesztejhegy nevő felsırendő alappont gömbi
megfelelıje. E rendszerben ábrázolták az erdélyi és a kelet-magyarországi területeket.
3. Az ivanici rendszer. A rendszert a délnyugati, tengerparti területek felmérésére hozták létre.
Kezdıpontja a Zágrábtól mintegy 30 km-re keletre fekvı Ivaničgradon lévı Ivanič nevő
(Zárdatorony) felsırendő háromszögelési pont gömbi megfelelıje.
30

A történelmi Magyarország három sztereografikus vetülete
A sztereografikus vetületi koordináták ma a budapesti rendszerben értelmezettek. A Gellérthegy
földrajzi koordinátái a Gauss-gömbön:
Vetületi egyenletek
A kezdıpont földrajzi szélessége: ϕ 47 o K
= 26′
21,1372 1′′
A kezdıpont földrajzi hosszúsága: λ 0 o K
= 0′
00,00000
′′ .
+z’
+z
S
+ y’
R
+ y
O
K
R
φ
λ
x
+ x
y
R ⋅cosϕ
P(x, y)
P’( ϕ, λ )
R ⋅sinϕ
P
Vetítési centrum: C
R ⋅ cosϕ ⋅ cosλ
− y ′ = R ⋅ cosϕ ⋅ sin λ
P
D
+ x’
31

Gömbi földrajzi és sztereografikus vetületi koordináták
A sztereografikus vetület geometriailag szemléltethetı, tisztán perspektív vetület, vetületi, ill.
inverz vetületi egyenletei a fenti ábrából kiindulva vezethetık le és kapcsolatot teremtenek a
gömbi földrajzi és a sztereografikus vetületi koordináták között:
cosϕ
⋅sin
λ
y = −2
⋅ R ⋅
,
1+
cosϕ
⋅ cos λ ⋅ cosϕ
+ sinϕ
⋅sinϕ
cosϕ
⋅ cos λ ⋅sinϕ
− sinϕ
⋅ cosϕ
1+
cosϕ
⋅ cos λ ⋅ cosϕ
+ sinϕ
⋅ sinϕ
K
K
x = 2 ⋅ R ⋅
.
A fenti képletekben a λ -t a K pont gömbi meridiánjától keletre tekintjük pozitívnak, vagyis a
gömbi földrajzi hosszúság növekedési iránya ellentétes az y koordináta növekedési irányával.
Példa:
Számítsuk ki a ϕ = 46 o 35′
54,0500′
gömbi földrajzi szélességő és a λ = 1 o 20′
09,3800′
gömbi
földrajzi hosszúságú pont y, x budapesti sztereografikus vetületi koordinátáit!
A kezdıpont földrajzi szélessége: ϕ 47 o K
= 26′
21,1372 1′′
A Gauss-gömb sugara:
Az eredmények:
R = 6378512,966 m .
y = -102192,770 m; x = 92739,376 m .
Az inverz vetületi egyenletekre a vetületi redukciók számításánál és a vetületi rendszerek közötti
átszámításoknál lesz szükség:
cot λ
1 ⎡
− ⋅ ⎢x
⋅sinϕ
K
y ⎣
K
K
2
⎛ d ⎞ ⎤
+
⎜ R −
⎟ ⋅ cosϕ
⎥ .
⎝ 4 ⋅ R ⎠ ⎦
=
K
K
K
2
1 ⎡
⎛ d ⎞ ⎤
sinϕ
= ⋅ cos
K
sin
2 ⎢−
x ⋅ ϕ +
⎜ R −
K ⎥
⎣
4
⎟ ⋅ ϕ
d
⎝ ⋅ R
R +
⎠ ⎦
4 ⋅ R
Példa:
Ellenırizzük az elızı példa számításának helyességét!
y = -102192,770 m; x = 92739,376 m .
.
A kezdıpont földrajzi szélessége: ϕ 47 o K
= 26′
21,1372 1′′
A Gauss-gömb sugara: R = 6378512,966 m .
2 2
d = x + y = 137999,8337 m .
A ϕ és a λ értékei 0,0001” élességgel megegyeznek az elızı példa bemenı adataival:
o
ϕ = 46 35′
54,0500′′
.
o
λ = 1 20′
09 ′,3800
32

A sztereografikus vetület redukciói
A redukciók számításánál az alábbiakat fogadják el:
− a szögtartóság miatt a vetületen lévı szögek megegyeznek a megfelelı alapfelületi (gömbi)
szögekkel,
− a kezdı-meridián képe egyenes,
− a vetületi kezdıponton át nem menı gömbi körök képei körök, amelyek mindig a homorú
oldalukat mutatják a K vetületi kezdıpont felé,
− a vetületi kezdıponton átmenı gömbi körök képei a vetületen egyenes szakaszok.
A sztereografikus vetület U hossztorzulását a vetület lineármodulusából kiindulva, véges szakaszra
vonatkozó határozott integrál képzésével határozzák meg. A hossztorzulás nagysága a
perspektív vetítés sajátosságainak megfelelıen az x és y koordinátákra szimmetrikus, s az
alább összefüggésbıl határozható meg:
2
2 2
2
( x + x ⋅ x + x + y + y ⋅ y y )
1
U = ⋅
2 1 1 2 2 1 1 2
+
2 . (1)
12 ⋅ R
Mivel a Magyarországon bevezetett sztereografikus vetület érintı, a „Hossztorzulási tényezı
és hosszredukció” c. fejezet (2) képletében m
0
= 1, így a hossztorzulási tényezı az
d
m = = 1 + U (2)
s
összefüggésbıl számítható. Ugyancsak e fejezet (5) képlete szerint a hosszredukció a
a hosszredukcióval korrigált távolság pedig a
képletbıl számítható.
∆ s = d − s = U ⋅ s ,
s = d + ∆s
A (2) összefüggésbıl látszik, hogy, mivel U pozitív, a hosszredukció is pozitív, azaz, amint az
egyébként is könnyen belátható, a sztereografikus vetületi távolságok nagyobbak a gömbi távolságoknál.
A K kezdıpontban a hossztorzulás 0, attól távolodva, az (1) összefüggés szimmetrikussága
miatt, a hossztorzulás a K pont körüli koncentrikus körök mentén nı.
A mért távolság környezetében célszerő átlagos x , y 0 0
koordinátákkal számolni, hiszen a távolságméréskor
a végpontok koordinátáit többnyire még nem ismerjük. Az (1) képletben ezért
x1
+ x2
y1
+ y2
helyettesítsünk x0
= -et és y0
= -ıt. Ekkor
2
2
2
2 2 d
( x ) 0
0
+ y0
=
2
1
U = ⋅
.
2
4 ⋅ R
4 ⋅ R
A hossztorzulás számításakor a koordinátákat és a Gauss-gömb R sugarát elegendı kerekítve,
0,1 km-es élességgel behelyettesíteni.
1
Vizsgáljuk meg, hogy a K kezdıpontból kiindulva U hol éri el az U = értéket? A
10000
Gauss-gömb sugarát R ≈ 6380 km -nek véve, az U hossztorzulás x = 90 0
km és y = 90 0
km ,
33

2 2
1
azaz d0 = x + y = 127,3 km mellett éri el az -et. Ez azt jelenti, hogy a K vetületi
10000
kezdıpont körül 127,3 km sugarú körön kívül az U értéke már meghaladja azt.
Példa:
Számítsuk ki az s = 2825,346 m nagyságú gömbi távolság K kezdıponttól vett d0
távolságát,
U hossztorzulását, a ∆s
hosszredukciót és a hosszredukcióval korrigált d távolságot az
y = -102192,770 m és 92739,376 m
0
x
0
=
koordinátájú pont környezetében!
A koordináták és a Gauss-gömb sugara km élességgel:
0
y = -102,2 km , x = 92,7 m , R = 6378,5 km .
0
0
k
d = 137,979 km , U = 0,000116984,
∆s = 0,331 m , d = 2825,677 m.
A hosszredukció a vetületi kezdıponttól távol dm-es nagyságrendő, jóval meghaladja a távolságmérı
mőszerek pontosságát, ezért nem hanyagolhatjuk el.
A második irányredukció számítható az
ε T xP
⋅ yQ
− x
= = ⋅ ρ′′
=
2
2 2 ⋅ R
4 ⋅ R
Q
∆
PQ
2
⋅ y
P
⋅ ρ ′′
összefüggésbıl. Mint látjuk, a redukció értéke az ε gömbi szögfölösleg fele.
Példa:
Számítsuk ki a PKQ háromszög területét és a PQ irányra vonatkozó ∆ PQ
második irányredukciót!
A koordináták:
A Gauss-gömb sugara:
Az eredmények:
y
P
= -102192,770 m , x
P
= 92739,376 m
y - 91009,203 m , x = 90023,435 m
Q =
R = 6378512,966 m .
T = 379803745,5438 m 2 , ∆ = + 0,963
.
P
PQ
′′
A két pont távolsága 11508,63 m.
A vetületi meridiánkonvergencia legegyszerőbben az alábbi ábra szerint, a
( λ + δ )
µ = −δ
− λ − δ = − 2 ⋅
képletbıl kapható meg. A λ a gömbi földrajzi hosszúság, É a gömbi északi pólus, a PÉ vetületi
ív a P’ pont gömbi meridiánjának képe, λ a gömbi földrajzi hosszúság, − δ = 360 − δ
o
,
y
δ = arctan ,
x − x
az ÉP irány irányszöge, a ∆ a második irányredukció.
Az É pont sztereografikus vetületi koordinátái:
É
34

y = 0 , cosϕ
K
x = −2
⋅ R ⋅ = −4968729,
283 m .
É É
1+
sinϕ
K
δ
É
S
-δ
λ
∆
É t
x É
∆
µ
+ y
K
x
B
- y
P
-δ
+ x
Vetületi meridiánkonvergencia a sztereografikus vetületben
Példa:
A P pont koordinátái: y
P
= −102192,
770 m, xP
= 92739,
376 m . Számítsuk ki a P pontbeli
vetületi meridiánkonvergenciát!
tanδ
=
y = ; x = -4968729,
283 m .
É
y
x − x
0
É
−102192,770
=
, ahonnan
92739,
376 + 4968729 283
É
,
δ = −1 o 09′
23,991′′
,
o
Továbbá 2 ⋅δ = −2
18′
47,982′
és az inverz vetületi egyenletek fenti példájából
λ = 1 o 20′
09′
,380 .
A vetületi meridiánkonvergencia:
o
o
( λ + 2 ⋅ ) = −( 1 20′
09′
,380 − 2 18′
47,982′′
) = 0 58′
38,602
o
µ = − δ
′′ .
35

A sztereografikus vetület szelvényhálózatai
A budapesti sztereografikus rendszer szelvényhálózata öl, illetve méter rendszerő. A délnyugati
tájékozású koordinátarendszerben az x tengellyel párhuzamosan helyezkednek el az oszlopok,
az y tengellyel párhuzamosan a rétegek. Az öl-rendszerő szelvényhálózat beosztásának
alapja a négyzetmérföld. Egy négyzetmérföld 20 szelvényre oszlik, az egyes szelvények y tengellyel
párhuzamos oldala 1000 öl, x tengellyel párhuzamos oldala 800 öl. Egy, a 2.1.4.-1. ábrán
sötétítéssel jelölt 1000 öl ⋅ 800 öl mérető szelvény méretaránya 1:2880.
A jobboldali ábrán látható 1:2880 méretarányú 1000 öl * 800 öl nagyságú területet ábrázoló
kataszteri térkép méteres rendszerben kifejezett méretei:
- az y tengellyel párhuzamosan: ( 1000 öl : 2880) 1,89648 ≈ 66 cm
- az x tengellyel párhuzamosan: ( 800 öl : 2880) ⋅ 1,89648 ≈ 53 cm ,
⋅ ,
amely még viszonylag könnyen kiteríthetı, illetve használható papírlap méret.
31.
II. I. I. II.
N.o.
(nyugati
oszlop)
K.o.
(keleti
oszlop)
32.
1000 öl
~66 cm
+ y
33.
34.
e
f
g
h
i
K
d c b a
4000 öl
4000 öl
800 öl
~53 cm
N.o.I.34.b.h.
M = 1:2880
+ x
A sztereografikus vetület öl rendszerő szelvényhálózata
A budapesti rendszerben az egyes kataszteri szelvények számozása minden síknegyedben keletrıl
nyugat felé az a, b, c, d betőkkel és minden síknegyedben északról délre az e, f, g, h, i
betőkkel történik. A sötétítéssel jelölt szelvény száma: N.o.I.34.b.h., vagyis a szelvény a nyugati
I. oszlop és 34. réteg találkozásánál lévı 4000 öl ⋅ 4000 öl = 1 négyzetmérföld mérető
szelvény b. oszlopában és h. sorában található. Megjegyezzük, hogy a rétegek számozását a
történelmi Magyarország északi szélétıl kell érteni.
A méteres rendszerben a szelvénybeosztás az ún. szelvénycsoportokon alapszik. Egy-egy, az
oszlopok és rétegek határvonalaival kimetszett szelvénycsoport mérete 8000 m ⋅ 6000 m , területe
4,8 ⋅ 10 m = 4800 ha (hektár) .
7 2
Az egyes szelvénycsoportok helyét az oszlopokban nyugatra és keletre is római, a rétegekben
arab számokkal jelöljük. A számozás mindkét esetben a budapesti rendszer koordinátatengelyeitıl
kiindulva növekszik. Egy-egy szelvénycsoport 25 db 1600m*1200m területő,
1:2000 méretarányú szelvénybıl áll. Az egyes térképlapok cm-ben kifejezett méretei:
- az y tengellyel párhuzamosan: 1600 m : 2000 = 0,8 m = 80 cm,
- az x tengellyel párhuzamosan: 1200 m : 2000 = 0,6 m = 60 cm.
36

A térképlap mérete már a használhatóság határán van. Az alábbi ábrán sötétítéssel jelölt szelvény
száma: DK.II.2.d.h. A DK a délkeleti sík-negyedet, a II. a második oszlopot, a 2. a második
réteget jelenti. A kisbetős jelölések sík-negyedenként (ÉNY, ÉK, DNY, DK), a koordináta-tengelyektıl
távolodva, az ábécé sorrendjében követik egymást.
+y
2
1
1
2
II. I. I. II.
e d c b a
e d c b a
k
i
h
g
f
f
g
h
i
k
ÉNY
K
DNY
ÉK
DK
a b c d e
8000 m
6000 m
a b c d e
k
i
h
g
f
f
g
h
i
k
1600 m
80 cm
DK.II.2.d.h.
M = 1:2000
1200 m
60 cm
+x
A sztereografikus vetület méter-rendszerő szelvényhálózata
1966-tól 1975-ig (az Egységes Országos Vetület – EOV megjelenéséig) polgári használatra az
M = 1:10000 méretarányú, valójában Gauss-Krüger vetülető és szelvényezéső topográfiai térképekre
a budapesti katonai sztereografikus rendszer kilométer-hálózati vonalait nyomtatták,
a szelvényeket kétszer három számjegybıl álló számozással látták el, pld. 504-332.
37

A ferdetengelyő hengervetületek
A magyarországi hengervetületek az Osztrák-Magyar Monarchián belüli alaphálózati és térképezési
önállósodási törekvések eredményeképpen 1908-1909-ben kerültek bevezetésre. A
vetület a tárgyalt csoportosítási szempontok szerint valódi, érintı, ferde tengelyő hengervetület.
A vetület szögtartó, a – sztereografikus vetülethez hasonlóan - a vetítés kettıs, elıször a
Bessel-ellipszoidról a Gauss-gömbre, majd a Gauss-gömbrıl a gömböt egy legnagyobb gömbi
kör mentén érintı hengerre történik a vetítés.
Mindhárom hengervetület x tengelye a gellérthegyi meridián, y tengelye a legnagyobb gömbi
kör egyenesként jelentkezı képe. Az x tengely pozitív ága délnek, az y tengely pozitív ága pedig
nyugatnak mutat, tehát a vetületi koordinátarendszer délnyugati tájékozású. Egy hengervetület
kezdıpontja sem egyezik meg a budapesti sztereografikus rendszer kezdıpontjával, a
HÉR kezdıpontja a Gellérthegytıl északra mintegy 137 km-re, a HKR kezdıpontja a Gellérthegytıl
délre mintegy 38 km-re helyezkedik el. A hengervetületek U hossztorzulása az y tengely
mentén zérus (az y tengely az érintı gömbi kör képe), az értéket az y tengelytıl
10000
1
számítva az x tengellyel párhuzamosan x = ± 90 km-nél éri el. A történelmi Magyarország területét
három hengervetületi sávban ábrázolták:
HÉR - Hengervetület Északi Rendszere
HKR - Hengervetület Középsı Rendszere
HDR - Hengervetület Déli Rendszere
Mindhárom hengervetület kezdıpontjának földrajzi hosszúsága: λ 0 o K
= 0′
00,00000
′′ .
HÉR
HKR
HDR
É
A három ferdetengelyő hengervetület
– A hengervetület északi rendszere (HÉR) ábrázolja az ország ϕ = 47 o 55′
00′
Gauss-gömbi
földrajzi szélességtıl északra esı, a mai Szlovákia egész területét, kezdıpontjának gömbi
földrajzi szélessége:
ϕ 48 o K
= 40′
02 ′′ ,
38

A hengervetületek elhelyezkedése a történelmi Magyarország területén
A hengervetület középsı rendszere (HKR) ábrázolja az ország ϕ = 47 o 55′
00′
és a
ϕ = 46 o 22′
00 ′′ Gauss-gömbi földrajzi szélességek közötti területét. A kezdıpont gömbi földrajzi
szélessége:
ϕ 47 o K
= 06′
00 ′′ .
– A hengervetület déli rendszere (HDR) ábrázolja az ország ϕ = 46 o 22′
00
′′ Gauss-gömbi
földrajzi szélességtıl délre esı területét. A kezdıpont gömbi földrajzi szélessége:
ϕ 45 o K
= 31′
59′
.
A budapesti sztereografikus rendszer kezdıpontjával egy hengervetület kezdıpontja sem esik
egybe, hiszen a Gellérthegy Gauss-gömbi földrajzi szélessége más.
Vetületi egyenletek
A számítás két lépésben történik, elıször az eredeti ϕ, λ rendszerrıl egy ϕ’, λ’ ún. segédföldrajzi
koordinátarendszerre (ábra), majd onnan az y, x vetületi koordinátarendszerre térnek át.
A vetületi egyenleteket ebben a segédrendszerben (x’, y’, z’, ϕ’, λ’) írják fel.
Az x’, y’, z’, ϕ’, λ’ segédrendszerben a kezdıpont földrajzi szélessége ϕ ′ = 0 o 00′
00,00′
, a
λ λ′
′
K
′ 0 o K
= λK
= 00′
00,0 ′
és földrajzi hosszúságok pedig mindkét rendszerben λ 0 .
Az átszámítás összefüggései:
1. lépés:
sinϕ′
= sinϕ
⋅ cosϕ
- cosϕ
⋅ cos λ ⋅sinϕ
,
K
cosϕ
⋅ sin λ
sin λ′
=
.
cosϕ′
K
(1)
39

+z’
+ z g + x’
É
µ
É’
P’( ϕ, λ )
ϕφ
ϕ′
K
− λ′
y g ,y’
ϕ K
−λ
+x g
C
Segédegyenlítı
D
D’
Kezdı-meridián
Ferde tengelyő hengervetület és segédrendszere
A lineármodulus értéke az I. vetületi fıirányban (a segéd szélességi kör iránya)
l
1
l o o
( α ω ) = a =
= 90 , 0
cosϕ′
e
= ,
=
a II. vetületi fıirányban (a segéd meridián iránya) pedig:
l
1
l o o
( α ω ) = b =
= 0 , 90
2
cos ϕ′
m
= ,
=
emiatt a szögtartó ábrázolás a = b = m = n = l feltétele nem teljesül. A szögtartó ábrázolás
érdekében a segéd meridián menti lineármodulust a segéd szélességi kör menti
lineármodulussal teszik egyenlıvé:
1
l
m
= l e
= .
cosϕ′
Ekkor a vetület geometriailag már nem értelmezhetı: a henger csak szimbólum. E meggondolásokkal
a vetületi egyenletek az alábbiak.
2. lépés:
y = −R
⋅λ′,
⎛ϕ′
π ⎞
x = −R
⋅ ln tan⎜
+ ⎟,
⎝ 2 4 ⎠
vagy, trigonometriai átalakítás után
40

Példa:
R 1+
sinϕ′
x = − ⋅ ln .
2 1−
sinϕ′
Számítsuk ki a hengervetület középsı rendszerében a ϕ = 47 o 38′
25,3000
′′ földrajzi szélességő
és a λ = + 1 o 55′
32,8000
′′ földrajzi hosszúságú pont hengervetületi koordinátáit. A kezdıpont
földrajzi szélessége ϕ 47 o K
= 06′
00
′′ , a Gauss-gömb sugara R = 6378512,966 m .
Az eredmények:
o
ϕ ′ = 0
o 33′
22,8034 ′′ , λ′
= 1 17′
50,936′
y = −144443,573 m, x = −61935,473 m .
A ϕ és λ gömbi földrajzi koordináták számítása az y, x hengervetületi koordinátákból szintén
két lépésben történik.
1. lépés (inverz vetületi egyenletek a segédrendszerben):
⎛
ϕ′
= −⎜
2 ⋅ arctan
⎝
y
λ′
= − .
R
e R x
π ⎞
− ⎟,
2
⎠
Aϕ′ elıjele negatív, mert növekedési iránya ellentétes az x növekedési irányával.
2. lépés:
Példa:
y = −144443,573 m, x = −61935,473
m vetületi ko-
Ellenırizzük az elızı példában számított
ordinátákat!
Eredmények:
sinϕ
= sinϕ′
⋅ cosϕ
+ cosϕ′
⋅ cos λ′
⋅ sinϕ
,
K
cosϕ′
⋅ sin λ′
sin λ =
cosϕ
.
K
o
ϕ = 47
o 38′
25,3000 ′′ , λ = + 1 55′
32,8000′
.
A ferdetengelyő hengervetületek redukciói
A hossztorzulási tényezı és hosszredukció számításánál itt is a lineármodulusból indulunk ki.
Az y tengely (a segédegyenlítı képe) mentén a = b = 1, vagyis nincs hossztorzulás, az y tengellyel
párhuzamosan pedig a hossztorzulás azonos, vagyis értéke csak az x koordinátától
függ:
1 2
2
U = ⋅ ( x1
+ x1
⋅ x2
+ x2
) . (1)
2
6 ⋅ R
A hossztorzulási tényezı, a hosszredukció és a hosszredukcióval korrigált távolság képletei a
sztereografikus vetületnél tárgyalt összefüggésekkel egyeznek meg.
A hossztorzulás mértéke az
x ≈ 90 km mellett éri el az
U
=
1
10000
-t.
41

A mért távolság környezetében a számításokat közelítı, vagy átlagos x
0
koordináta bevezetésével
itt is egyszerősíthetjük. Az (1) képlet ekkor az
U
1
=
6 ⋅ R
2
⋅
2 2
2 2 2 3⋅
x0
x
( x ) 0
0
+ x0
+ x0
= =
2
2
6 ⋅ R
2 ⋅ R
alakot ölti. A hossztorzulás számításakor az x
0
koordinátát és a Gauss-gömb R sugarát elegendı
kerekítve, 0,1 km élességgel behelyettesíteni.
Példa:
Számítsuk ki az s = 4282,506 m nagyságú gömbi távolság U hossztorzulását, az m hossztorzulási
tényezıt, a ∆s
hosszredukciót és a hosszredukcióval korrigált d távolságot az
y = -182623,15
0
m és az x = 82514,32
0
m koordinátájú pont környezetében!
A hossztorzulás nem függ az y-tól. Az x
0
koordináta és a Gauss-gömb sugara 0,1 km élességgel:
x = 82,5 km , R = 6378,5 km .
Az eredmények:
0
d
U = 0,000083645, m = ≈ 1 + U = 1+
0,000083645 = 1,000083645
,
s
∆ s = d − s = U ⋅ s = 0,358 m, d = s + ∆s
= 4282,864 m .
A hosszredukció itt is dm-es nagyságrendő, jóval meghaladja a távolságmérı mőszerek pontosságát,
ezért nem hanyagolhatjuk el.
A második irányredukció számításánál felhasználjuk, hogy a segédmeridiánok valódi (pontonként
vetített) képei a henger palástjának alkotói, tehát a vetületi koordinátarendszerben az x
tengellyel párhuzamos egyenesek. Ezekben az irányokban a vetületi síkon a második irányredukció
értéke 0. Az y tengellyel párhuzamosan a két irányredukció nagyságra egyenlı, az öszszes
többi irányban viszont ∆ ≠ ∆ . Fogadjuk el, hogy a gömbi pontokat összekötı gömbi
PQ
QP
ívek valódi képei homorú oldalukkal az y tengely felé néznek. Ez azt is jelenti, hogy a segédegyenlítıt
metszı gömbi körívek valódi képének az y tengelyben inflexiós pontjuk van. Ez
utóbbi esetben elıfordulhat, hogy a két irányredukció egyenlı elıjelő (ábra).
+y
K
+x
42

A gyakorlatban elıforduló esetekben kielégítı eredményt adnak a
∆
∆
QP
k
( yQ
− yP
) − b ⋅ ( xQ
− xP
) ⋅ ( yQ
− yP
)
( y − y ) − b ⋅ ( x − x ) ⋅ ( y − y )
PQ
= + a ⋅ xk
⋅
,
= −a
⋅ x
összefüggések, ahol x k a P és Q pontok közepes x kordinátája,
′′
a = ρ ρ′′
, b = .
2
2
2 ⋅ R 12 ⋅ R
1. példa:
A P és Q pontok ferdetengelyő hengervetületi koordinátái:
⋅
Q
P
y
P
= -182623,15 m , x
P
= 82514,32 m ; y = -193544,04
Q
m , x = 90442,82 m .
Q
Számítsuk ki a második irányredukciókat!
Eredmények:
∆
PQ
= −2,3940
′′ − 0,0366′′
= −2,4306
′′
.
∆ = + 2,3940 ′′ − 0,0366′′
= + 2,3574
2. példa:
QP
Lássunk példát egy szélsı esethez közeli helyzetre, amikor a P és Q pontok x koordinátái az y
tengely különbözı oldalaira esnek:
y
P
= -182623,15 m , x
P
= −12023,42 m ; y = -193544,04
Q
m , x +17425,08 m
Q
=
.
Számítsuk ki a második irányredukciókat!
∆
∆
PQ
QP
= −0,0748
′′ + 0,1359 ′′ = + 0,0611′′
.
= + 0,0748′′
+ 0,1359′′
= + 0,2107′′
Látjuk, hogy az ellentétes irányredukciók abszolút értékre különböznek, elıjelre viszont megegyeznek.
A vetületi meridiánkonvergencia a „Vetületi egyenletek” fejezet elsı ábráján a P’ pontnál a
P’ pont eredeti, valamint segédmeridiánja által bezárt µ-vel jelölt kis szögérték. Csak ferdetengelyő
hengervetületnél jelentkezik, mert az eredeti és a segédmeridiánok normális elhelyezéső
(a gömböt az egyenlítı mentén érintı) hengervetületnél egybeesnek.
A vetületi meridián-konvergencia a földrajzi koordináták, ill. a vetületi kezdıpont földrajzi
szélességének függvényében a
sinϕ
K
⋅sin
λ
tan µ = , (1)
cosϕ
⋅ cosϕ
+ sinϕ
⋅sinϕ
⋅ cos λ
a vetületi koordináták függvényében pedig a
összefüggésbıl fejezhetı ki. A (2) képletben
K
x y
ch ⋅ sin
tan µ = −
R R
(2)
x y
cotϕ
K
+ sh ⋅ cos
R R
K
Q
P
Q
P
43

Példa:
sh
x
R
x
R
x
−
x
−
R
R
e − e x e + e
= , ch = .
2 R 2
x
R
A ferdetengelyő hengervetület középsı rendszerében (HKR) a P pont koordinátái:
y = −144443,574 m, x = −61935,475 m .
Számítsuk ki a vetületi meridiánkonvergenciát! A kezdıpont földrajzi szélessége
ϕ 47 o K
= 06′
00 ′′ , a Gauss-gömb sugara R = 6378512,966 m .
Eredmény:
= + 1 o 24′
38,3697 ′′
µ .
A meridiánkonvergencia elıjelét akkor tekintjük pozitívnak, ha pontunk a kezdı-meridiántól
keletre helyezkedik el.
A ferdetengelyő hengervetületek szelvényhálózatai
Hasonlóan a sztereografikus vetület szelvényhálózataihoz, a hengervetületeknél is öl és méter
rendszerő szelvénybeosztást különböztetünk meg. A méter rendszerő szelvénybeosztás teljes
mértékben megegyezik a sztereografikus vetület méteres szelvénybeosztásával. Az öl rendszerő
beosztás hasonlít a sztereografikus vetület öl rendszerő szelvényhálózatához, azzal a különbséggel,
hogy a négyzetmérföldek számozása olyan, mint a méter rendszerő beosztásé.
Az alábbi ábrán jelzett kataszteri szelvény száma e szerint a számozás szerint D.N.I.2.b.h. A
kisbetős jelölések minden síknegyedben az ábécé sorrendjében a délnyugati síknegyedhez hasonlóan
követik egymást.
2.
II. I. I. II.
N.o.
(nyugati
oszlop)
K.o.
(keleti
oszlop)
+ y
1.
1.
2.
e
f
g
h
i
É.N.
D.N.
K
d c b a
É.K.
D.K.
+ x
A ferde tengelyő hengervetületek öl rendszerő szelvényhálózata
44

Egységes Országos Vetület
~38,10 km
Részben a többfajta vetületi rendszer (eddig még nem szóltunk a Gauss-Krüger vetületi rendszerő
katonai topográfiai térképekrıl) polgári célú egységesítése, részben pedig a miatt, hogy
1
a hossztorzulás értéke az ország egész területén minél kisebb mértékben térjen el az - 10000
tıl, 1975-ben polgári célokra új vetületi rendszert vezettek be, az Egységes Országos Vetületet,
rövidítve, az EOV-t. Vonatkoztatási ellipszoidja az IUGG/1967 ellipszoid.
Az EOV az eddig tárgyalt vetületektıl – egyebek mellett – abban is különbözik, hogy a szelvényezés
rendszere (Egységes Országos Térképrendszer – EOTR) a kis méretarányoktól
kezdve a legnagyobb méretarányig számozásban is egységesen átfogja az eddig tárgyalt térképfajtákat.
Az egységesítési törekvés egészen természetes, ha meggondoljuk, hogy 1975-ig és még jóval
utána is, az ország különbözı területeirıl különbözı vetülető és szelvényezési rendszerő térképek
álltak rendelkezésre. Ez folyamatosan megkövetelte az egyes vetületi rendszerek közötti
– a számítástechnika akkori szintje mellett – kényelmetlen átszámításokat. Természetes törekvés
volt az is, hogy a polgári térképészet igyekezett elszakadni a katonaitól, nem utolsó
sorban utóbbi akkori szigorú titkossága miatt. Az egységesítés célja volt továbbá, hogy mind a
földmérési, mind a topográfiai alaptérképek vetületi rendszere és szelvényhálózata azonos legyen,
eltérıen attól a helyzettıl, hogy a sztereografikus és hengervetületi rendszerek elsısorban
a földmérési, míg a Gauss-Krüger vetületi rendszer a topográfiai térképek vetülete volt
(beleértve az 1:10000 méretarányú budapesti sztereografikus rendszer koordináta vonalaival
ellátott Gauss-Krüger vetülető topográfiai térképeket).
Fentiek mellett komoly szakmai érv volt a hossztorzulás értékének csökkentése az ország
1
egész területén. A hossztorzulásra megkívánt -es határ komoly kötöttséget jelent a vetületek
alkalmazhatóságát illetıen, hiszen ezt a sztereografikus vetületnél a kezdıpont körüli
10000
127 km-es sugarú kör, a ferdetengelyő hengervetületeknél pedig az y tengelytıl két irányban
90-90 km-es sáv maximálta. E mellett a szögtartó sztereografikus és hengervetületeknél a torzulásmentes
helytıl eltekintve a képfelületi hosszak mindig nagyobbak, mint az alapfelületiek.
Gellérthegy
~75,48 km
47 o 06’
EOV - ferde tengelyő, redukált hengervetület
45

A bemutatott módszerrel az EOV-ben egész Magyarország területe egy (ferde tengelyő) hengervetületi
sávon ábrázolható anélkül, hogy a hossztorzulás értéke az x tengely mentén az
1
értéket meghaladná. Ezt azzal érték el, hogy a képfelület metszı, vagy süllyesztett
10000
henger, amely 2 párhuzamos gömbi körben metszi a Gauss-gömböt. A két gömbi kör között a
hossztorzulás negatív, a gömbi körökön kívül pozitív irányú, a körökön pedig zérus. Fentiek
miatt az EOV-t redukált hengervetületnek is nevezik. A henger elhelyezkedése megegyezik a
HKR rendszer elhelyezkedésével. A kezdı-meridián áthalad a Gellérthegy nevő felsırendő
alapponton, de utóbbi – a hengervetület középsı rendszeréhez hasonlóan – nem azonos a vetület
kezdıpontjával.
A vetület a tárgyalt csoportosítási szempontok szerint valódi, süllyesztett, ferdetengelyő hengervetület.
A vetület szögtartó, a – sztereografikus és ferdetengelyő hengervetületekhez hasonlóan
- a vetítés kettıs, elıször az ellipszoidról a Gauss-gömbre, majd a Gauss-gömbrıl a
gömböt két gömbi kör mentén metszı hengerre történik a vetítés. A Gauss-gömb sugara a ferdetengelyő
hengervetületektıl eltér:
R = 6379743,001m .
A vetületi kezdıpont ellipszoidi földrajzi koordinátái:
Gauss-gömbi koordinátái * :
o
o
ϕ
K
= 47 08′
39,8174′′
és λK
= 19 02′
54,8584′
,
g o
g o
ϕ
K
= 47 06′
00,0000 ′′ és λK
= 0 00′
00,0000′
.
A Gauss-gömb a ϕ
g = 47 o 07′
20,0578′
gömbi földrajzi szélességő pontjában (ellipszoidi földrajzi
szélessége ϕ = 47 o 10′
00,0000
′′ ) simul az ellipszoidhoz, ami nem egyezik meg a vetületi
kezdıpont földrajzi szélességével.
Vetületi egyenletek
Mind a vetületi, mind az inverz vetületi egyenletek számítása a ferdetengelyő hengervetületeknél
leírtak mintájára történik, azzal a különbséggel, hogy a süllyesztés miatt a redukálás
mértékét, az m
0
mennyiséget figyelembe kell venni. Az EOV esetében m = 0, 0
99993 .
A süllyesztés az EOV vetületi egyenleteit általánosságban az
y = m
x = m
⋅ f
⋅ f
x
( ϕ,
λ)
( ϕ,
λ)
0 y
,
0
képletek szerint módosítja. A fenti és a további képletekben ϕ , λ a gömbi földrajzi koordináták.
Belılük a segédföldrajzi ϕ ′, λ′
koordinátákat ugyanúgy számítjuk, mint a ferdetengelyő
hengervetületeknél.
Mivel az EOV – a ferdetengelyő hengervetületektıl eltérıen - északkeleti tájékozású, a vetületi
egyenletek jobboldalai pozitív elıjelőek:
* Eddig mind az ellipszoidi, mind a gömbi földrajzi koordinátákat egyformán jelöltük: ϕ, λ. Ha az ellipszoidi és a
gömbi koordináták egyidejőleg szerepelnek, a gömbi koordinátákat a „g” felsı index-szel látjuk el.
46

y
0
= m ⋅ R ⋅ λ′
vagy, ha λ′ szögfokban adott:
valamint
vagy
λ′
y = m0
⋅ R ⋅ ,
o
ρ
⎛ ϕ′
π ⎞
x = m0
⋅ R ⋅ ln tan⎜
+ ⎟ ,
⎝ 2 4 ⎠
R 1+
sinϕ′
x = m0
⋅ ⋅ ln .
2 1−
sinϕ′
A fenti képletekben a ϕ′ a segédföldrajzi szélesség, a λ′ a segédföldrajzi hosszúság. A segédegyenlítı
segédföldrajzi szélessége ϕ ′ = 0 .
Példa:
Számítsuk ki a ϕ = 47 o 17′
27,49242′
Gauss-gömbi földrajzi szélességő és a
λ = −2 o 11′
33,13712 ′′ földrajzi hosszúságú P’ pont EOV koordinátáit! A kezdıpont földrajzi
szélessége ϕ 47 o K
= 06′
00
′′ , a Gauss-gömb sugara R = 6379743,001 m .
A segédföldrajzi koordináták az alábbiak:
Az eredeti EOV koordináták:
Az eltolt EOV koordináták:
o
ϕ ′ = 0
o 12′
42,52209 ′′ , λ′
= -1 29′
13,05233′
.
y = - 165557,61m, x = 23583,110 m .
Y = 484442,394 m, X = 223583,110 m .
Az inverz vetületi egyenletekbe helyettesítés elıtt elıbb az eltolt koordinátarendszerrıl vissza
kell térnünk az eredeti vetületi koordinátákra:
Az inverz vetületi egyenletek az alábbiak:
és
y = Y − 650000 m,
x = X − 200000 m.
y
λ ′ =
m ⋅ R
0⋅R
π
ϕ′
= 2 ⋅ arctan e − .
2
0
x
m
47

A Gauss-gömbi ϕ földrajzi szélesség és λ földrajzi hosszúság itt is a ferdetengelyő hengervetületeknél
leírtak szerint, a segédföldrajzi koordinátákból számíthatók.
Példa:
Számítsuk ki az Y = 484442,394 m, X = 223583,110 m EOV koordinátájú P pont Gaussgömbi
földrajzi koordinátáit!
Az eredeti EOV koordináták:
A segédföldrajzi koordináták:
A Gauss-gömbi földrajzi koordináták:
Visszakaptuk az elızı példa kiinduló adatait.
y = - 165557,61m, x = 23583,110 m .
o
ϕ ′ = 0
o 12′
42,52209 ′′ , λ′
= -1 29′
13,05233′
.
o
ϕ = 47
o 17′
27,49242 ′′ , λ = −2
11′
33,13712 ′
.
A metszı gömbi körök és a Gellérthegy pont elhelyezése
A henger a Gauss-gömbbıl az
r
m
m
( −ϕ
)
= R ⋅cos
ϕ ′ = R ⋅cos
′
sugarú ϕ és ϕ gömbi földrajzi szélességő gömbi köröket metszi ki (ábra).
É
D
+x
m
r m
+y
r m
ϕ = 47 o 46′
41′
É
ϕ′
m
R
ϕ 47 o K
= 06′
K
φ K
γ
s′
e
s e
ϕ 46 o D
= 25′
19′
Segédegyenlítı
A redukált hengervetület az r m sugarú gömböt érinti
48

A süllyesztés következtében a Gauss-gömb egy r
m
sugarú gömbbé „redukálódik”, innen a
„redukált hengervetület” elnevezés. A segédegyenlítı egy tetszıleges se
íve az r
m
sugarú
gömbön rövidül. Az ábrából beláthatóan
e
m
s e
= R ⋅γ ,
s′ = r ⋅γ = R ⋅ cos ϕ′
⋅γ
= s ⋅ cosϕ′
.
A cosϕ ′
m
értéke a ϕ ′m
= 0 eset kivételével mindig kisebb 1-nél, tehát valóban rövidülés következik
be.
A gyakorlati számítások egyszerősítése érdekében a koordináta-tengelyeket a vetület síkjában
önmagukkal párhuzamosan eltolták úgy, hogy az ország egész területén minden koordináta
pozitív legyen. Az eltolás mértékét úgy választották meg, hogy a koordinátákat ne lehessen
felcserélni, az X koordináta mindig kisebb, az Y koordináta mindig nagyobb, mint 400000 m.
A vetületi koordináták és a koordinátatengelyek eltolásával nyert koordináták közötti összefüggések
az alábbiak:
Y = y + 650000 m,
m
X = x + 200000 m,
vagyis az x tengely nyugatra 650 km-rel, az y tengely pedig dél felé 200 km-rel van eltolva.
Legyen a továbbiakban
m cosϕ ′ 0,99993 .
0
=
m
=
Innen a metszı gömbi körök földrajzi szélességei:
ϕ
′
m m
= −ϕ′
= 0 o 40′
40,57234 ′′ .
A kezdıpont gömbi földrajzi szélessége ϕ = 47 o 06
, ezért a kezdıponttól északra lévı gömbi
kör földrajzi szélessége:
K
′
o o
o
ϕ = 47 06′
+ 0 40′
40,57234′′
= 47 46′
40,5723′
,
É
′
e
m
a délre lévıé pedig:
o o
o
ϕ
D
= 47 06′
− 0 40′
40,57234 ′′ = 46 25′
19,4277 ′′ .
A metszı gömbi körök vetületi kezdıponttól számított távolsága a gömbön
o
ϕ′
0 40′
40,57234 ′′
s =
D
= ⋅ = 6379743,001⋅
= 75486,578 m
É s R m
o
o
,
ρ
57,29578
ahol
180 = = 57,29578
π
o
o
o
ρ és
x
o
⎛ 0 40′
40,57234 ′′
,99993⋅
6379743,001⋅
ln tan
⎜
⎝ 2 ⋅ ρ
π ⎞
+
4
⎟
⎠
= xD
= 0 =
É o
a vetületen, vagyis a gömbi ívnél rövidebb.
75483,054 m
49

A Gellérthegy nevő alappont gömbi földrajzi szélessége az EOV Gauss-gömbjén
ϕ = 47 o 26′
32,05074′
1 . Innen a vetületi kezdıpont távolsága a Gellérthegytıl délre:
G
′
a gömbön és
a vetületen.
x
Az EOV redukciói
s
o
ϕ −ϕ
0 20′
32,05074′′
= 6379743,001⋅
o
ρ
57,29578
G K
G
= R ⋅
=
o
o
⎛ 0 20′
32,05074 ′′
,99993⋅
6379743,001⋅
ln tan
⎜
⎝ 2 ⋅ ρ
π ⎞
+
4
⎟
⎠
G
= 0 =
o
Az m0
-nak megfelelıen módosul az
38107,165 m
38104,725 m
lineármodulus:
dd
l =
ds
1
=
cosϕ′
m0
l = . cos ϕ ′
A ferdetengelyő hengervetületek mintájára a hossztorzulás a redukált gömbön
2
m
2
2 1
2
2
( x + x ⋅ x + x ) = ⋅ ( x + x ⋅ x + x )
1
U ′ = ⋅
1 1 2 2
2 1 1 2 2
,
6 ⋅ r
6 ⋅ m ⋅ R
2
0
mert
r ϕ′
m
= R ⋅ cos
m
és = cos
m
m ϕ ′
0
. Az
összefüggést figyelembe véve:
U m ⋅U
′
= 0
azaz az EOV hossztorzulása
2
0
2
2
( x + x ⋅ x x )
1
U = m0
⋅ ⋅
2 1 1 2
+
2
,
6 ⋅ m ⋅ R
0
2
2
( x + x ⋅ x x )
U = 1
⋅
2 1 1 2 2
6 ⋅ m ⋅ R
+ .
A hossztorzulási tényezı ismeretesen
d
m = = m0 + U ,
s
a hosszredukció pedig
∆ s = d − s = ( m0 −1+
U ) ⋅ s .
ϕ az EOV Gauss-gömbjén a 47 o 29 13,7535′
1 A
G
′ IUGG/1967 ellipszoidi földrajzi szélességbıl számítható.
50

Az y tengelyen a hossztorzulási tényezı értéke m
0
= 0,
99993 , 1-nél kisebb, a hosszredukció
negatív. Egy, az y tengely mentén 1 km-es távolság a fenti összefüggés szerint a
∆s
= ( m0 −1)
⋅ s = −0,00007
⋅100000 cm = − 7 cm
értékkel rövidül (az y tengely mentén U = 0).
A hossztorzulás, ill. a hosszredukció csak az x-tıl függ, az y tengelytıl észak és dél felé távolodva
a hossztorzulási tényezı értéke közeledik 1-hez, ill. a hosszredukció értéke a zérushoz,
majd a metszı gömbi körökben, ahol az alap- és a képfelület egybeesnek, 1-gyel, ill. zérussal
egyenlık. Tovább távolodva észak, ill. dél felé, a hossztorzulási tényezı értéke 1-nél nagyobbá,
a hosszredukció pedig pozitívvé válik. A hossztorzulás még így is nagy területen jelentısen
meghaladja az értéket, leginkább Baranya megye déli és Borsod-Abaúj-Zemplén
1
10000
megye északi részén.
A második irányredukciót és a vetületi meridiánkonvergenciát is a ferdetengelyő hengervetületeknél
megismert módon számítjuk.
A ferdetengelyő hengervetületeknél megismert
∆
∆
QP
k
( yQ
− yP
) − b ⋅ ( xQ
− xP
) ⋅ ( yQ
− yP
)
( y − y ) − b ⋅ ( x − x ) ⋅ ( y − y )
PQ
= + a ⋅ xk
⋅
,
= −a
⋅ x
⋅
Q
P
összefüggésekben az a és b együtthatókban figyelembe kell venni az m
0
tényezıt az alábbiak
szerint:
ρ ′′
a =
2
2 ⋅ m ⋅ R
0
2
= 2,5342506 ⋅10
-9
"
,
m
Az a és b együtthatókban szereplı állandók:
Q
P
ρ ′′
b =
2
12 ⋅ m ⋅ R
0
2
Q
P
= 4,2237510 ⋅10
ρ ′′ = 206264,8
′′ ; R = 6379743,001m; m = 0
0,99993 .
A vetületi meridián-konvergencia földrajzi koordinátákból való számítását csak a henger elhelyezkedése
befolyásolja, mérete nem, a vetületi koordinátákból történı számításkor viszont
figyelembe kell venni a redukálás m
0
mértékét. Ezért az EOV-re használható alábbi képletben
az R helyett = m 0
⋅ R helyettesítendı:
r m
x y
ch ⋅ sin
m0
⋅ R m0
⋅ R
tan µ =
.
x y
cotϕ
K
− sh ⋅ cos
m ⋅ R m ⋅ R
A ferdetengelyő hengervetületekhez képest a számlálóban és a nevezıben jelentkezı elıjelváltás
oka, hogy az EOV északkeleti tájékozású.
0
0
-10
"
.
m
51

1. példa:
o o
Számítsuk ki a ϕ = 47 17′
27,49242′′
, λ = −2
11′
33,1371 2 ′′ Gauss-gömbi földrajzi koordinátájú
pontban a vetületi meridiánkonvergenciát!
sinϕ
K
⋅sin
λ
tan µ = .
cosϕ
⋅ cosϕ
+ sinϕ
⋅sinϕ
⋅ cos λ
Behelyettesítve, ϕ 47 o K
= 06′
00,00000
′′ mellett kapjuk:
2. példa:
K
µ = -1 o 36′
21,44697′
.
Számítsuk ki a P pontból a Q pont felé menı irányra mindkét végpontban a második irányredukciót
és a hossztorzulási tényezıt!
A P pont eltolt EOV koordinátái:
A Q pont eltolt EOV koordinátái:
Az eredeti EOV koordináták:
A második irányredukciók:
A hossztorzulás:
A hossztorzulási tényezı:
Az EOV szelvényhálózata
Y
P
= 484442,394 m, X
P
= 223583,110 m .
Y = 02904,530 m, X 248071,890 m .
Q
5
Q
=
y = 165557,606 m, x 23583,110 m ,
P
-
P
=
y = 147095,470 m, x 48071,890 m .
Q
-
Q
=
∆
PQ
= + 1,48532
′′ , ∆
PQ
= -1,86725′
.
K
U = 0,0000163838 .
m = 0,9999463838 .
Az Egységes Országos Térképrendszer (EOTR) szelvényezésének alapját az y irányban 48000
m, az x irányban pedig 32000 m nagyságú 1:100000 méretarányú szelvények képezik. Az
1:100000 méretarányú szelvények száma a szelvénysorok, illetve a szelvényoszlopok 0-tól
induló sorszámaiból tevıdik össze. Az ábra sarokpontjainak koordinátái a koordinátarendszer
eltolása miatt:
X
Y
alsó
bal
= 32000 m,
= 384000 m, Y
X
jobb
felsı
= 384000 m,
= 960000 m.
52

384000 m
107
108 109
96
97 98 99
910
82
85
86
87
88
89
810
811
71
72 73 74
75
76
77
78
79
710
711
x
61 62 63 64 65
66
67 68
69
610
51 52 53 54 55
56
57
57
57
40 41
42
43
44
45
46
47 48 49
31
32
33
34
35
36
37 38
39
21 22
23
24
25
26
27
28
29
12
13
14
15
16
17
18
32000 m
03 04 05
384000 m y
960000 m
Az EOTR szelvényhálózata. Az 1:100000 méretarányú szelvények
63
63-234
M=1:100000
M=1:10000
32000 m
1
3
48000 m
1 2
2
3 4
4
4000 m
1
2
1 2
3 4
3 4
500 m
6000 m 750 m
63-234-442
M=1:1000
a) b)
750 m
75 cm
500 m 50 cm
c)
Az EOTR különbözı méretarányú szelvényei
a) 1:10000, b) 1:10000, c) 1:1000
Az 1:100000 méretarányú szelvényekbıl az 1:50000, 1:25000 és 1:10000 méretaránysor térképlapjait
mindig a sor 1-gyel lejjebb lévı méretarányú szelvényébıl, annak negyedelésével
kapjuk (a) ábra). A szelvények számozása az ábrából követhetı nyomon. Az 1:10000 méretarányú
szelvények számozására példát b) ábrán látunk. Az 1:10000 méretarányú szelvények
53

további negyedelésével jutunk el az 1:4000 és 1:2000 méretarányú szelvényeken át az 1:1000
méretarányú szelvényhez. Ennek méretét és számozását a c) ábrán láthatjuk.
Az 1:100000, az 1:50000 és az 1:25000 méretarányú szelvények lapmérete megegyezik,
48 cm ⋅ 32 cm , hiszen a méretek felezıdnek, a méretarány pedig kétszerezıdik. Az 1:25000
méretarányról az 1:10000 méretarányra való áttérésnél a méretek felezıdnek, de a méretarány
két és félszeresére nı, s így az 1:10000 méretarányú térkép lapmérete:
[ 48 ( 2,5 : 2)
= 60 cm] ⋅[ 32 ⋅ ( 2,5 : 2)
= 40 cm]
⋅ .
Hasonló a helyzet az 1:10000 méretarányról az 1:4000 méretarányra való áttérésnél:
60 ⋅ ( 2,5 : 2) = 75 cm és 40 ⋅ ( 2,5 : 2) = 50 cm . Az 1:2000 és 1:1000 méretarányú lapok lapmérete
ugyanez. Magyarországon EOTR szelvényezésben 1:100000, 1:25000 és 1:10000 méretarányú
topográfiai térképek készülnek, 1:50000 méretarányú térkép EOTR szelvényezésben
nem készül. A nagyobb méretarányú földmérési alaptérképeket ma már kizárólag EOTR szelvényezésben
készítik.
54

Gauss-féle szögtartó gömbi vetület
Az eddigiekben mind az ellipszoidi, mind a gömbi földrajzi koordinátákat egyformán jelöltük:
ϕ, λ. E fejezet viszont éppen a két rendszer közötti összefüggésekrıl szól, ezért eddigi jelöléseinket
módosítanunk kell. Az e fejezetben használt jelölések az alábbiak:
ϕ - ellipszoidi földrajzi szélesség,
λ - ellipszoidi földrajzi hosszúság,
g
ϕ - gömbi földrajzi szélesség,
g
λ - gömbi földrajzi hosszúság.
A magyarországi sztereografikus, ferdetengelyő hengervetületeknél, valamint az Egységes
Országos Vetületnél a kettıs vetítés elsı lépéseként az ellipszoidról a gömbre történı vetítés
szögtartó, vagyis a lineármodulus értéke a vetületi fıirányokban megegyezik. Ha a két egymásra
merıleges vetületi fıirány egybeesik a szélességi körök és meridiánok irányával, úgy
ezt az
feltétel fejezi ki.
Vetületi egyenletek
( l l g )
lϕ = lλ
g =
Az ellipszoidról a gömbre történı vetítés vetületi egyenletei általános esetben:
ϕ
( ϕ,
λ)
,
g
λ = f
λ
g
ϕ = f ϕ
( ϕ,
λ).
A vetületi egyenletekre az alábbi feltételeket fogalmazzák meg:
g g
− a ϕ és λ változási határai között minden valós ϕ és λ értéknek valós ϕ és λ értékek feleljenek
meg,
− az ellipszoidi meridiánokat gömbi meridiánokkal, az ellipszoidi szélességi köröket gömbi
szélességi körökkel ábrázoljuk.
λ
Ellipszoid
d λ
P
Gömb
P g
g
d λ
C
N ⋅cosϕ ⋅dλ
M ⋅dϕ
B
B g
g
R ⋅dϕ
A A g
A gömbi vetület
C g
g
R ⋅cosϕ
⋅dλ
Az utóbbi feltétel a fenti egyenleteket a következıkben módosítja:
g
55

λ
g
= h
g
ϕ =
λ
h ϕ
Látjuk, hogy ekkor a gömbi szélesség csak az ellipszoidi szélesség, a gömbi hosszúság csak
az ellipszoidi hosszúság függvénye. E függvények meghatározásának alapja a meridián és
szélességi kör mentén a lineármodulusok egyenlısége.
Lineármodulus a meridián mentén:
Lineármodulus a szélességi kör mentén:
A képletek jelölései:
( λ)
,
( ϕ).
g g
g
A C R ⋅ dϕ
l
λ
= = .
AC M ⋅ dϕ
g g
g g
B C R ⋅ cosϕ
⋅ dλ
l
ϕ
= =
.
BC N ⋅ cosϕ
⋅ dλ
R a földgömb (a Gauss-gömb) sugara, M az ellipszoid meridián irányú görbületi sugara, N a
harántgörbületi sugár, és N ⋅ cos Φ = r a B pont szélességi körének sugara az ellipszoidon,
R ⋅ cosϕ a gömbön. A vetítés szögtartó, ha
l
ϕ
= l λ
.
A fentiekbıl kiindulva, a gömbi földrajzi hosszúságra a
a gömbi földrajzi szélességre a
g
λ = n ⋅
( λ − )
λ K
,
g
⎛ϕ
tan
⎜
⎝ 2
összefüggés vezethetı le.
π ⎞
n ⎛ ϕ π ⎞ ⎛1−
e ⋅sinϕ
⎞
+ k tan ⎜ ⎟
4
⎟ = ⋅ ⎜ + ⎟ ⋅
⎠ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+
e ⋅ sinϕ
⎠
e
n⋅
2
A fenti egyenletekbıl az ellipszoidi földrajzi hosszúságra a
g
λ
λ = + n
λ K
inverz vetületi egyenlet írható fel.
A második egyenlet a ϕ ellipszoidi szélességre implicit kifejezés és inverz vetületi egyenlet
is egyben, belıle a ϕ értékét - célszerően számítógépes programmal - fokozatos közelítéssel
határozhatjuk meg.
Az n, k és R a Gauss-féle gömbi vetület állandói, e az elsı numerikus excentricitás. Az állandókat
úgy választják meg, hogy az ellipszoidi pontok gömbre vetítése a lehetı legegyszerőbb,
valamint minimális hossztorzulású legyen azon a területen, ahol a vetítést kívánjuk végezni. E
célból két feltételt szabnak:
1. egy kiválasztott szélességi körön, az ún. normál szélességi körön a lineármodulus legyen
egységnyi,
2.a lineármodulus a normál szélességi körtıl északra és délre a lehetı leglassabban változzék.
56

E feltételek teljesülése azt jelenti, hogy egy bizonyos területen belül a lineármodulus gyakorlatilag
állandó és egységnyi, egyidejőleg a számítások is viszonylag egyszerően végezhetık.
A Gauss-gömb R sugara az
R =
N 0
⋅ M 0
összefüggésbıl fejezhetı ki, ahol M
0
és N
0
a meridián- és haránt irányú görbületi sugár az
ellipszoid és a Gauss-gömb érintési pontjában.
A Bessel- és az IUGG/1967 ellipszoidok, Gauss -gömbjeik és a kapcsolódó sztereografikus
vetület, ill. EOV néhány jellemzı adatát a következı táblázatban foglaljuk össze:
Jelölések:
Ellipszoid Bessel, 1841 IUGG/1967
a 6377397,155 m 6378160 m
b 6356078,963 m 6356774,516 m
f 1:299,152813 1:298,247167
e 0,0816968312157 0,0818205679407
e′ 0,0819708411452 0,0820958289928
ϕ
0 46 0 32′ 43,41035′
47 0 10′
00,00000′
g
ϕ
0
46 0 30′ 00,00000
′′ 47 0 07′
20,05780′
k 1,003016135133 1,0031100083
n 1,000751489594 1,000719704936
R 6378512,966 m 6379743,001 m
ϕ
K 47 0 29′ 09,63803′
47 0 08′
39,8174
′′
λ
K 36 0 *
42′
53,5733
′′ 19 0 02′
54,8584′
ϕ 47 0 26′ 21,1372 1′′
47 0 06′
00,00000′
g
K
a – az ellipszoid fél nagytengelye
b – az ellipszoid fél kistengelye
f – az ellipszoid lapultsága
e – elsı, a fél nagytengelyre vonatkozó numerikus excentricitás
e′ - második, a fél kistengelyre vonatkozó numerikus excentricitás
ϕ − a normál szélességi kör ellipszoidi földrajzi szélessége
0
g
ϕ
0
- a normál szélességi kör gömbi földrajzi szélessége
n, k,
R − a Gauss-féle gömbi vetület állandói
ϕ
K
− a sztereografikus vetület , ill. az EOV kezdıpontjának ellipszoidi földrajzi szélessége
λ − a sztereografikus vetület , ill. az EOV kezdıpontjának ellipszoidi földrajzi hosszúsága
K
g
K
ϕ - a sztereografikus vetület , ill. az EOV kezdıpontjának gömbi földrajzi szélessége
Példa:
A Pintytetı háromszögelési pont EOV koordinátái:
* A kezdı meridián Bessel-ellipszoidi földrajzi hosszúsága a Ferro-i kezdı-meridiántól értendı.
57

Y
X
Pinty
Pinty
= 468839,43 m,
= 263693,08 m.
Számítsuk át ezeket a koordinátákat az Egységes Országos Vetület Gauss-gömbjére és az
IUGG/1967 ellipszoidra!
Az eredeti EOV koordináták az
összefüggések szerint
y
Pinty
x
Pinty
A segédföldrajzi koordinátákat a
képletekbıl kapjuk.
y = Y − 650000 m,
x = X − 200000 m
= 468839,43 m − 650000 m = -181160,57 m,
= 263693,08 m − 200000 m = 63639,08 m.
ϕ
′ x
g
⋅R
m π
0
= 2 ⋅ arctan e − ,
2
g′
y
λ =
m ⋅ R
A földrajzi koordináták számítása a Gauss-gömbön a
0
g
sinϕ
g′
g
g′
g′
g
= sinϕ
⋅ cosϕ
K
+ cosϕ
⋅ cos λ ⋅ sinϕ
K
,
g′
g′
g cosϕ
⋅ sin λ
sin λ =
g
cosϕ
képletekkel történik:
g
o
g
o
ϕ
Pinty
= 47 38′
48,93628′′
, λPinty
= - 2 24′
55,60533′
.
Az IUGG/1967 ellipszoidi földrajzi koordinátákhoz a
g
⎛ϕ
tan
⎜
⎝ 2
π ⎞
n ⎛ ϕ π ⎞ ⎛1−
e ⋅sinϕ
⎞
+ k tan ⎜ ⎟
4
⎟ = ⋅ ⎜ + ⎟ ⋅
⎠ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+
e ⋅ sinϕ
⎠
e
n⋅
2
g
λ
λ = + n
λ K
képletekkel jutunk. A felsı egyenletet ϕ -re fokozatos közelítéssel oldjuk meg:
o
o
ϕ
Pinty
= 47 41′
31,73121′′
, λPinty
= 16 38′
05,50684 ′′ .
58

Nemzetközi vetületek Magyarországon
Magyarország – saját vetületei mellett – elsısorban katonai, másodsorban tudományos
együttmőködési céllal ún. nemzetközi vetületeket is használt-használ térképezési célra. E vetületek
lehetıvé teszik a korszerő geodéziai technológiák egységes alkalmazását, alkalmasak arra,
hogy az egész Földet egységesen lefedjék. Ezzel egyidejőleg kevéssé felelnek meg a polgári
célú térképezés olyan általános feladatainak, mint az ingatlan-nyilvántartás, ipari létesítmények
tervezése, stb. A nemzetközi vetületek az 1:10000 és kisebb méretarányú topográfiai
térképek vetületei.
Az eddig megismert vetületekkel szemben a vetítés közvetlenül az ellipszoidról történik a síkra.
A vetületek szögtartó, közvetlen vetítéső, transzverzális és valódi vetületek, amelyek azonban
geometriailag nem szemléltethetıek, az ellipszoid és a sík közötti kapcsolat tisztán matematikai.
Két vetületet sorolunk ide, a Gauss-Krüger vetületet és az UTM (Universal
Transverse Mercator) vetületet.
A Magyarországon használt Gauss-Krüger vetület alapfelülete a Kraszovszkij-ellipszoid, képfelülete
az ellipszoidot az ellipszoidi meridiánok mentén érintı képzeletbeli henger. Az UTM
vetület matematikai szempontból megegyezik a Gauss-Krüger vetülettel, vetítési törvényszerőségei
hasonlók. Magyarországon használt változatának alapfelülete a GPS mérési eredmények
WGS84 vonatkoztatási ellipszoidja, képfelülete pedig nem érinti, hanem metszi az ellipszoidot.
Szelvényezési rendszere mindkét vetületnek olyan, hogy a Föld egységes lefedésére
alkalmas.
Gauss-Krüger vetület
Közép-meridián
S
+ x
Közép-meridián
képe
Szegély-meridián
Egyenlítı
+ y
Vetület
Szegély-meridián
képe
A Gauss-Krüger vetület az 1950-es évektıl kezdve az akkori szocialista rendszer katonai
együttmőködésének térképészeti alapját szolgáltatta azzal, hogy a vetület, mint már utaltunk
rá, kiválóan alkalmas nagy területek egybefüggı, csatlakozó ábrázolására. A volt Szovjetunió
– melynek hatalmas területét az eddig ismertetett vetületekhez hasonló vetületekben ábrázolni
nem lehetett – a Gauss-Krüger vetületet 1946-ban vezette be, majd késıbb használatát a kelet-
59

és közép-európai országokban is kezdeményezte. A hazánk területérıl rendelkezésre álló
1:25000 és 1:50000 méretarányú topográfiai térképek katonai térképek.
A Gauss-Krüger vetület egymáshoz kapcsolódó vetületi rendszerek összessége. A vetítés
minden rendszernél az ellipszoidot kiválasztott ellipszoidi meridiánok mentén érintı - transzverzális
– elhelyezéső ellipszoidi hengerek felületére történik. A hengerek csak képzeletbeliek,
a vetítést rájuk tisztán matematikai megfontolások alapján (vagyis geometriailag nem
szemléltethetıen) hajtják végre, abból a szempontból kiindulva, hogy a vetület szögtartó legyen.
A kiválasztott ellipszoidi meridiánok a közép-meridiánok, az ellipszoidot az ún.
meridiánellipszisek mentén érintik. Ezek képe a Gauss-Krüger vetületi rendszer egyenesként
leképzıdı x tengelye. Az ellipszoidi egyenlítı képe a közép-meridiánra merıleges egyenesként
leképzıdı y tengely.
Az egymással szomszédos vetületi rendszerek alapját az egymáshoz képest ∆λ
szögértékkel
elforgatott helyzető hengerek alkotják. Az egyes rendszerek önálló vetületi sávot képeznek és
a szegély-meridiánok mentén csatlakoznak egymáshoz. Az egyes vetületi sávokon belül a vetületek
törvényszerőségei teljesen megegyeznek, a vetület ezért alkalmas az egész földfelület
egységes rendszerben történı ábrázolására.
Az egyes vetületi sávok szélessége a vetület alkalmazásának céljától, illetve ezen keresztül a
hossztorzulás megengedett mértékétıl függ. Magyarországon a topográfiai térképeknél a
o
o
∆ λ = 6 -os, a nagyobb méretarányú térképezés céljára a ∆ λ = 3 -os sávszélességet állapítottak
meg. A 3 -os sávoknál a hossztorzulás mértéke a sávok szélein 1,8 ⋅ 10 , tehát a megen-
o
−4
1
o
−4
gedett értéket meghaladja. A 6 -os sáv szélén a hossztorzulás mintegy 6,7 ⋅ 10 .
10000
közép-meridián
+x +x +x
Egyenlítı
Egyenlítı
képe
+y
szegély-meridián
A Gauss-Krüger vetületi sávok
1
A hossztorzulás mértéke a közép-meridiántól y ≈ ± 90 km-re éri el az U = értéket, ez
10000
o
o
Magyarországon mindössze 1 ,2 – nak, vagyis 2,4
sávszélességnek felel meg. Az x tengely
mentén – mivel az a közép-meridián képe – hossztorzulás nincs.
A Gauss-Krüger vetület vetületi, ill. inverz vetületi egyenletei bonyolult sorba fejtés eredményei.
Az egyenletekben az ellipszoid paraméterei mellett az egyenlítıtıl számított ellipszoidi
meridiánív B hossza is szerepel (ábra).
60

Közép-meridián
+ x
Közép-meridián képe
B
A’
É
P’
A
x = B
y
P
K
Egyenlítı
K
Egyenlítı képe
+ y
a) b)
D
Vetület
Az x abszcissza értékek az ellipszoidi egyenlítıtıl számított B meridiánív-hosszakkal csak a
közép-meridiánon lévı pontokra egyenlık:
x = B .
A Gauss-Krüger vetület hossztorzulásra és második irányredukcióra vonatkozó összefüggései
hasonlók a ferdetengelyő hengervetületeknél megismert képletekkel.
A hossztorzulás az
1 2
2
U = ⋅ ( y1
+ y1
⋅ y2
+ y2
)
2
6 ⋅ R
k
összefüggésbıl számítható, azzal a különbséggel, hogy a hossztorzulás az ottani x koordináták
helyett az y koordinátáktól függ.
A második irányredukció számítására vonatkozó összefüggésekben a ferdetengelyő hengervetületekhez
képest az x és az y koordináták helyet cserélnek és az elıjelek megváltoznak:
A fenti képletekben
Az
y
k
k
PQ
( xQ
− xP
) + b ⋅ ( yQ
− yP
) ⋅ ( xQ
xP
)
( x − x ) + b ⋅ ( y − y ) ⋅ ( x x )
∆ = −a ⋅ yk ⋅
− ,
∆ = + a ⋅ yk ⋅
− .
QP
a =
Q
ρ′′
P
és
b =
2
2
2 ⋅ Rk
12 ⋅ Rk
és R egy PQ irány két végpontjára érvényes adatok számtani középértékei.
A vetületi meridiánkonvergencia mind az ellipszoidi, mind a vetületi koordinátákból számítható,
az összefüggések sorba fejtés eredményei.
A Gauss-Krüger vetület szelvényhálózata
A Gauss-Krüger vetület szelvényhálózatának alapja az 1:1000000 méretarányú szelvény. A
szelvényeket az Egyenlítıtıl észak felé 4 0 -onként az ABC nagybetőivel, a Greenwich-csel ellentétes
meridiántól 6 0 -onként arab számokkal számozzák (1. ábra).
A 6*4 0 -os nemzetközi sávbeosztásban hazánk a 33. és 34. sorszámú sávokba és az L, ill. az M
rétegekbe esik. A közép-meridiánok ellipszoidi földrajzi szélességei: a 33. számú sávé
0
0
λ = 15 , a 34. számú sávé λ = 21 . A 3 0 -os sávbeosztás közép-meridiánjainak megválasztásánál
célszerő a 3 0 -os sávokhoz alkalmazkodni: az egyes sávok közép-meridiánjainak földraj-
Q
ρ ′′
P
Q
P
61

o o o o
zi hosszúsága nyugatról keletre 15 ,18 ,21 ,24 . Noha hazánk nyugat-keleti irányú kiterjedé-
o
se csak 7 , a nemzetközi sávbeosztásnak megfelelıen a 3 0 -os sávbeosztásnál az említett 4 sáv
szükséges. Ez hátrány az ország területének térképi kezelése szempontjából, ezért a nagyméretarányú
térképezésnél nem honosodott meg.
6 0
M-33
M-34
Szlovákia
Ausztria
Szlovénia
4 0 L-33 L-34
Szerbia
Horvátország
Ukrajna
Románia
52 0
48 0
ϕ
12 0 18 0 24 0
λ
1. ábra: A 6 0 -os nemzetközi sávbeosztás Magyarországon
Az ábrán látható szelvények (pld. az L-34) méretaránya 1:1000000. A szelvények lapmérete
csak a meridiánok mentén változatlan, kelet-nyugati irányban a földrajzi szélesség növekedésének
függvényében csökken. E miatt a Gauss-Krüger vetület alkalmazhatósági határa az
0
Egyenlítıtıl mind északra, mind délre mintegy ϕ = 80 -ra tehetı.
44 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
48 0
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
47 0
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
3 0
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
Φ
2 0 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108
L-34
109
18 0
110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132
133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144
44 0
Λ 21 0 22 0 30’ 24 0
46 0
2. ábra: Az 1:1000000 méretarányú Gauss-Krüger szelvény felosztása
62

15’
47 0 40’
a
b
A
B
47 0 35’
c
d
10’
1
3
a
2
4
C
b
L-34-13
D
47 0 30’
Φ
c
d
18 0 00’ 18 0 07,5’
18 0 15’
Λ
Λ
47 0 20’
18 0 30’
3. ábra: Az 1:100000, 1:50000, 1:25000 és 1:10000 méretarányú Gauss-Krüger szelvények
Az 1:1000000 méretarányú szelvények továbbosztása többféleképpen történhet, az 1:1000000
méretarány után választott következı méretaránynak megfelelıen történik úgy, hogy a lapméretek
ne, vagy csak kevéssé változzanak.
A leggyakrabban – így Magyarországon is – az 1:1000000 méretarányú szelvényt 12*12 =
144 részre osztják és minden egyes így kapott 1:100000 méretarányú szelvényt arab számmal
jelölnek, a 2. ábrán bemutatott módon. Az ábrán sraffozással jelölt 1:100000 méretarányú
szelvény száma L-34-13.
A nagyobb méretarányú szelvények számozása az 1:100000 méretarányú szelvények számozásából
kiindulva történik.
Az 1:50000 méretarányú szelvénylapokhoz az 1:100000 méretarányú szelvény negyedelésével
jutnak és azokat az A, B, C és D nagy betőkkel jelölik, pld. L-34-13-A (3. ábra).
Az 1:25000 méretarányú szelvény az 1:50000 méretarányú szelvény ¼-e. Ezeket a szelvényeket
kis a, b, c, és d betőkkel jelölik, pld. L-34-13-B-d (3. ábra).
Végül, az 1:10000 méretarányú szelvényt az 1:25000 méretarányú szelvénybıl további negyedeléssel
kapják és arab 1, 2, 3 és 4 számokkal jelölik, pld. L-34-13-C-a-1 (3. ábra).
Egy-egy 1:10000 méretarányú lapon mintegy 5km * 5km –es területet ábrázolhatunk, a térképlap
nagysága mintegy 0,5m * 0,5m.
A Gauss-Krüger vetülető térképeket Magyarországon 1966-tól kezdıdıen polgári célokra is
alkalmazták. Az ez évtıl készült térképek jelölése eltér a fentiekben ismertetett nemzetközi jelöléstıl.
Az 1:100000 méretarányú szelvények Magyarországon katonai célra használt nemzetközi
és polgári célú jelölését a 4/a és a 4/b ábrákon mutatjuk be. Az 1:100000 szelvények
továbbosztása hasonló, azzal a különbséggel, hogy betők helyett arab számokat használtak.
Pld. az L - 34 -13 - C - a -1
szelvényszám módosított jelölése 404-311 lett.
A Gauss-Krüger vetülető szelvénylapokat bal és jobb oldalon a meridiánok, felül és alul a szélességi
körök határolják. A földrajzi koordináták térkép alapján történı közelítı meghatározá-
63

sa céljából a térképszelvényen fokbeosztásos keret található, amelyen mind a négy oldalon a
szomszédos szelvények számát is feltüntetik.
M-33
M-34
129 130 131 132 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
141 142 143 144 133 134 135 136 137 138
139 140 141 142
9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
21 22 23 24
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
33 34 35 36 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
45 46 47 48 37 38 40 41 42 43 44 45 46 47
a)
57 58 59 60 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58
69 70 71 72 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
81 82 83 84 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82
L-33 L-34
M-33
M-34
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113
200 201 202 203 204 205 206 207 208 209
210 211 212 213
3
300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313
400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413
b)
500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513
600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613
700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713
800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813
900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913
L-33 L-34
4. ábra: Az 1:100000 méretarányú Gauss-Krüger szelvények nemzetközi és magyar
polgári célú jelölése
A Gauss-Krüger vetülető topográfiai térképeken földrajzi és vetületi koordináta-hálózat is
van. A görbe vonalakból álló földrajzi fokhálózatot a kereten jelölik, a szelvényeken keresztül
nem húzzák meg. A vetületi koordinátahálózat – pld. az 1:10000 méretarányú szelvényeken 1
km-es oldalhosszúságú - , mint minden vetületi síkon, egymásra merıleges egyenesekbıl álló
szabályos rácshálózat. A kerek kilométerértékeket szintén a keretben tüntetik fel.
64

UTM vetület
Az UTM- (Universal Transverse Mercator) vetületet eredetileg az Amerikai Egyesült Államokban
használták, 1950-tıl a NATO államok térképezési vetülete. Hazai jelentısége két okból
is elıtérbe került, egyrészt, mert Magyarország 1999 márciusától a NATO teljes jogú tagja
lett, másrészt, a korszerő, globális helymeghatározó rendszerek (GPS) egyes vevıi lehetıvé
teszik, hogy az UTM-vetületre vonatkozó koordináták is közvetlenül kijelezhetık legyenek. A
Magyar Honvédség Térképész Szolgálata a Gauss-Krüger szelvényezéső térképein már a
NATO-csatlakozás elıtt az UTM szelvényhálózati vonalakat is feltüntette.
É
6 0
1 0 37’14”
1 0 37’14”
A süllyesztett transzverzális ellipszoidi vetület
Az UTM-vetület – a Gauss-Krüger vetülethez hasonlóan – az ellipszoid egyenlítıi elhelyezéső
(transzverzális) szögtartó hengervetülete. A Gauss-Krüger vetülettıl csak abban különbözik,
mint az EOV az érintı ferdetengelyő hengervetületektıl, vagyis az ellipszoidi henger a
meridián-ellipszisnél kisebb mérető és a közép-meridiánra szimmetrikus helyzető két ellipszis
(az ún. normálellipszis) metszi az ellipszoidot. A hossztorzulás értéke ezért nem a középmeridián,
hanem a két normálellipszis mentén zérus, a két normálellipszis között negatív,
azokon kívül pozitív. A Gauss-Krüger vetülethez hasonlóan az UTM-vetület szélsı alkalmazhatósági
határa is mintegy ϕ = 80
0
.
A vetületi egyenletek a Gauss-Krüger vetület megfelelı egyenleteitıl a redukálás mértékében
különböznek. Az UTM vetületnél m = 0, 0
9996 . Így, ha a Gauss-Krüger vetületi egyenletek
általánosságban
y = f ϕ,
λ
x =
alakúak, úgy az UTM vetület egyenletei:
y = m
x = m
0
0
f
y
x
⋅ f
⋅ f
( )
( ϕ,
λ)
y
x
( ϕ,
λ)
( ϕ,
λ)
Hasonlóan módosulnak az inverz vetületi egyenletek is.
A közép-meridiánon lévı pontokra az x vetületi koordináták az ellipszoidi egyenlítıtıl számítva
az alábbi összefüggésbıl fejezhetık ki:
x = m 0
⋅ B .
.
65

ahol B a kérdéses ponthoz tartozó meridiánív hossza, m
0
a redukálás mértéke. Az m
0
elıre
megválasztott konstans érték.
Az UTM-vetületi koordináták úgy is tekinthetık, mint egy m
0
szorzóval kapott kisebb (redukált)
ellipszoid Gauss-Krüger koordinátái, azaz olyan ellipszoidé, amelynek paraméterei az
a
0
= m0
⋅ a,
b0
= m0
⋅ b,
B0
= m0
⋅ B,
N
0
= m0
összefüggésekkel jellemezhetık. Az a
0
a fél nagytengely, b
0
a fél kistengely, B
0
az ellipszoidi
meridiánív, N
0
a harántgörbületi sugár a redukált ellipszoidon.
A hossztorzulás a Gauss-Krüger vetülethez képest a süllyesztés miatt az alábbi képlet szerint
módosul:
1
2
2
U = ⋅ ( y1
+ y1
⋅ y2
+ y2
).
2
6 ⋅ m ⋅ R
0
k
A második irányredukció Gauss-Krüger vetületnél megismert összefüggései az UTMvetületre
akkor érvényesek, ha
a =
ρ ′′
és
b =
ρ′′
2 2
2 2
2 ⋅ m0 ⋅ Rk
12 ⋅ m0
⋅ Rk
A vetületi meridiánkonvergencia a süllyesztés miatt csak a vetületi koordinátákból történı
számításkor módosul.
A normál-ellipszisek földrajzi hosszúsága
A normál-ellipszisek közép-meridiántól számított L E földrajzi hosszúságát az alábbi ábra szerint
kaphatjuk meg. Az ábra a forgási ellipszoidot a pólusok, pld. az északi pólus felıl szemlélteti.
⋅ N
.
Egyenlítı
L E
L E
a
a ⋅ m 0
Az ábra alapján
vagyis
m
a ⋅ m0 = a ⋅ cos L E
,
= cos L E
0
=
0,9996
írható. A fenti összefüggés szerint a normál-ellipszisek a közép-meridiántól az
66

értékkel térnek el.
L 1 o E
= ± 37′
14 ′′
Az UTM-vetület sáv- és rétegbeosztása
6 0 56 0
33U
34U
52 0
Szlovákia
Ausztria
Szlovénia
Szerbia
Horvátország
Ukrajna
Románia
48 0
ϕ
8 0 12 0 18 0 24 0
33T
34T
44 0
λ
180 0 240 0 300 0 0 0 60 0 120 0 180 0
X
72 0 É
W
64 0 É
V
56 0 É
U
48 0 É
T
40 0 É
S
32 0 É
R
24 0 É
Q
16 0 É
P
8 0 É
N 0 0
M
8 0 D
L
16 0 D
K
24 0 D
J
32 0 D
H
40 0 D
G
48 0 D
F
56 0 D
E
64 0 D
D
72 0 D
C
80 0 D
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
40 0
67

0 0
Az UTM vetületben a földfelszínt 6 ⋅ 8 -os trapézokra osztják. A nagy latin betős réteg jelölések
a Déli sarknál kezdıdnek, az egyenlítıtıl északra az elsı réteg jelölése N. E jelöléseknek
megfelelıen hazánk az UTM-vetület 33. és 34. sávjába, valamint a T és U jelöléső rétegekbe
esik. Az ábrán szaggatott vonalakkal a Gauss-Krüger réteghatárokat is berajzoltuk.
0 0
Minden egyes 6 ⋅ 8 -os trapéz száma a 6 0 -os sáv sorszámából és a 8 0 -os réteg betőjelébıl tevıdik
össze, így pld. az ábrán pirossal (sötétítve) jelölt trapéz száma 32N.
0 0
A 6 ⋅ 8 -os trapézokat 100km*100km-es területektıl kezdve 1m*1m kiterjedéső területekig
osztották fel, majd, ezekre alapozva, alakították ki az UTM vetület koordinátaazonosítási
rendszerét.
68

Átszámítások vetületi rendszerek között
Az eddigiekben áttekintettük a magyarországi vetületek sokféleségét, beleértve a Gauss-
Krüger és az UTM vetületet is. Az országhatárok kinyílásával, szabad átjárhatóságával, az Európai
Unióhoz való csatlakozással a vetületi sokféleség még nem merült ki, sıt, a GPS mérésekbıl
levezetett eredmények térbelisége egyidejőleg a magasságok kezelését is lehetıvé teszi.
A GPS mérésekbıl a térben 3 koordinátát kapunk egy, középpontjával a Föld tömegközéppontjába
helyezett (geocentrikus) WGS84 2 vonatkoztatási ellipszoid térbeli, ill. ellipszoidi
földrajzi koordinátarendszerében. A különbözı országok vetületi (és magassági) rendszereinek
összekapcsolása ezen keresztül lehetséges. Egyrészt, két szomszédos ország vetületi (és
magassági) rendszereinek összekapcsolásához a WGS84 vonatkoztatási ellipszoidra való közös
áttérés szükséges, másrészt, az utóbbira átszámított koordinátákról saját térképezési feladatainak
megoldásához mindenkinek át kell térnie a saját vetületi (magassági) rendszerére.
Napjainkban az elektronikus számítás- és mőszeres technika, a számítógépes térképezés, a digitális
rajzgépeken való megjelenítés lehetıségei gyökeresen megváltoztatták és kiterjesztették
a vetületi rendszerek közötti átszámításokhoz való hozzáállásunkat. A hagyományos, elsısorban
a síkban értelmezett eljárásokat felváltották a számítástechnikai szempontból sokáig
nehezen kezelhetı, nagy kiterjedéső földfelületen is alkalmazható, az idıbeni változásokat finomabban
követni tudó térbeli átszámítási módszerek.
Mind a különbözı vetületi rendszerek, mind a GPS mérésekbıl levezetett eredmények és a vetületek
közötti átszámításokat foglalja össze az alábbi séma:
„Inverz” vetületi egyenletek
Vetület 1 (y, x, H)
I.
Térbeli polinomos transzformáció
II.
Vetületi egyenletek
Az ábra jelölései:
Ellipszoidi felületi rendszer 1 (ϕ, λ, h=U+H)
Ellipszoidi térbeli rendszer 1 (X, Y, Z)
Ellipszoidi térbeli rendszer 2 (X’, Y’, Z’)
Sík hasonlósági, polinomos és affin
transzformáció
Ellipszoidi felületi rendszer 2 (ϕ’, λ’, h’)
Vetület 2 (y’, x’, H’=h’-U’)
Átszámítási séma
Térbeli hasonlósági transzformáció
ϕ, λ, ϕ’, λ’ - ellipszoidi felületi koordináták az 1., ill. a 2. rendszerben,
X, Y, Z, X’, Y’, Z’ – ellipszoidi térbeli koordináták az 1., ill. a 2. rendszerben,
h, h’ – ellipszoidi magasságok az 1., ill. a 2. rendszerben,
y, x, y’, x’ – vetületi koordináták az 1., ill. a 2. rendszerben,
H, H’ – tengerszint feletti (geoidi) magasságok az 1., ill. a 2. rendszerben,
2 A követı állomások koordinátáit a WGS84 vonatkoztatási rendszerben adják meg. Mivel a nemzetközi ITRS,
ill. az európai ETRS (ill. ennek jelenleg érvényes realizációjához tartozó EUREF89) rendszer eltérése ettıl csak
néhány cm, a gyakorlati GPS mérések végrehajtása során úgy tekinthetjük, hogy a GPS mérésekbıl levezetett
eredmények a WGS84 ellipszoidra vonatkoznak.
69

U = h − H - geoidunduláció,
I. - ellipszoidi térbeli koordináták számítása ellipszoidi földrajzi koordinátákból,
II. - ellipszoidi felületi koordináták számítása ellipszoidi térbeli koordinátákból.
A h ellipszoid feletti magasság számításához a H tengerszintfeletti magasságból elvileg az U
geoidunduláció, a H’ tengerszint feletti magasság számításához a h’ ellipszoidi magasságból
az U’ geoidunduláció, azaz a geoidmodell ismeretére van szükség. A geoidmodell mintegy
10-15 km-es sugarú körön belüli ún. lokális transzformációknál gyakorlatilag megkerülhetı: a
geoidunduláció figyelmen kívül hagyása a vonatkoztatási rendszerek keveredése miatt ugyan
nem korrekt, de a tapasztalat szerint az így számítható eredmények a gyakorlat szempontjából
elfogadhatók. Nagy terület esetén a geoidmodell elhanyagolása a pontosság rovására megy,
bár az így elérhetı, általában 0,5 m-en belüli pontosság a legtöbb térinformatikai feladat számára
megfelelı.
A térbeli hasonlósági (más néven térbeli Helmert-, vagy 7 paraméteres) transzformációt az ellipszoidi
térbeli rendszerek között használjuk, míg a térbeli polinomos transzformáció elvileg
az ellipszoidi felületi rendszerek között, vagy akár vegyesen is végezhetı. Különbözı vetületek
között közvetlen átszámításra szolgál a sík 4 paraméteres (Helmert-) és a sík polinomos,
valamint utóbbi speciális esete, az affin transzformáció.
Az azonos vonatkoztatási ellipszoidú vetületek (a történelmi Magyarország sztereografikus és
ferdetengelyő hengervetületei, a különbözı kezdı-meridiánú Gauss-Krüger és UTM sávok)
közötti egzakt eljárások a vetületi és az alapfelületi koordináták közötti, az eddigiekben már
megismert átszámítási összefüggésekre („inverz” vetületi egyenletek, vetületi egyenletek)
épülnek. Ezekre alapozva bemutatjuk a szakmatörténetileg is érdekes koordináta-módszert.
Ha két vetület vonatkoztatási ellipszoidja megegyezik, mindig ezt a módszert alkalmazzuk.
Az I. és II. jelő mőveletek képleteit az „Alap- és képfelületek” c. fejezet ellipszoidi paraméterekre
vonatkozó táblázatában foglaltuk össze.
Térbeli hasonlósági transzformáció
Z
Z’
γ
P
Y’
X′
X
Z’
X’
a 0
Z
a
0
c 0
X
β
Y
Y
b
0
Y’
X’
X
α
Eltolt és elforgatott térbeli derékszögő koordinátarendszerek
70

Két ellipszoid egymáshoz képest általánosságban a fenti ábrán ábrázolt módon helyezkedhet
el. Az ellipszoidokhoz tartozó, a térben eltolt és elfordult térbeli derékszögő koordinátarendszerek
egymáshoz képest elfoglalt helyzete 3 eltolási paraméterrel és 3 szögadattal jellemezhetı.
A 7. paraméter a méretarány-tényezı, amelyet rendszerint a különbözı ellipszoidokra
vonatkoztatott távolságmérések különbségei okoznak. Ezen ún. 7 paraméteres transzformáció
(más néven térbeli Helmert transzformáció, vagy Bursa-Wolf modell) során egy térbeli idom
az eredeti koordinátarendszerhez képest eltolt és elfordult helyzető lesz, mérete megváltozik,
de alakja az eredetihez hasonló marad: innen származik a transzformáció elnevezése.
Az ábrán látható vektorháromszögbıl a transzformáció vektoros formában az alábbi:
A vektoregyenlet jelölései:
( + ) ⋅ R X
X′ = a
0
+ 1 κ ⋅ . (1)
⎛ X ′ ⎞
⎜ ⎟
X′
= ⎜Y
′ ⎟ - ellipszoidi térbeli koordináták a 2. rendszerben
⎜ ⎟
⎝ Z ′ ⎠
a
0
⎛a
⎜
= ⎜b
⎜
⎝c
0
0
0
⎞
⎟
⎟ - az 1. rendszer origójának koordinátái a 2. rendszerben (eltolási paraméterek)
⎟
⎠
1 + κ = υ - méretarány-tényezı; κ - méretarány-különbség
⎛ R11
R12
R13
⎞
⎜ ⎟
R = ⎜ R21
R22
R23
⎟ - az α, β, γ elforgatási szögeket tartalmazó ún. forgatómátrix,
⎜ ⎟
⎝ R31
R32
R33
⎠
⎛ X ⎞
⎜ ⎟
X = ⎜Y
⎟ - ellipszoidi térbeli koordináták az 1. rendszerben.
⎜ ⎟
⎝ Z ⎠
Az R forgatómátrix meghatározható 3 tengely körüli egymás utáni síkbeli forgatást kifejezı
forgatómátrix szorzataként. A forgatómátrix elemei a forgatások sorrendjétıl, ill. a forgásirányoktól
függnek. Minden forgatás akkor érvényes, amikor az elızıt már végrehajtottuk. Ekkor
mondjuk, hogy a forgatások „együtt mozgó” koordinátarendszerre vonatkoznak.
A 7 transzformációs paraméter (3 eltolási, 3 szög és a méretarány) meghatározásához mindkét
térbeli derékszögő koordinátarendszerben ismert ún. közös (azonos, illesztı) pontokra van
szükség. A közös pontok koordinátái mindkét rendszerben ismertek, ill. számíthatók. Megválasztásuktól
függ a paraméterek megbízhatósága, ill. végsı soron majd az átszámítás pontossága.
Ezért ezek megválasztásánál rendkívül körültekintıen kell eljárnunk.
A transzformáció könnyebb matematikai kezelhetısége céljából, kihasználva, hogy az elforgatási
szögek kicsik (általában néhány szögmásodperc nagyságrendőek) és méretaránytényezı
az 1-tıl csak csekély mértékben tér el, az (1) vektoregyenletet linearizáljuk.
A 7 paraméter meghatározásához legalább 7 egyenletre van szükség, ez elvileg 2 közös pontot
jelent mindhárom térbeli koordinátájával és 1 pontot valamelyik koordinátájával mindkét
rendszerben. Ez problémát jelent a paraméterek számításában, ezért legalább 3 közös pontra
van szükség, ami összesen 9 egyenletet jelent. A két (vagy több pont esetén több) fölös adat a
gyakorlatban azt jelenti, hogy a paramétereket kiegyenlítéssel kell meghatározni.
71

A kiegyenlítés eredményeként megbecsülhetjük a transzformáció pontosságát is. Ez döntıen a
közös pontok területi kiterjedésétıl függ. Kis kiterjedéső területen végzett ún. lokális transzformáció
– a pontok számától gyakorlatilag függetlenül – mindig pontosabb, mint a nagyobb,
pl. országos viszonylatban végzett transzformáció.
Példa:
Szemléltessük a térbeli hasonlósági transzformáció paramétereit és a súlyegység középhibáját
a WGS84 vonatkoztatási ellipszoid és az Egységes Országos vetület között lokális transzformációval
5 közös pont alapján!
Az 5 közös pont WGS84 ellipszoidi felületi koordinátáit és ellipszoidi magasságait, valamint
EOV koordinátáit és tengerszint feletti magasságait az alábbi táblázat tartalmazza. A koordinátákat
elıször át kell számítani a megfelelı térbeli rendszerbe. Az EOV koordináták esetén
elıször az ellipszoidi felületi koordinátákat kell kiszámítani.
P ϕ WGS84 (fok-pmp)
1 47-28-56,27133
2 47-59-49,26535
3 47-15-20,47635
4 47-47-22,56055
5 47-17-29,75411
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
λ WGS84 (fok-pmp)
19-01-02,25758
19-35-02,48194
18-37-09,29576
19-16-53,48687
19-36-06,57495
h(m) y EOV (m) x EOV (m) H(m)
309,547
419,039
234,660
291,792
270,584
237595,140
294960,670
212491,260
271786,719
216542,440
λ UGG (fok-p-mp)
265,820
375,860
190,518
248,260
227,727
H(m)
647727,410
690046,500
617590,469
667539,245
691930,680
ϕ IUGG (fok-pmp)
47-28-57,23823 19-01-06,30212 265,820
47-59-50,22173 19-35-06,56903 375,860
47-15-21,45419 18-37-13,31653 190,518
47-47-23,52195 19-16-57,55616 248,260
47-17-30,70337 19-36-10,62186 227,727
X WGS84 (m) Y WGS84 (m) Z WGS84 (m) X IUGG (m) Y IUGG (m) Z IUGG (m)
4082824.354
4028867.947
4110020.434
4052449.856
4082930.519
1407207.748
1433349.547
1384712.033
1417680.892
1454012.813
4678396.009
4716965.864
4661276.932
4701406.931
4664012.257
4082762.985
4028806.419
4109959.103
4052388.384
4082869.285
1407276.164
1433417.592
1384780.581
1417749.119
1454081.272
4678400.056
4716969.778
4661281.046
4701410.816
4664016.694
A térbeli hasonlósági transzformációt a WGS84 és az IUGG/1967 ellipszoidok térbeli rendszerei
között kell elvégezni. A számított transzformációs paraméterek az alábbiak:
a 0 (m) b 0 (m) c 0 (m) υ = 1 + κ α β γ
-26,511 109,977 -26,535 0,9999985769587 -1,65269” 1,31253” 0,10560”
Az 5 közös pont alapján végzett kiegyenlítésbıl a súlyegység posteriori középhibája:
Térbeli polinomos transzformáció
µ
0
= ±0,03 m .
A térbeli hasonlósági transzformációtól eltérıen a térbeli polinomos transzformáció nem csak
derékszögő, hanem az átszámítási séma szerinti tetszıleges koordinátahármasok között is végezhetı,
így pld. az ellipszoidi térbeli és a vetületi koordináták, a két ellipszoidi földrajzi,
vagy vegyesen, a földrajzi és a térbeli koordináták között. A polinomos transzformációt az ellipszoidi
térbeli derékszögő koordináták példáján mutatjuk be.
A transzformációs összefüggések az alábbiak:
72

Jelölések:
X ′ = F
Y ′ = G
Z′
= H
( X , Y,
Z )
( X , Y,
Z )
=
=
f −i
f −i−
j
∑∑ ∑
i=
0 j=
0 k=
0
f −i
f −i−
j
∑∑ ∑
i=
0 j=
0 k=
0
f −i
f −i−
j
( X , Y,
Z ) = ∑∑ ∑
f
f
f
i=
0 j=
0 k = 0
a
s
c
s
s
⋅ X
b ⋅ X
X, Y, Z - koordináták az 1. (ellipszoidi térbeli, vagy ellipszoidi felületi) rendszerben;
X’, Y’, Z’ - koordináták a 2. (ellipszoidi térbeli, vagy ellipszoidi felületi) rendszerben;
a s , b s , c s – a polinomok meghatározandó együtthatói (s = 1,2,…t);
f - a polinomok fokszáma.
A polinomok meghatározandó együtthatóinak t számát az alábbi képletbıl kaphatjuk meg:
t
(f+ 1)
⋅(f
=
2
+ 5⋅
f
6
i
⋅ X
⋅Y
⋅Y
i
i
+ 6 )
.
A polinomos transzformációnál az együtthatók számával legalább egyenlı számú közös pontra
van szükség. A t-re felírt összefüggésbıl viszont látszik, hogy a meghatározandó együtthatók
száma a polinom fokszámától függıen gyorsan nı. Ez f = 1 esetén t = 4, f = 2 esetén t =
10, f = 3 esetén t = 20 db együtthatót, ill. közös pontot jelent, tehát még a legalacsonyabb fokszám
esetén is többet, mint a térbeli hasonlósági transzformációnál. A polinom fokszámát következésképpen
mindig körültekintéssel kell meghatározni.
A minimálisan szükségesnél nagyobb számú közös pont esetén az együtthatókat kiegyenlítéssel,
a legkisebb négyzetek elvébıl kiindulva határozzuk meg. A transzformációs összefüggésekbıl
az is következik, hogy e transzformáció típusnál mind a három koordinátát, ill. a 3 koordinátára
vonatkozó súlyegység középhibákat önállóan határozzuk meg. A kiegyenlítés
eredménye mindhárom esetben egy ún. kiegyenlítı felület.
Példa:
A fentiekbıl következik, hogy a térbeli hasonlósági transzformáció példájában szereplı 5 közös
pont csak 1. fokú polinom, vagyis térbeli kiegyenlítı egyenesek fektetését teszi lehetıvé.
Az elsıfokú polinom a s , b s , c s (s = 1,2,3,4) együtthatói és a megfelelı középhibák rendre:
Ssz.
(s)
j
⋅Y
j
j
⋅ Z
⋅ Z
k
⋅ Z
1. fokú polinom (f = 1) Súlyegység
középhibák
a b c
1 -1,08071182179E-10 1,80395805153E-10 -5,18767928029E-14
2 1,85247025439E-02 -2,08951291071E-02 1,00050853217
3 1,35420628719E-02 1,00016352121 -4,41638811E-06
4 1,00014817355 -0,013448934663 1,75251658093E-05
k
k
µ
X ′0
=±0,65 m
µ
Y ′0
=±0,83 m
µ
Z′0
=±0,01 m
A középhibák arra utalnak, hogy ebben a speciális esetben, de kevés közös pont esetén általában,
a polinomos transzformáció nem ad kielégítı eredményt.
Sík hasonlósági transzformáció
Két vetületi koordinátarendszer egymáshoz képest általánosságban az alábbi ábrán ábrázolt
módon helyezkedhet el. A síkban eltolt és elfordult derékszögő koordinátarendszerek egy-
73

máshoz képest elfoglalt helyzete 2 eltolási paraméterrel és 1 szögadattal jellemezhetı. A 4.
paraméter a méretarány-tényezı, amelyet rendszerint a különbözı vetületi rendszerekre vonatkoztatott
távolságmérések különbségei okoznak. Hasonlóan a 7 paraméteres transzformációhoz
– a 4 paraméteres transzformáció (más néven síkbeli Helmert-transzformáció) során
egy síkbeli idom az eredeti koordinátarendszerhez képest eltolt és elfordult helyzető lesz, mérete
megváltozik, de alakja az eredetihez hasonló marad. A síkbeli hasonlósági transzformáció
csak kis, 20-30 km 2 –es területen ad a geodéziai pontosság szempontjából elfogadható eredményt.
+x’
A transzformáció vektoros formában az alábbi:
A vektoregyenlet jelölései:
Sík hasonlósági transzformáció
x′ = a0 + υ ⋅ R ⋅ x .
⎛ x′
⎞
x′
= ⎜ ⎟ - vetületi koordináták a 2. rendszerben
⎝ y′
⎠
a
0
⎛a
=
⎜
⎝b
0
0
y’
+x
ε
x’
b 0
+y
+y
a 0
a 0
− y ⋅sin ε
⎞
⎟ - az 1. rendszer origójának koordinátái a 2. rendszerben (eltolási paraméterek)
⎠
υ - a méretarány-tényezı
y
ε
x
⎛ R11 R ⎞
R =
⎜
⎟ - az ε elforgatási szöget tartalmazó forgatómátrix
⎝ R21
R12
22 ⎠
⎛ x ⎞
x = ⎜ ⎟ - vetületi koordináták az 1. rendszerben.
⎝ y ⎠
Az R forgatómátrix most viszonylag egyszerő:
x
P
x’
⎛cosε
- sinε
⎞
R = ⎜
⎟ .
⎝sinε
cosε
⎠
A vektoregyenletbe helyettesítve, az x’ komponenseire írható (ábra jobboldali része):
+y’
+x’
+x
y’
ε
b 0
a 0
x ⋅ cosε
y
y ⋅ cosε
ε
ε
x
P
x’
x ⋅sin ε
+y’
74

Ezt az egyenletet rendszerint az
x′
= a
0
y′
= b
0
+ υ ⋅ x ⋅ cos ε − υ ⋅ y ⋅sin
ε
+ υ ⋅ x ⋅ sin ε + υ ⋅ y ⋅ cos ε
x′
= a
0
y′
= b
0
+ x ⋅ a − y ⋅ b
+ y ⋅ a + x ⋅ b
alakban írják fel. Az egyenletekben a = υ ⋅ cos ε;
b = υ ⋅ sin ε .
Az a 0 , b 0 , a, b transzformációs paraméterek meghatározásához legalább 2 közös pont szükséges.
Több közös pont esetén a paramétereket a legkisebb négyzetek elve szerint kiegyenlítéssel
határozzák meg.
Példa:
Szemléltessük a sík hasonlósági transzformáció paramétereit és a súlyegység középhibáját a
WGS84 vonatkoztatási ellipszoidról az UTM vetület 18 o – os sávjába átszámított koordinátái
és az Egységes Országos Vetület koordinátái között a térbeli hasonlósági transzformációnál
bemutatott 5 közös pont alapján! Sík transzformáció esetén a magassági adatokat értelemszerően
elhagyjuk.
Pontszám
1
2
3
4
5
76641,290
118166,231
46853,613
95983,221
121114,391
Közös pontok koordinátái
UTM
EOV
x(m) y(m) x’(m) y’(m)
5259263,87 647727,410
5317182,77 690046,500
5233764,36 617590,469
5293710,71 667539,245
5238813,41 691930,680
237595,140
294960,670
212491,260
271786,719
216542,440
Transzformációs paraméterek és a súlyegység középhibája
Paraméterek
a 0 -5021527,607 m
b 0 499925,472 m
a 1.0001702676
b 0,0135282113
υ 1,0002617540
ε 0 o 46′
29,74
′′
A súlyegység
középhibája
µ
0
= ±2,240 m
A közös pontok koordinátáinak nagyságából látszik, hogy azok egy kb. 82 km * 74 km =
6068 km 2 területen helyezkednek el. A középhiba elfogadhatatlan nagysága szemléletesen
mutatja, hogy ekkora területen a sík transzformáció már nem alkalmazható.
Sík polinomos transzformáció
A síkbeli polinomos transzformáció összefüggéseit a térbeli transzformáció speciális eseteként
írhatjuk fel az alábbi alakban:
75

x′
= F
y′
= G
( x,
y)
=
f −i
∑∑
i=
0 j=
0
f −i
( x,
y) = ∑∑
f
f
i=
0 j=
0
Jelölések:
x, y - koordináták az 1. vetületi rendszerben;
x’, y’ - koordináták a 2. vetületi rendszerben;
a k , b k - az átalakító függvények együtthatói (k = 1,2,…t);
f - a polinomok fokszáma;
( f + 1 ) ⋅ ( f + 2)
t =
- az együtthatók (a polinomok tagjainak) száma.
2
Az együtthatók számával itt is legalább egyenlı számú közös pontra van szükség. A meghatározandó
együtthatók száma a polinom fokszámától függıen: f = 1 esetén t = 3, f = 2 esetén t
= 6, stb.
A minimálisan szükséges t - nél nagyobb számú közös pont esetén az együtthatókat kiegyenlítéssel,
a legkisebb négyzetek elvébıl kiindulva határozzuk meg. A fenti összefüggésekbıl – a
térbeli polinomos transzformáció analógiájára - az is következik, hogy e transzformáció típusnál
a két koordinátát önállóan határozzuk meg.
A síkbeli affin transzformáció a síkbeli polinomos transzformáció speciális esete, amikor a
polinomokban az 1-nél magasabb rendő tagokat elhagyjuk, vagyis, mint feljebb, f=1 és t=3.
Az affin transzformáció egyenletei:
Példa:
x′
= F
y′
= G
( x,
y)
=
1
1−i
∑∑
i=
0 j=
0
1
1−i
a
⋅ x
⋅ y
a
b
k
k
⋅ x
⋅ x
= a
i
i
⋅ y
⋅ y
i j
( x,
y) = b ⋅ x ⋅ y = b + b ⋅ x + b ⋅ y
∑∑
i=
0 j=
0
k
k
i
j
0
0
j
j
+ a ⋅ x + a
A térbeli polinomos transzformáció közös pontjainak UTM és EOV koordinátáira végezzük el
a sík polinomos transzformációt is! Magasabb fokú transzformáció itt sem végezhetı.
Sorsz.
(s)
1
1
2
2
⋅ y
1. fokú polinom (f = 1) Súlyegység
középhibák
a
b
1 -1, 05538688E-10 3,317547973E-10
2 0,0135692923 1,0001327940
3 1,0001567609 -1,3458625134E-02
.
µ
x′0
=±0,85 m
µ
y′0
=±1,34 m
Könnyen belátható, hogy ekkora kiterjedéső területen a sík polinomos transzformáció sem ad
elfogadható eredményt.
A közelítı eljárásokat összefoglalva, megállapíthatjuk, hogy elegendı számú és pontosságú
közös pont esetén feltétel nélküli kielégítı eredményt csak a térbeli hasonlósági transzformáció
szolgáltat. Egyes speciális esetekben a polinomos transzformáció is adhat kielégítı, vagy
akár jobb eredményt is, de ez bizonytalansági kockázattal jár.
76

A koordináta-módszer
A koordináta-módszernél az egyik vetületi rendszerben adott vetületi koordinátákat az inverz
vetületi egyenletek felhasználásával alapfelületi (vonatkoztatási ellipszoidi, gömbi) koordinátákká
alakítjuk, majd az így kapott földrajzi koordinátákat a másik vetületre érvényes vetületi
egyenletek segítségével számítjuk át a másik vetületi rendszerbe. A módszer csak akkor szigorú,
ha az alapfelület mindkét vetület esetén megegyezik. Feltétel az is, hogy mindkét vetületi
koordinátarendszert ugyanazon alappont-hálózati mérésekbıl és számításokból definiáljuk,
ellenkezı esetben a két vetület közötti hálózat-elhelyezési eltérések a számítás szigorúságát
befolyásolják. Pld. a budapesti sztereografikus rendszer és az osztrák Gauss-Krüger vetületi
rendszernek ugyanaz az ellipszoidja (a Bessel-ellipszoid), de az osztrák vetületi rendszert
a 19. századbeli osztrák-magyar katonai háromszögelés, a budapesti sztereografikus rendszert
viszont a 20. század elején végzett magyarországi háromszögelés alapozza meg, így a kettı
közötti átszámítás nem lehet szigorú.
A magyarországi vetületeknél szigorú átszámítás csak a budapesti sztereografikus és a három
ferdetengelyő hengervetület, valamint a szomszédos Gauss-Krüger, ill. UTM vetületi sávok
között végezhetı. A ferdetengelyő hengervetületek, valamint a Gauss-Krüger és az UTM vetületi
sávok szélein az átszámítást a mindennapos geodéziai gyakorlati számítások is indokolják.
Ilyen pld. az az eset, amikor egy távolság egyik végpontja az egyik, a másik a másik vetületben,
ill. vetületi sávban helyezkedik el.
A budapesti sztereografikus és a ferdetengelyő hengervetületek a koordináta-módszer alkalmazásának
legtipikusabb példái. Mindkét típusú vetületi rendszernek ugyanaz az ellipszoidja
(a Bessel-ellipszoid), sıt, mint tudjuk, a hengervetületek koordinátarendszereinek x tengelyei
ugyannak az ellipszoidi és gömbi kezdı-meridiánnak képei, így a koordináta-módszer teljesen
szigorú és egzakt összefüggésekre épül. Még egyszerőbb a helyzet a ferdetengelyő hengervetületek
északi, középsı és déli (HÉR, HKR, HDR) rendszerei esetén, hiszen a köztük lévı különbség
csak az, hogy kezdıpontjaik mások ugyanazon a kezdı-meridiánon.
Mivel a sztereografikus és a hengervetületeket ugyanaz a Gauss-gömb kapcsolja össze, elegendı
az egyik vetületrıl a Gauss-gömbre, majd a Gauss-gömbrıl a másik vetületre áttérni,
így megtakaríthatók a Gauss-gömb és a Bessel-ellipszoid közötti átszámítások.
A fenti egyszerő meggondolásokon túl azonban a budapesti sztereografikus és a 3 ferdetengelyő
hengervetület közötti áttérésnek van egy különlegessége. Ezt mutatjuk be a továbbiakban.
A sztereografikus rendszer Gellérthegy kezdıpontjának ellipszoidi földrajzi szélességét és
hosszúságát a második osztrák-magyar katonai felmérés idejének vége felé, a 19. század 60-as
éveiben Bécsbıl vezették le. Az 1863-tól érvényes sztereografikus rendszer Gellérthegy kezdıpontjának
Bessel-ellipszoidi földrajzi koordinátáit 0 ,01′′ élességgel Ledersteger (1947) vezette
le.
E vetületi rendszer elhelyezését a magyar geodéziai önállósodási törekvések következtében a
századunk elején végzett háromszögelés alapján Fasching Antal neves magyar geodéta 3 javaslatára
1908-ban, a magyarországi ferdetengelyő hengervetületek bevezetésével egyidejőleg
módosították.
Ugyancsak Fasching Antal javaslatára a hengervetületi koordináták számításához megváltoztatták
az osztrák-magyar katonai háromszögelésbıl kapott háromszögelési hálózat tájékozását
is oly módon, hogy a Gellérthegy vetületi kezdıpontból kiinduló irányok azimutját, s így
irányszögét is 6 ,44′ -cel csökkentették. Ezért, ha a sztereografikus vetületi koordinátákból
koordináta-módszerrel hengervetületi koordinátákat akarunk számolni, úgy a sztereografikus
3 A róla elnevezett díjat ma Magyarországon évenként 3 neves geodétának ítélik oda.
77

koordinátákat ( y
St
, x
módosítanunk kell:
St
) a Gauss-gömbre való áttérésnél a következı sík-transzformációval
y = y
x = y
St
St
⋅ cos6,44 ′′ − x
⋅sin 6,44′′
+ x
St
St
⋅sin 6,44 ′′
⋅ cos6,44 ′′
Az így kapott y, x koordinátákat helyettesítjük be a ϕ és λ gömbi földrajzi koordináták meghatározására
szolgáló egyenletekbe.
Ha, fordítva, a hengervetületekrıl térünk át a budapesti sztereografikus vetületre, a gömbi
földrajzi koordinátákból kapható y és x koordinátákat még az
(1)
y
x
St
St
= y ⋅ cos6,44 ′′ + x ⋅sin 6,44 ′′
= −y
⋅ sin 6,44′′
+ x ⋅ cos 6,44′′
(2)
inverz transzformációval módosítanunk kell.
Példa:
Számítsuk át a 32-2126 számú pont y = 135762 ,11m és x = 40723,06 m HKR koordinátáit a
sztereografikus rendszerbe! A Gauss-gömb sugara: R = 6378512,966 m , a kezdıpont gömbi
földrajzi szélessége ϕ 47 o K
= 06′
00,00000
′′ .
A segédföldrajzi koordináták, a szögek radiánban számított értékeinek átalakítása után:
⎛
ϕ′
= −⎜
2 ⋅ arctan
⎝
y
λ′
= −
R
A Gauss-gömbi földrajzi koordináták:
ϕ = arcsin
e R x
π ⎞
o
− ⎟ = −0
21′
56,87071′′
,
2
⎠
o
= -1 13′
10,19963 ′′ .
( sinϕ′
⋅ cosϕ
+ cosϕ′
⋅ cos λ′
⋅ sinϕ
)
cosϕ′
⋅ sin λ′
λ = arcsin
cosϕ
K
o
K
= 46 43′
13,20272 ′′
.
o
= -1 46′
44,23001′′
A budapesti sztereografikus vetületi koordináták:
cosϕ
⋅sin
λ
y = −2
⋅ R ⋅
1+
cosϕ
⋅ cos λ ⋅ cosϕ
+ sinϕ
⋅sinϕ
cosϕ
⋅ cos λ ⋅ sinϕ
K
− sinϕ
⋅ cosϕ
K
x = 2 ⋅ R ⋅
1+
cosϕ
⋅ cos λ ⋅ cosϕ
+ sinϕ
⋅ sinϕ
K
K
K
K
= 135769,607 m,
= 78486,438 m .
Az így kapott sztereografikus koordinátákat módosítsuk még a (2) transzformációval:
y
x
St
St
= 135769,607 ⋅ cos 6,44′′
+ 78486,438 ⋅ sin 6,44′′
= 135772,058 m,
= −135769,607
⋅sin 6,44′′
+ 78486,438 ⋅ cos6,44 ′′ = 78482,199 m
.
78

Átszámítás a különbözı közép-meridiánú Gauss-Krüger és UTM vetületi sávok
között
Az átszámítást mind a Gauss-Krüger, mind az UTM vetületnél úgy végezzük, hogy az adott
közép-meridiánra vonatkozó vetületi koordinátákat az inverz vetületi egyenletek útján ellipszoidi
földrajzi koordinátákká alakítjuk, majd a vetületi egyenletek segítségével egy szomszédos
vetületi sávba számítjuk át. A szomszédos sávok Magyarországon a Gauss-Krüger vetület
o o
o
esetén különbözı sávszélességő ( 6 -os, 3 -os, vagy akár 2 -os) és középmeridiánú vetületi
sávok is lehetnek.
Példa:
o
o
Számítsuk át a λ
0
= 15 közép-meridiánú 6 -os Gauss-Krüger vetületi sáv y = 222999,16 m
o
o
és x = 5194897,08 m vetületi koordinátáit a λ0 = 18 -os közép-meridiánú 3 -os vetületi
sávba!
Eredmények:
y = -5801,19 m, x = 5190746,80 m .
79

A Föld alakja
A Föld valódi alakja
A Föld valódi alakjának megismeréséhez mindenekelıtt a nehézségi erı fogalmát kell értelmeznünk.
A nehézségi erı az az erı, amely minden testet a Földhöz vonz. Mérıszáma a szabadon
esı testre ható nehézségi gyorsulás (jele g).
Hagyományos értelemben a nehézségi gyorsulás mértékegysége a gal:
1 gal = 10
Az egységnyi tömegre ható nehézségi erı számértékben megegyezik a nehézségi gyorsulással,
ezért e két fogalom között általában nem tesznek különbséget. Az SI rendszerben a nehézségi
erı egysége az erıegység, N (Newton), átlagos értéke pedig:
-2
m
2
s
⎛ kg ⋅ m ⎞
2
g = 9,81 N ⎜ = 9,81⋅10
⋅ gal ⋅ kg
2
⎟
.
⎝ s ⎠
Feltételezve, hogy Földünk felszíne közelében a kozmikus sugárzásból, illetve a Nap, a Hold,
a bolygók tömegvonzásából adódó erıhatások (árapály) elhanyagolhatók, ill. figyelembe vehetık,
a nyugalomban lévı testre ható nehézségi erıt két erı eredıjeként határozhatjuk meg
(ábra):
g = f + k .
ahol
É
O
ρ
f
g
P
k
f - A Newton-féle tömegvonzás a Föld felszínén lévı valamely
P anyagi pontra:
ω – a P pont szögsebessége, ρ – távolság a forgástengelytıl. m =1 esetén:
k = ω 2 ⋅ ρ .
m ⋅ M
f = G ⋅ , ahol
2
R
−11
2 -2
G = 6,67259
⋅10
N ⋅ m ⋅ kg , vagy m
Newton-féle tömegvonzási állandó,
M – a Föld tömege, R – a Föld sugara, m – a P anyagi
pont tömege.
3 -1 −2
⋅ kg ⋅ s a
k - Föld tengely körüli forgásából származó centrifugális
erı:
2
k = ω ⋅ m ⋅ ρ ,
A nehézségi erıt rendszerint egy O középpontú térbeli derékszögő koordinátarendszerben értelmezik,
amelyben a Z tengely a Föld forgástengelyével egyezik meg, az X és az Y tengelyek
erre és egymásra is merılegesek és az Egyenlítı síkjában helyezkednek el.
A Föld testén belüli rendkívül egyenlıtlen tömegeloszlás következtében a nehézségi erı a
Föld felületén olyan bonyolult törvényszerőségek szerint változik, hogy a nehézségi erı és
egy földfelületi pont között fennálló pontos függvénykapcsolat nem adható meg.
A Föld nehézségi erıterének tanulmányozása jelentısen egyszerősödik, ha bevezetjük a potenciálfüggvény
(vagy egyszerően potenciál) fogalmát. Potenciál alatt azt a függvényt értjük,
80

amelynek tetszıleges irányban vett elsı parciális deriváltja a megfelelı irányba esı nehézségi
erıvel egyenlı.
zenit
Z
W
ds
W+dW
s
g
Vagyis, tetszıleges s irányban általánosan:
ahol W – a nehézségi erı potenciálja.
g s
dW
= ,
ds
A Föld nehézségi erıterének fontos jellemzıi az erıtér erıvonalai, vagy függıvonalai. A függıvonalak
olyan vonalak, amelyeknek tetszıleges pontjaiban húzott érintıi a nehézségi erı
vektorának irányával esnek egybe. A függıvonalak mindig folytonos függvénnyel fejezhetık
ki, az érintık iránya folyamatosan változik.
A függıvonal mellett a nehézségi erıtér fontos jellemzıi a szintfelületek. A szintfelület olyan
felület, amelynek minden pontjában a potenciál egyenlı, vagyis amelynek egyenlete
W
= const.
Különbözı konstans értékek mellett különbözı szintfelületeket kapunk. A konstans nagyságától
függıen a szintfelületek a Föld tömegén kívül, azt metszıen, ill. a Föld tömegén belül helyezkedhetnek
el.
A nehézségi erı iránya a szintfelület minden pontjában a szintfelület normálisának iránya,
vagyis a nehézségi erı vektora a szintfelületre annak minden pontjában merıleges.
A nyugalomban lévı víz felszíne, amelyre csak a nehézségi erı hat, egybeesik a szintfelületek
egyikével. A szintfelületek egyensúlyi felületek, mivel a nehézségi erı szintfelületi tetszıleges
pontbeli érintıje irányába esı komponense zérus, vagyis, semmilyen tangenciális erı nem
keletkezhet, amely a víztömegek mozgását saját felületükön elıidézheti. A nehézségi erınek
azt a szintfelületét, amely a nyílt tengerek nyugalomban lévı felszínével (a középtengerszinttel)
esik egybe, Listing német fizikus 1873-ban geoidnak nevezte el.
A Föld normálalakja
A nehézségi erı potenciálfüggvényét a Föld belsı tömegeloszlása, ill. fizikai alakja ismeretének
hiánya miatt zárt analitikus formában nem tudjuk leírni. A leírásra alkalmas n = ∞ tagszámú
gömbfüggvénysor a valódi potenciálfüggvény helyett egy k. fokú közelítés meghatározását
teszi lehetıvé úgy, ha a gömbfüggvénysor tagjainak összegzését valamely n = k < ∞
véges számnál abbahagyjuk. Ezt a közelítı függvényt a normálpotenciál függvényének (normálpotenciálnak)
nevezzük. Az
81

U k
= const.
összefüggés a k. fokú szintszferoid egyenletserege. Ezekbıl egy, a geoidnak megfelelı
szintszferoid a Föld normálalakja.
A Föld normálalakja, bizonyos határokon belül, mind geometriai, mind fizikai értelemben önkényesen
is megválasztható. Minél alacsonyabb fokú (durvább) a közelítés, annál messzebb
kerülünk a valódi elméleti földalaktól, ennek fejében viszont jóval egyszerőbb a normálalak
matematikai kezelése. A célszerőség azt diktálja, hogy a Föld normálalakjaként olyan forgási
ellipszoidot válasszunk, amelynek M tömege a Föld tömege, kitölti az ellipszoidot és amelynek
kistengelye körül a Föld valódi, állandónak feltételezett szögsebességgel forog. Ekkor ez
az ellipszoid alakú szintfelület, a szintellipszoid (normál ellipszoid) lesz a Föld normálalakja
és külsı potenciálja a normálpotenciál. A szintellipszoid nem valamely szintszferoid közelítı
felülete, hanem ténylegesen ellipszoid alakú szintfelület. Megjegyezzük, hogy a normálpotenciálnak
csak ez az egyetlen szintfelülete ellipszoid alakú, az összes többi külsı szintfelülete az
ellipszoidnál nagyobb lapultságú szintszferoid.
A normál nehézségi erıt γ -val jelöljük. A normál nehézségi erı tetszıleges s irányba esı
komponense:
dU
γ
s = k .
ds
A Föld normálalakját és a normál nehézségi erıteret hét mennyiség határozza meg: a, f, ω,
G ⋅ M γ , γ
p
, U 0 , ahol
,
e
a – az ellipszoid fél nagytengelye (egyenlítıi félátmérıje),
f – az ellipszoid lapultsága,
ω – az ellipszoid forgási szögsebessége,
G ⋅ M - a geocentrikus gravitációs állandó.
γ
e
- normál nehézségi erı az egyenlítın,
γ
p
- normál nehézségi erı a sarkokon,
U 0 - a normálpotenciál értéke a szintellipszoid felületén,
A normál nehézségi erıtér paramétereire a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió (IUGG)
fogalmaz meg ajánlásokat, így az 1967. évi közgyőlésen ajánlott GRS67 rendszer paraméterei
az alábbiak:
a = 6378160 m ,
1
f = ,
298,247
−5 1
ω = 7,292115 ⋅10
,
s
2
3
14 Nm m
G ⋅ M = 3,98603
⋅10
(vagy ) ,
2
kg s
γ = 9 N m
e
,780318 (vagy )
2
kg s
,
β = 0,0053024 ,
*
* A normálpotenciál jelölése nem tévesztendı össze a geoidundulációra eddig alkalmazott U jelöléssel.
82

e
2
7 m
U
0
= 6,263703⋅10
J/kg (vagy ) .
2
s
γ
p
− γ
e
A γ
p
értéke a β = összefüggésbıl határozható meg.
γ
A GPS vonatkoztatási rendszere, a Geodéziai Világrendszer (World Geodetic System =
WGS84) hasonló paraméterei:
a = 6378137 m ,
1
f =
,
298,257223
−5 1
ω = 7,292115 ⋅10
,
s
2
3
14 Nm m
G ⋅ M = 3,986005
⋅10
(vagy ) ,
2
kg s
γ = 9 N m
e
,7803267714 (vagy )
2
kg s
,
γ = 9 N m
p
,8321863685 (vagy )
2
kg s
, 2
7 m
U
0
= 6,263686085
⋅10
J/kg (vagy ) .
2
s
A Föld valódi alakjának meghatározása a normálalak paramétereinek ismeretében, az azoktól
való eltérések meghatározásán keresztül történik.
Az eltéréseket definiáló fogalmak:
T = W −U
- a potenciálzavar,
ξ = Φ −ϕ
η =
( Λ − λ) ⋅ cosϕ
- a meridián és a haránt irányú függıvonal-elhajlások, ahol Φ és Λ a
geoidi, ϕ és λ - az ellipszoidi szélesség, ill. hosszúság,
∆g = g − γ - a nehézségi erı rendellenességei (anomáliái),
N = h − H
* - a geoidunduláció, ahol H - a geoidi (középtengerszint feletti) magasság, h - ellipszoidi
magasság,
A fenti fogalmak, ill. a különbözı magasságfogalmak (ortométeres, normál-, dinamikai magasság)
részletes tárgyalására a Felsıgeodézia tantárgy keretében kerül sor.
* E fejezetben U – val – az elfogadott nemzetközi jelölésnek megfelelıen – a normál nehézségi erı potenciálját
jelöltük. Emiatt – szintén a nemzetközi jelölés szerint - a geoidunduláció jelölése U helyett N lett. Ez nem tévesztendı
össze a forgási ellipszoid harántgörbületi sugarával.
83

Irodalom
A.1. Vetületi Szabályzat az Egységes Országos Vetületi Rendszer alkalmazására. MÉM Országos
Földügyi és Térképészeti Hivatal, Budapest, 1975.
Bácsatyai L.: „Magyarországi vetületek”, tankönyv, Szaktudás Kiadó Ház, Budapest, 2006.
Bácsatyai L.: „Magyarországi vetületek”, elektronikus tankönyv,
http://gevi.emk.nyme.hu/index.php?id=6863
Bácsatyai L.: Geodézia erdı- és környezetmérnököknek. MTA GGKI kiadványa. Geomatikai
Közlemények VI. sz. 2003. Ábrákkal, tárgy- és névmutatóval 325 oldal.
DAT2 – M1 A Magyarországon használt vetületi rendszerek közötti egységes követelmények
és pontosság szerinti transzformáció, kiinduló adatok és számítási program (TRAFO).
Hazay, I.: Földi vetületek. Tankönyv. Akadémiai kiadó, Budapest, 1954.
Magyar szabvány, MSZ 7772-1. Budapest, 1997.
Németh, Gy.: Vetülettan. Fıiskolai jegyzet, Kézirat. Erdészeti és Faipari Egyetem Földmérési
és Földrendezıi Fıiskolai Kar, Székesfehérvár, 1992.
Sárközy F.: Geodézia. Tankönyvkiadó, Budapest, 1984.
Varga, J.: Alaphálózatok I (Vetülettan). BME egyetemi jegyzet. Tankönyvkiadó, Budapest,
1986.
Varga, J.: Vetülettan. BME egyetemi jegyzet. Mőegyetemi Kiadó, Budapest, 1997.
Zakatov, P. Sz.: Kursz viszsej geodezii. Izd. Nedra, Moszkva, 1964.
84

TARTALOMJEGYZÉK
BEVEZETÉS ---------------------------------------------------------------------------------------------- 2
Alapfogalmak --------------------------------------------------------------------------------------------- 4
A vetítés -------------------------------------------------------------------------------------------------- 5
Alap- és képfelületek ------------------------------------------------------------------------------------- 6
A forgási ellipszoid ------------------------------------------------------------------------------------- 6
A gömb --------------------------------------------------------------------------------------------------- 7
A sík ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 9
Vetületi egyenletek ------------------------------------------------------------------------------------ 10
Vetületi torzulások és redukciók --------------------------------------------------------------------- 10
Vetületi torzulások ------------------------------------------------------------------------------------ 11
Lineármodulus -------------------------------------------------------------------------------------- 12
Szögeltérés ------------------------------------------------------------------------------------------- 14
Területi modulus ------------------------------------------------------------------------------------ 16
Az alapfelület ábrázolása a képfelületen -------------------------------------------------------- 17
Torzulási ellipszisek különbözı torzulású vetületekre ---------------------------------------- 19
Torzulási ellipszisek ----------------------------------------------------------------------------------- 19
Vetületek csoportosítása --------------------------------------------------------------------------- 20
Vetületi redukciók ------------------------------------------------------------------------------------- 22
Elsı irány- és szögredukció. Az iránymodulus. ------------------------------------------------ 22
Hossztorzulási tényezı és hosszredukció ------------------------------------------------------- 24
Területtorzulási tényezı és területi redukció --------------------------------------------------- 26
Második irány- és szögredukció ------------------------------------------------------------------ 26
Gömbi szögfölösleg -------------------------------------------------------------------------------- 26
Vetületi meridiánkonvergencia ------------------------------------------------------------------- 28
Magyarország saját vetületei ------------------------------------------------------------------------- 29
A sztereografikus vetület ----------------------------------------------------------------------------- 30
Vetületi egyenletek --------------------------------------------------------------------------------- 31
A sztereografikus vetület redukciói -------------------------------------------------------------- 33
A sztereografikus vetület szelvényhálózatai ---------------------------------------------------- 36
A ferdetengelyő hengervetületek -------------------------------------------------------------------- 38
Vetületi egyenletek --------------------------------------------------------------------------------- 39
A ferdetengelyő hengervetületek redukciói ----------------------------------------------------- 41
A ferdetengelyő hengervetületek szelvényhálózatai ------------------------------------------- 44
Egységes Országos Vetület -------------------------------------------------------------------------- 45
Vetületi egyenletek --------------------------------------------------------------------------------- 46
Az EOV redukciói ---------------------------------------------------------------------------------- 50
Az EOV szelvényhálózata ------------------------------------------------------------------------- 52
Gauss-féle szögtartó gömbi vetület ----------------------------------------------------------------- 55
Vetületi egyenletek --------------------------------------------------------------------------------- 55
Nemzetközi vetületek Magyarországon ------------------------------------------------------------ 59
Gauss-Krüger vetület ---------------------------------------------------------------------------------- 59
85

A Gauss-Krüger vetület szelvényhálózata ------------------------------------------------------ 61
UTM vetület -------------------------------------------------------------------------------------------- 65
A normál-ellipszisek földrajzi hosszúsága ------------------------------------------------------ 66
Az UTM-vetület sáv- és rétegbeosztása --------------------------------------------------------- 67
Átszámítások vetületi rendszerek között ----------------------------------------------------------- 69
Térbeli hasonlósági transzformáció ----------------------------------------------------------------- 70
Térbeli polinomos transzformáció ------------------------------------------------------------------ 72
Sík hasonlósági transzformáció ---------------------------------------------------------------------- 73
Sík polinomos transzformáció ----------------------------------------------------------------------- 75
A koordináta-módszer -------------------------------------------------------------------------------- 77
Átszámítás a különbözı közép-meridiánú Gauss-Krüger és UTM vetületi sávok között 79
A Föld alakja --------------------------------------------------------------------------------------------- 80
A Föld valódi alakja ----------------------------------------------------------------------------------- 80
A Föld normálalakja----------------------------------------------------------------------------------- 81
Irodalom--------------------------------------------------------------------------------------------------- 84
86