A1 teszt 7 A1 teszt (Algebra IX. osztály) 1. Az kifejezés értéke (x y ...

A1 teszt 7
A1 teszt
(Algebra IX. osztály)
2 2
Szeretnünk és ápolnunk kell a tévedést,
mert ő a megismerés anyaöle.
(Nietzsche)
⎛ 2 2
x − y ⎞
1. Az E = ⎜
⎟
⎜ 2 2
⎝x + y ⎠⎟ ⎛ 2xy
⎞
+ ⎜ kifejezés értéke (x, y ∈ )
⎜ 2 2
⎝x + y ⎠⎟
a) 1, ∀xy , ∈ ; b) függ x -től és y -tól; c) csak x -től függ;
2 2
d) csak y -tól függ; e) 1, ha x + y ≠ 0 .
2. A 2x−3 − 4 = 3 egyenlet megoldásainak az összege
a) 6; b) 0 ; c) 3 ; d) − 1 ; e) 8 .
3. A x − 1 + 2x − 6 < 3 egyenlőtlenség megoldáshalmaza az I
intervallum. b− a értéke
a) 1; b) 1
4
7
; c) ; d) ; e) egyéb.
3 3 3
=
(,) a b
4. Ha ( , a
0 0 )
⎧⎪ 5
3 ⎪ 3
x y ⎪
x + y =
⎨
2
⎪
x + y = 65
⎪⎩
3 xy
egyenletrendszer megoldása és
x0 < y , akkor y számjegyeinek összege
0 0
a) 1; b) 8 ; c) 10 ; d) 19 ; e) egyéb.
5. Az ⎪ ⎧ 2
⎪x
+ xy = 10
⎨⎪
egyenletrendszer x > 0 és y > 0 megoldásainak
2
y + xy = 15
⎪⎩
különbsége (abszolút értékben)
a) 1; b) 3 ; c) 4 ; d) 2 ; e) 0 .
2
6. A { x ∈ x + mx + 1−0 } ∩[1, ∞)
halmaz pontosan akkor tartalmaz
legalább egy elemet, ha
a) m ≥ 2 ; b) m ≤− 2 ; c) m ∈− [ 2,2]
; d) m ∈( −∞, −2] ∪[2, ∞)
;
e) egyéb.

8 A1 teszt
⎧−
2
⎪ x + mx + 1, x < 0
7. Az f : → ,
fx ( ) = ⎪
⎨ függvény pontosan akkor
⎪ x + 1, x > 0
⎪⎩
a) injektív, ha m < 0 ; b) szürjektív, ha m < 1 ; c) bijektív, ha m < 0 ;
d) monoton, ha m < 1 ; e) egyéb.
8. Ha f : → ,
fx ( ) = 2x+ 1,
∀x∈ és g : → ,
⎧⎪
2
x , x > 0
gx ( ) = ⎪
⎨ , akkor ( g f) ( − 1) + ( g f)(1)
értéke
⎪⎪⎩ x, x ≤ 0
a) 0 ; b) 2 ; c) − 2 ; d) 3 ; e) egyéb.
4 2
9. Az x −5x − 10 = 0 egyenlet valós megoldásainak száma
a) 0 ; b) 2 ; c) 1; d) 3 ; e) 4 .
10. Határozd meg az m ∈ paraméter értékét, ha az
2
3 3
mx −( m −1) x − m + 1=
0 egyenlet gyökeire x + x = .
1 2 4
1 2
1
a) m = ; b) m = ; c) m = 0 ; d) m = ; e) m = 1.
3 3
2
⎧⎪ − x, x < 0 ⎧− ⎪ x + 1, x < 1
11. Ha fg , : → ,
gx ( ) = ⎪
⎨ és fx ( ) = ⎪
⎨ akkor a
2
⎪ x, x > 0 ⎪
⎪⎩
x , x ≥ 1
⎪⎩
g f függvény
⎧⎪ 1 − x, x < 1
a) ⎪
⎨
;
⎪−x,
x ≥1
⎪⎩
⎧⎪ 1 − x, x < 1
b) ⎪
⎨
;
⎪x,
x ≥ 1
⎪⎩
⎧⎪
⎪ 1 − x, x < 1
⎪
c) ⎪
⎨x
− 1, x = 1 ;
⎪
⎪x, x ≥ 1
⎪⎩
⎧⎪ 1 −x, x ≤1
d) ⎪
⎨
;
⎪x,
x > 1
⎪⎩
e) egyéb.
12. Ha f : → , ⎡ 2x
⎤
fx () = ⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ 1 + x ⎥⎦
akkor az Im f elemeinek
négyzetösszege
a) 1; b) 2 ; c) 10 ; d) 28
; e) egyéb.

A1 teszt 9
13. Az
2
fm() x = mx −(8m − 1) x + 7m − 1,
*
m ∈ parabolacsalád
fixpontjainak száma
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) végtelen sok; e) egyéb.
*
1 1
14. Ha x, y ∈ , akkor az Exy (, ) = x+ y+
+ kifejezés minimuma
+
x y
a) 0 ; b) 2 ; c) 4 ; d) 16 ; e) egyéb.
15. A 3 1− x + x + 2 = 1 egyenlet valós megoldásainak száma
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 3 ; e) 4 .
4x−3
16. Az [ x]
= egyenlet valós megoldásainak száma
2
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) végtelen sok; e) egyéb.
*
1 1 1 1
17. Ha minden n ∈ esetén An ( ) = 1 − + − ... + − és
2 3 2n − 1 2n
1 1 1
Bn ( ) = + + ... + , akkor
n + 1 n + 2 2n
a) A(101) < B (101) ; b) A(101) + B (101) = 1;
c) A(101) = B (101) ;
d) A(101) ⋅ B(101)
= 1;
e) egyéb.
18. Ha az a,,c∈ b számok teljesítik az a − 4b + 3c ≥ 0, b− 4c + 3a ≥ 0
és c− 4a + 3b ≥ 0 egyenlőtlenségeket, akkor
a) a + b + c = 0 ; b) a −b − c = 0 ; c) a = b = c;
d) a + b + c = 3 ;
e) egyéb.
2 2 2
19. Ha x + y + z = 1 és x + y + z
értéke
3 3 3
= 1,
akkor x + y + z − 3xyz
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) xy + yz + zx + 3 ; e) egyéb.
13
20. Az x = racionális szám tizedes ábrázolása
127
a) véges; b) tiszta szakaszos; c) vegyes szakaszos;
d) végtelen de nem periodikus; e) egyéb.

10 A2 teszt
A2 teszt
(Algebra IX. osztály)
Ha nem tanulunk a hibáinkból,
akkor fölöslegesen követtük el őket.
⎧⎪x −1, x ≤ 0
1. Ha f : → , fx ( ) = ⎪
⎨ , akkor f( − 1) + f(1)
értéke
2 ⎪ x , x > 1
⎪⎩
a) 0 ; b) 2 ; c) 1; d) − 1 ; e) egyéb.
2. Hány valós megoldása van az
x + 1 1 2x + 3
− =
x + 2 x + 3 ( x + 2)( x +3)
egyenletnek?
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 3 ; e) egyéb.
3x+ 2
3. A ≤ 2 egyenlőtlenség megoldásainak halmaza
x − 1
a) ( −∞, − 4]
; b) ( −∞, −4] ∪ (1, ∞ ) ; c) [ −4
,1) ;
d) [ −4 , ∞)\{1}
; e) egyéb.
x −m 4. Hány valós megoldása van a
x −m x −2m
+
x −2m
= 1 egyenletnek?
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) végtelen sok; e) 3 .
a + b
a
5. Ha A = és B =
1 + a + b 1+ a
esetén
b
+ , akkor bármely a, b ∈
1+
b
a) A< B; b) A> B; c) A= B ; d) A≤B; e) A≥B. 6. Oldd meg a valós számok halmazában a
egyenletrendszert.
⎧ ⎪
⎨
⎪
⎪⎩
x + y + x − y = 6
2 2
x − y = 8
a) x ∈ {10, 6} ; b) x = 10 ; c) x = 6 ; d) x = −6
; e) egyéb.

A2 teszt 11
⎧− ⎪ x + 2y = 3
7. A ⎪
⎨
egyenletrendszer megoldásaira
2 2 ⎪ x + 2y + xy − 5y
= −1
⎪⎩
a) xy ∈{5, − 1} ; b) xy ∈{ − 5,1} ; c) xy ∈ {5,1} ;
d) xy ∈{ −5, −1}
; e) egyéb.
2
8. Ha x + m x + 1≥0, ∀x∈ , akkor
a) m ∈{ − 2,2} ; b) m ∈− [ 2,2] ; c) m ∈( −1,1)
;
d) m ∈− [ 1,1] ; e) egyéb.
2
9. Ha az f : → ,
fx ( ) = ax+ bx+ cfüggvény
grafikus képének csúcsa
(2, −1)
és a grafikus kép tartalmazza a ( − 1 ,8) és (4 , 3) pontokat, akkor
a + b + c értéke
a) 1; b) 2 ; c) 3 ; d) − 7 ; e) egyéb.
4 2
10. Az f : → ,
fx ( ) = x − 4x+ 3 függvény képe
a) [ −1 , ∞ ) ; b) (0 , ∞ ) ; c) [3 , ∞ ) ; d) [ −2 , ∞)
; e) egyéb.
11. Ha
2
x ∈ x − 5x + m = 0 ∪
2
x ∈ x −( m − 1) x + 4 = 0 = {1, 2, 3, 4} ,
{ } { }
akkor
a) m = 2 ; b) m = 3 ; c) m = 4 ; d) m = 6 ; e) egyéb.
3 3 1
12. Ha A = 2 − 1 és = − 3
3 9
2
+ 3
9
1
B , akkor
9
a) A> B; b) A+ B = 1;
c) A= B ;
2 2
d) A + B = 1 ; e) egyéb.
*
13. Ha x + y + z = 0 és xy , ,z∈ , akkor az
2 2 2 2 2 2 3 3 3
x + y y + z z + x x y z
+ + − − − kifejezés értéke
x + y y + z z + x yz zx xy
2 2
a) x + y + z ; b) xy ; c) x y ;
2
z
3 3 3
+ + z − 3xyz
d) xy + yz + zx ; e) egyéb.
14. Egy gyalogos és egy kerékpáros reggel 8 órakor elindul a 12 km
távolságra levő városba. A kerékpáros 20
percet időzik a városban, azután

12 A2 teszt
visszaindul. Mikor találkozik a gyalogos a kerékpárossal, ha a gyalogos
sebessége 6 km/h és a kerékpárosé 18 km/h?
10 00 20 15
a) 9 ; b) 9 ; c) 9 ; d) 9 ; e) egyéb.
15. Ha az AB C háromszög oldalhosszai teljesítik az
3 3 3
a + b + c
háromszög
= ab( a + b)
−bc(
b + c)
+ ac( a + c)
egyenlőséget, akkor a
a) egyenlő oldalú; b) egyenlő szárú; c) derékszögű;
d) tompaszögű; e) egyéb.
3
16. Az + − 18 = 0
x x egyenlet valós megoldásainak összege
a) 0 ; b) 2 ; c) 3 ; d) 2 ; e) egyéb.
3 3 3
17. A 1 4 1 2 1 3
x +
megoldásainak száma
+ x − = x − 3 + x + 1 egyenlet valós
a) 0 ; b) 1; c) 3 ; d) 2 ; e) egyéb.
2
18. Az fm() x = x −2( m −1)
x + m parabolák csúcsának mértani helye,
amikor m ∈
a) egy egyenes; b) egy parabola két pont kivételével; c) egy félegyenes;
d) egy parabola; e) egyéb.
*
19. Ha n ∈ , akkor
⎡
⎢( ⎣
n +
2
n + 1
⎤ ) ⎥
⎦
+
egyenlő
a) 4 n ; b) 2n + 3; c) 4n1; d) 3n + 2;
e) egyéb.
20. Határozd meg az m ∈ paraméter értékét úgy, hogy az
2 2 2
x + 4y + 3z −2x −12y − 6z
+ m > 0
egyenlőtlenség minden x, y ,z∈ esetén teljesüljön.
a) m ∈[14, ∞ ) ; b) m ∈(13, ∞) ; c) m = 14 ;
d) m ∈(2
37, ∞)
; e) egyéb.

A3 teszt 13
A3 teszt
(Geometria IX. osztály)
Egyetlen ismeret van, a többi csak toldás:
Alattad a föld, fölötted az ég,
benned a létra
(Weöres Sándor)
1. Az M = {(, x y) x + y = 1}
ponthalmaz síkbeli képe
a) egy kör; b) egy négyzet; c) két félegyenes;
d) négy félegyenes; e) egyéb.
2. Az A (3, 0) , B (4,2) és C (0, 4) pontok által meghatározott háromszög köré
írható kör sugara
a) 5; b) 25
5
; c) 4 ; d) ; e) 2 .
4 2
⎛1+ 3⎞
3. A számtengelyen vegyük fel az O (0) , A (1 + 3) , B (2 − 3) , C ⎜
⎟
⎜⎜⎝ 2
⎟
⎠⎟
és D(1)
pontokat. A CO , CA,
CB és CD vektorok közül melyik a
leghosszabb?
a) CO ; b) CA
; c) CB
; d) CD
; e) CO = CA
.
4. Az ABCD rombuszban mA ( )
= 60°
és AB = 1.
Számítsd ki az
AB + AD vektor hosszát.
3
a) 2 3;
b)
2 ; c) 3 ; d) 3 3 ; e) egyéb.
2
5. Az A (2, 3) , B(4, − 5) és C ( −1, −6)
pontok által meghatározott háromszög
kerületének egészrésze
a) 20 ; b) 21 ; c) 24 ; d) 22 ; e) 23 .
6. Ha az O (0, 0) , A (2,1) , Bxy (, ) és C (1, 3) pontok az OA BC
paralelogramma csúcspontjai akkor x ⋅ y értéke
a) 12 ; b) 24 ; c) 16 ; d) 6
; e) 36 .

14 A3 teszt
AM
7. Az M( x , y) pontra = 3 , ahol A és B . Az x értéke
0 0
MB (1, 5) (3, 3) + y 0 0
a) 5; b) 19
;
4
9
c) ;
2
d) ; e)
6
21
4 .
8. Az ABC háromszög csúcsai A (2,1) , B (3,2) és C (1, −3)
. A C -ből
kiinduló oldalfelező hossza
6 3 9
3 10
a) ; b) ; c) ; d)
2 2 2
45
; e) egyéb.
2
9. Az a paraméter milyen értékeire párhuzamos a 2x − 3 y + 1=
0 egyenletű
egyenes az ax + y − 3 = 0 egyenletű egyenessel?
2
3
a) a = 1;
b) a = − ; c) a = −1;
d) a = − ; e) egyéb.
3
2
10. Ha A és B a 2 x + y + 2 = 0 egyenletű egyenes metszéspontjai a
koordinátatengelyekkel, akkor az AB szakasz hossza
a) 3 ; b) 5 ; c) 3 ; d) 2 ; e) egyéb.
11. Adott a d : x 2 1 és a d x egyenletű egyenes.
y − − = 0 : 2 1 0 y + − =
1
2 5
Azon P pontok mértani helye, amelyekre dP ( , d) + dPd ( , ) =
1
2
5
a) egy egyenes; b) két félegyenes; c) négy félegyenes;
d) egy téglalap; e) egyéb.
12. Ha A , és C az AB háromszög BC , és AB oldalának
1 1
felezőpontja, akkor az AA
B C
CA
1
+ BB + CC összeg
1 1 1
AB + BC + AC
a)
; b) 0
2
; c) AB + BC ;
1 1 1 1
d) BA + CB ; e) egyéb.
1 1
13. Az x − 2y = 0,
3x + y − 7 = 0 és 2x + 3 y − 14 = 0 egyenletű
egyenesek által határolt háromszög területe
a) 6; b) 3, 5 ; c) 7 ; d) 3
; e) 5.
2

A3 teszt 15
14. Az AB C háromszög köré írható kör középpontját jelöljük O -val és a
háromszög ortocentrumát H -val. A HA + HB + HC összeg
a) OH
; b) 2
3 HO
; c) 2HO
; d) 3
OH ; e) egyéb.
2
15. Ha ax + by + 12 = 0 a 2 x − y + 5 = 0 egyenletű egyenesnek a
v = 3i
+ 7j -vel való párhuzamos eltolásával kapott egyenes egyenlete, akkor
a + b értéke
a) 3 ; b) 1; c) 5; d) 7 ; e) 2 .
16. Ha G(, x y ) az A (1, 4) , B (2, 3) és C ( −6,2)
pontok által meghatározott
háromszög súlypontja, akkor xy értéke
a) − 14 ; b) − 12 ; c) − 3 ; d) − 27 ; e) egyéb.
17. A P(, xy ) pont egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. A mozgás
pályájának egyenletrendszere x = 2+ 15t
, y = 3−8t (t az időt jelenti). A
pont sebessége
a) 7 ; b) 23 ; c) 17 ; d) 14 ; e) egyéb.
18. Számítsd ki az AD és BC egyenesek szögét, ha A (2, 0) , B (1, 3) ,
C(1, − 3) és D (4, 0) .
a) 30 ° ; b) 45 ° ; c) 60 ° ; d) 90° ; e) egyéb.
19. Azon pontok mértani helye, amelyek egyenlő távolságra vannak a
3x − y = 7 és 3 x − y = −3
egyenletű egyenesektől
a) két egymásra merőleges egyenes; b) két párhuzamos egyenes;
c) egy egyenes; d) három egyenes; e) egyéb.
20. Az AB C egyenlő szárú háromszög AB alapján fekvő szögek 80° -osak.
Az AC száron vegyük fel a D pontot úgy, hogy CD = AB . Az AB D szög
mértéke
a) 30 ° ; b) 45 ° ; c) 60 ° ; d) 50° ; e) 70 °
.

16 A4 teszt
A4 teszt
(Geometria IX. osztály)
Hirdesd az igazságot,
de nem árt, ha néha mosolyogsz közben.
(Hamvas Béla)
1. Az x − 2y + 3 = 0 egyenletű egyenes milyen a ∈ érték esetén
merőleges az ax + y + 2 = 0 egyenletű egyenesre?
1
1
a) a = ; b) b = − ; c) a = −2; d) a = 2 ; e) egyéb.
2
2
2. Az A (2,1) , B (4,2) és C (1, 4) pontok által meghatározott háromszög
területe
7
a) 4, 5 ; b) ; c) 3 ; d) ; e) 5.
2 4
3. A 3x − y = 1,
2x − y = −3 és x − y + 7 = 0 egyenletű egyenesek
a) párhuzamosak; b) összefutóak;
c) egy egyenlő oldalú háromszög oldalainak tartóegyenesei;
d) egy derékszögű háromszög oldalainak tartóegyenesei; e) egyéb.
4. Az ABC háromszög AB és AC oldalán felvesszük az M és N
AM CN 1
pontokat úgy, hogy = = . A BN és CM szakaszok K -ban
MB NA
2
BK
metszik egymást. A arány értéke
KN
a) 2 ; b) 3 ; c) 6; d) 4 ; e) 5.
5. Ha O egy pont az AB CD négyszög síkjában és OA + OC = OB + OD ,
akkor AB CD
a) trapéz;
e) egyéb.
b) téglalap; c) négyzet; d) paralelogramma;
6. Az ABCD négyszögben
O az átlók
OA + OB + OC + OD = 0 . Az AB CD négyszög
metszéspontja és
a) négyzet;
e) trapéz.
b) téglalap; c) rombusz; d) paralelogramma;

A4 teszt 17
7. Az AB CD négyszögben M ∈ (AB)
és N ∈ (CD)
úgy, hogy AM = MB
és CN = ND . Az alábbi egyenl őségek
közül melyik helyes?
a) AD + BC − MN = AB + DC ; b)
AD + BC − MN = BA + CD ;
AD + CB AD + BC DA + CB
c) MN = ; d) MN = ; e) MN = .
2
2
2
8. Ha Mxy (, ) az A (1, 2) , B(2, − 3) és C (4,1) csúcsokkal rendelkező
háromszög köré írható kör középpontja, akkor x + 2y
értéke
1
a) − ;
2
b) 0 ; c) 1; d) 1
;
3
e) egyéb.
9. Számítsd ki az A (1, 2) pontnak a 2x − y + 3 = 0 egyenletű egyenestől való
távolságát.
3 15
6
3 5
20
a) ; b) ; c) ; d) ; e) egyéb.
10 5 5 7
10. Ha y = a x +b az A(0,2)
ponton átmenő v = ( −1,1)
vektorra merőleges
egyenes egyenlete, akkor a + b értéke
a) 2 ; b) 3 ; c) 1; d) − 1 ; e) 0 .
11. Ha M( x , y)
a 2λx + y − 2 λ + 1=
0, λ ∈ egyenes sereg fixpontja,
0 0
akkor x értéke y +
0 0
a) 2 ; b) 1; c) 0 ; d) − 1 ; e) egyéb.
12. Ha PA + PB + PC = 0 , akkor
a) P az ABC háromszög köré írt kör középpontja;
b) P az AB C háromszög súlypontja;
c) P az ABC háromszögbe írt kör középpontja;
d) P lehet az ABC háromszög külső tartományában is; e) egyéb.
13. Az xOy koordionátarendszerben OA = −2i−3j, OB = 4i+ 5jés
OC = 4i−3j. Ha I(,) a b az AB C háromszögbe írható kör középpontja,
akkor a + b értéke
a) 1; b) 1
3
7
6
; c) ; d) ; e)
2 2 4 5 .

18 A4 teszt
14. Az A ( − 1,2) és B (3, −2)
pontokon áthaladó egyenes távolsága az origótól
a) 2 ; b) 2
2
; c) 2 ; d) ; e)
3
15. Az AB C háromszög BC , CA és AB oldalainak felezőpontja rendre az
A (0, − 2)
, B ( 1, 1) és C (2, 4 pont. Az A csúcs koordinátáinak összege
1 1
1 − − ) 1
a) 6; b) − 10 ; c) 0 ; d) 1; e) − 1 .
16. A P(, x y)
pont egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. A mozgás
pályájának egyenletrendszere x = 3−12t és y = − 2+ 5t
(t az idő). A
t = 0 és t = 5 időpillanatok közt megtett út hossza
1
2
a) 42 ; b) 13 ; c) 36 ; d) 65 ; e) 51 .
17. Ha H( x , y ) az A( − 7,7) , B( −14, − 21) és C (14, −7)
pontok által
0 0
meghatározott háromszög ortocentruma, akkor x y értéke
a) − 6 ; b) − 5 ; c) 6; d) 12 ; e) egyéb.
18. Számítsd ki az y − 2x + 3 = 0 és 3 y + x − 2 = 0 egyenletű egyenesek
által bezárt szög mértékét.
a) 30 ° ; b) 45 ° ; c) 60 ° ; d) 90° ; e) egyéb.
19. Azon P pontok mértani helye, amelyek az x + 2y
= 1 és y + 2x =−1
egyenletű egyenesektől egyenlő távolságra vannak
a) egy egyenes; b) két egyenes; c) három egyenes;
d) két félegyenes; e) egyéb.
20. Az ABC háromszögben m( B AC
) = 120°
. Ha A ′ , B′ és C ′ a belső
szögfelezők talppontjai, akkor a B′ A ′ C′
szög mértéke
a) 60 ° ; b) 30 ° ; c) 45 ° ; d) 90° ; e) 120 °
.
0 +
0
1
2 .

A5 teszt 19
A5.teszt
(Trigonometria IX. és X. osztály)
Az okosakkal lehet beszélni.
A bölcsekkel lehet hallgatni.
(Márai Sándor)
1
1. Egy α hegyesszög esetén tg α = . A cos α értéke
2
a) 2
;
5
2 5
b) ;
5
2
c) ;
3
d)
5
;
5
e) egyéb.
⎛π⎞ 2. Ha t ∈ ⎜ , π⎟
⎜⎝ ⎟
2 ⎠⎟és
sint
=
3
, akkor cost értéke
3
a) −
2
;
2
b) 3
;
2
c) −
3
;
3
d) 6
;
3
e) −
6
.
3
3. Ha si n x + siny
=a és cos x + cosy
= b , akkor cos( x + y)
2ab
a) 2 2
a + b
; b) 2ab
2 2
a − b
; c)
2 2
b −a
; d)
2 2
a + b
2 2
b − a
; e) egyéb.
2ab
2π 6π
10π
4. A cos + cos + cos összeg értéke
7 7 7
a) 0 ; b) 1
;
3
1
c) − ;
2
d) 1; e) egyéb.
2+
2
5. A cosx
= egyenlet megoldása
2
a) { } ; b)
2
π
± + kπk ∈
16
{ } ;
2
π
± + kπk ∈
12
c) { } ; d)
( 1) k π
− + kπk ∈
8
{ } ; e) egyéb.
2
π
± + kπk ∈
32
6. A tgx = − 3 egyenlet megoldásainak halmaza
π
a) { − + kπk ∈ } ;
6
π
b) { + kπk ∈ } ; c)
6
{ } ;
2
π
− + kπk ∈
6

20 A5 teszt
⎧⎪ 3
⎫⎪
d) ⎨
⎪− 2arctg + kπk ∈ ⎬
⎪;
e) egyéb.
⎪
⎩ 3
⎪
⎭
2 2
7. A sin x −cos x − cosx = 0 egyenlet megoldásainak halmaza
a) { } ; b)
2
π
± + kπk ∈ { (2k + 1) π k ∈ };
3
c) 4π
kπ
− k ∈
⎪⎩ 3 3 ⎪⎭
⎧⎪ ;
π 2kπ
d) − + k ∈
⎪⎩ 3 3 ⎪⎭
⎫⎪
⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎧ ⎪ ⎫⎪
⎨
⎪
⎬;
⎪ ⎪
e) egyéb.
8. A tgx + ctgx = 2 egyenlet megoldáshalmaza
}
π
a) { ± + kπk ∈
4
; b) { } ;
2
π
+ kπk ∈
4
π kπ
c) + k ∈
⎪⎩8 4 ⎪⎭
⎧⎪ ⎫⎪
⎨⎪
⎬⎪ ;
π
d) { + kπk ∈ }
;
4
e) egyéb.
9. Az arcsi n x < arccosx
egyenlőtlenség megoldásainak halmaza
a) ∅;
⎡ 2 ⎞
b) ⎢−1, ⎟
⎢ 2
⎟;
⎣
⎟⎠
⎡ 1⎞
c) ⎢0, ⎟
⎢⎣ 2⎟⎠
;
⎡ 1⎞
d) ⎢−1, ⎟
⎢⎣ 2⎟⎠
; e) egyéb.
10. A tg1° ⋅ tg2° ⋅ tg 3 ° ⋅... ⋅ tg 89°
szorzat értéke
a) 0 ; b) − 1 ; c) 1; d) 45 ⋅ 89 ; e) egyéb.
π
11. Az arctg( 1 + x) + arctg(1 − x)
= egyenlet megoldásainak száma
4
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 4 ; e) egyéb.
12. Ha a = 2 , b = 3 és ( π
mA ) = , akkor
6
3 2
a) si n B = ;
4
2
b) B
4
−
cos = ; c) c = 4 ;
d) nem létezik ilyen háromszög; e) egyéb.
b + c B + C
13. Ha a = és A = , akkor az AB C háromszög
2
2
a) egyenlő szárú és derékszögű; b) derékszögű; c) egyenlő oldalú;
d) egyenlő szárú vagy derékszögű; e) egyéb.

A5 teszt 21
14. Az AB C háromszögben AB = 7 , BC = 4 , CA = 9 . A háromszög
a) hegyesszögű; b) tompaszögű; c) egyik szöge 36° -os;
d) egyik szöge 72° -os; e) egyéb.
15. Az AB C háromszögben r a beírt kör sugara , R a háromszög köré írt
1 1
kör sugara, h a , h és h a magasságok hossza. Az
b c
+ +
ha h h b c
1 értéke
a) 2
;
R
1
b)
r ; c) a + b + c 3
;
2
r 18
d)
r + h
1
+ h + h
; e) egyéb.
a b c
16. Az AB C háromszögben ( AC 2 2
mA ) = 45°
és = . A értéke
AB 3
tgB
a) 0 ; b) 1; c) 2 ;
2 2
d) ;
3
e) egyéb.
17. Az AB C háromszög oldalainak hossza 3 , 7 és 8 . A háromszög területe
a) 21
2
; b) 12 ; c) 5 2; d) 6 3; e) egyéb.
18. A tg15° értéke
a)
2−2 2
; b) 6
+ 3 6 − 3
; c) ; d) 2+ 3;
e) 2−3. 2
2
19. Az AB C háromszögben b = 7 . Az a⋅ cosC + c⋅cosA
összeg értéke
a) 3 ; b) 49 ; c) 7 ; d) 7
;
4
e) 14 .
20. Az AB C háromszögben AB = c , mA ( )
= 30°
és mB ( )
= 105°
. Az
ABC háromszög területe
2
c (
a)
3 − 1)
;
4
2
c ( 1+ b)
8
3)
;
2
c 3
c) ;
8
2
c (
d)
2 +
4
3)
; e) egyéb.

22 A6 teszt
A6 teszt
(Trigonometria IX. és X. osztály)
Tudni a nem-tudást, ez a legbölcsebb.
(Lao Ce)
1. A B -ben derékszögű ABC háromszög AB befogójának hossza l és
3
sinC = . A BC befogó hossza
a) 5
3
5
l ; b) 3
5
l ; c) 4
3
l ; d) 3
4
8
l ; e) l .
5
⎛3 π ⎞
2. Ha ,2π⎟
3
t ∈ ⎜ ⎜⎝
⎟
2 ⎠⎟és
cos t = , akkor tgt értéke
5
a) 4
;
3
4
b) − ;
5
c) 3
;
4
4
d) − ;
3
e) egyéb.
5π 43π 5π 43π
3. Határozd meg a cos cos − sin sin kifejezés értékét.
7 28 7 28
23π
a) cos ;
28
48π
b) cos ; c)
28
2
;
2
19π
d) cos ;
14
e) egyéb.
4. Ha 1 2
a)
5. A
t , t
⎛π⎞ ∈ ⎜ , π⎟
4
⎜⎝ ⎟
2 ⎠⎟,
cost
= − és si nt
=
1
2
5
1
, akkor cos( t − t ) értéke
1 2
2
3 2
;
5
2
b) − ;
10
7 2
c) ;
10
2
d) ;
10
e) egyéb.
3
sin x = − egyenlet megoldásainak halmaza
2
; b)
2
π
± + kπk ∈
6
{ } ;
2
π
± + kπk ∈
3
; d)
( 1) k π
k+
1 π
− + kπk ∈
3
{ ( − 1) + kπk ∈ }
; e) egyéb.
3
a) { }
c) { }
2
6. A 2 cos x − sin 2x + sin x + cosx = 1 egyenlet megoldáshalmaza
π
a) { + 2kπk
∈ } ; b)
2
{ } ;
2
π
+ kπk ∈
3

A6 teszt 23
c) { } ; d)
2
π
− + kπk ∈
3
{ } ; e) egyéb.
2
π
± + kπk ∈
3
2
7. A ctg x = −1
egyenlet megoldásainak halmaza
⎧⎪ a) ⎪
⎨
⎪
⎪⎩ (4k + 3) π ⎫⎪
k ∈ ⎪
⎬;
4 ⎪
⎪⎭
⎧⎪ b) ⎪
⎨± ⎪
⎪⎩ (4k + 3) π ⎫⎪
k ∈ ⎪
⎬;
4 ⎪
⎪⎭
⎧⎪ c) ⎪
⎨
⎪
⎪⎩ (4k + 3) π ⎫⎪
k ∈ ⎪
⎬;
4 ⎪
⎪⎭
⎧⎪ d) ⎪
⎨± ⎪
⎪⎩ (4k + 3) π ⎫⎪
k ∈ ⎪
⎬; e) egyéb.
4 ⎪
⎪⎭
8. Az arcsi n(1 − x)
< arcsin 2x
egyenlőtlenség megoldásainak halmaza
⎡1
1⎤
a) ⎢ , ⎥;
⎢⎣3 2⎥⎦
1 1
b) ,
3 2 ⎥ ⎛ ⎤
⎜
⎜⎝
;
⎥⎦
⎡ 1 1⎤
c) ⎢− , ⎥ ;
⎢⎣ 2 2⎥⎦
⎡ 1⎤
d) ⎢0, ⎥ ;
⎢⎣ 2⎥⎦
e) egyéb.
2 2
9. Az A= cos 6x + sin 5x + sin x ⋅ sin11x
kifejezés értéke
a) 1−s in11x;
b) 1+ s in11x;
c) cos 12x ;
d) nem függ x -től; e) egyéb.
10. A cos 6° ⋅ cos 66° ⋅ cos 42° ⋅ cos 78°
szorzat értéke
a) 1
;
32
1
b) ;
16
1
c) ;
8
1
d) ;
12
e) egyéb.
11. A
száma
tgx + ctgx = sin x + cos x , x ∈ [0,2 π]
egyenlet megoldásainak
a) végtelen sok; b) 4 ; c) 2 ; d) 1; e) 0 .
5
12. Az AB C háromszögben a = 10 , b = 7 és C = arccos . A c oldal
7
hossza
a) 7 ; b) 10 ; c) 15 ; d) 12 ; e) egyéb.
13. Az ABC háromszögben a = 2 , b = 2 és
sin( C − 45°
) értéke
a) 1
3
; b) ; c)
2 2
mB ( )
= 45°
. A
1
− ; d)
2
2
; e) egyéb.
2

24 A6 teszt
14. Az ABC háromszög oldalainak hossza AB = 4 , BC = 5 és CA = 7 .
Ha BD belső szögfelező ( D ∈ AC ), akkor AD − DC értéke
a) 7
8
21
1
3
; b) ; c) ; d) ; e)
9 11 23 7 7 .
+ + C
15. Az AB C háromszögben az
2 2 2
E = sin A+ sin B + sin C − 2 cosAcosBcosC kifejezés értéke
a)
cos A
3
cos B cos
; b) 3 ; c) − 1 ;
2 2
d) 2 cos A+ cos B + cos
2C
; e) egyéb.
( )
16. Az ABC háromszögben AB = 4 , AC = 5 és BC = 7 . Ha M ∈ ( BC)
úgy, hogy BM = 3 , akkor AM hossza
a) 8 ; b) 55 65
73
; c) ; d) ; e) egyéb.
7 7 7
17. Az ABC háromszögben AB = 1,
AC = 2 és mA ( )
= 120°
. A BC
oldal hossza
a) 3+ 2 ; b) 2+ 2 ; c) 2 ; d) 2 2+ 2 ; e) egyéb.
π
18. A tg értéke
8
a)
2+ 2
2
; b) 2−2
2−2 ; c) ; d)
2
2
19. Az ABC háromszögben
háromszög területe
2 2
a) b ; b) b 3 ; c)
2+ 2
2
; e) egyéb.
mA ( )
= 60°
, mC ( )
= 45°
és AC = b . A
b
2 3
2
2
; d) 2b ; e) egyéb.
20. A
2
1− x
3
= 4x
− 3x egyenlet valós megoldásainak száma
a) végtelen sok; b) 2 ; c) 3 ; d) 1; e) egyéb.

A7 teszt 25
A7 teszt
(Összefoglaló feladatok, IX. osztály)
Când nu te poţi izbăvi de tine însuţi, te delectezi chinuindu-te.
(Emil Cioran)
E = 4 −3− 8
+
9
3
−
8
1
7 −
9
0, 375 +
7
46 kifejezés értéke
8
3 a) − 3 3;
b) 0 ; 3 c) − 7 3 ;
5 3 d) − 3 ;
2
e) egyéb.
3 1. Az 3 3 3 3
3
2 2
2. Az x + (2m + 3) x + m + m + 1 = 0 egyenletnek ( m ∈ )
pontosan
akkor van
⎛ 5 ⎞
a) két valós gyöke, ha m ∈ ⎜
⎜− , ∞⎟⎟
⎜⎝ 8 ⎠⎟;
1 2
b) két ellentétes előjelű valós gyöke, ha m ,
2 3
⎛ ⎞ ∈ ⎜ ⎟
⎜⎝ ⎠ ⎟ ;
⎛1 1⎞
c) két pozitív gyöke, ha m ∈ ⎜ , ⎟
⎜⎝3 2⎠⎟;
d) két olyan gyöke, amelyek szorzata 1, ha m = 0 ; e) egyéb.
3. Ha y = a x +b annak az egyenesnek az egyenlete, amely áthalad az A (1, 2)
ponton és párhuzamos a v(1, 3) vektorral, akkor a értéke
+ b
a) 4 ; b) 2 ; c) 0 ; d) 1; e) egyéb.
4. Az AB C háromszög oldaegyeneseinek egyenlete AB : x − y + 1=
0,
BC :2x + y − 2= 0 és CA : y + 2 = 0.
A háromszög súlypontjának
abszcisszája
1
2
2
a) − ; b) − ; c) − ; d) − 1 ; e) egyéb.
9
3
9
5. Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a v = a i + b
1 1 1
j
v = a i + b j vektorok merőlegesek legyenek?
2 2 2
a) aa + bb = ; b) ab + ab = 0;
c) ab + ab = 0;
1 1 2 2 1 2 2 1
1 2 1 2 0
d) ab − ab =
; e) egyéb.
1 1 2 2 0
és

26 A7 teszt
6. Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a v = a i + b
1 1 1
j és
v = a i + b j vektorok kollineárisak legyenek?
2 2 2
a) aa + bb = ; b) ab + ab = 0;
c) ab − ab = 0 ;
1 1 2 2 1 2 2 1
1 2 1 2 0
d) ab − ab = ; e) egyéb.
1 1 2 2 0
2
7. A Px −∆ x + S = 0 egyenlet gyökeinek összege S , szorzata P és az
egyenlet diszkriminánsa ∆ . Számítsd ki a P ⋅ S szorzat értékét.
a) 5; b) 3 3 3 25 ; c) 5 5;
d) 5 ; e) egyéb.
8. A 2x −
3 2
x + 2x − 3x
= 0 egyenlet megoldásainak száma
a) 1; b) 2 ; c) 3 ; d) 0 ; e) egyéb.
2
*
9. Az fm() x = mx − mx + 1,
m ∈ parabolacsalád csúcsa pontosan akkor
van az Ox tengely alatt, ha
a) m ∈( 4, ∞ ) ; b) m ∈(2, ∞ ) ; c) m ∈( −∞,4]
;
d) m ∈− [ 4, 2)
; e) egyéb.
10. Ha a
akkor
22 −x − 10 − x > 2 egyenlőtlenség megoldáshalmaza M ,
a) M egy 4 egység hosszúságú intervallum;
b) M két diszjunkt intervallum egyesítése;
c) M két diszjunkt intervallum metszete;
d) M egy 6 egység hosszúságú intervallum; e) egyéb.
11. A
2
3x + mx − 22 = 0 és
2
x − ( m + 4) x + 14 = 0 egyenleteknek
pontosan akkor van közös gyöke, ha m ∈ A.
Az A halmaz elemeinek összege
a) 12 ; b) − 14 ; c) − 5 ; d) 8 ; e) egyéb.
1 3
12. Az − kifejezés értéke
sin10° cos10°
a) 1; b) 4 ; c) − 2 ; d) 7 ; e) egyéb.
13. Az a , b és c hegyesszögek tangense rendre 1 1 1
, és . Az a + b + c
2 5 8
szög mértéke
a) 30 ° ; b) 60 ° ; c) 45 ° ; d) 90°
; e) egyéb.

A7 teszt 27
14. A
2 x
si n x ⋅ tg x + tg = 0
2
egyenlet
⎡π 3π⎤
⎢ , ⎥
⎢⎣ 2 2 ⎥⎦
intervallumba eső
megoldásainak száma
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 3 ; e) egyéb.
2
15. Ha az x + m ( m − 1) x + 36
trinom behelyettesítési értéke teljes négyzet
bármely x ∈ esetén, akkor
a) m ∈{1, −3, 4} ; b) m = −3; c) m = 4 ; d) m ∉ ; e) egyéb.
2
16. Az ( x + y) = ( x + 1)( y − 1) egyenlet valós megoldásainak száma
a) végtelen sok; b) 1; c) 2 ; d) 0 ; e) egyéb.
2 2
b c
17. Ha az ABC háromszögben + = 4T
, akkor a háromszög
tgB tgC
a) egyenlő szárú; b) egyenlő szárú és derékszögű; c) derékszögű;
d) egyenlő oldalú; e) egyéb.
18. Az arcsin
5 3 10
+ arccos összeg értéke
5 10
π
a) ;
3
π
b) ;
8
2π
c) ;
3
π
d) ;
4
π
e) .
2
19. Az AB C háromszögben M ∈ ( BC)
, N ∈ ( CA)
és P ∈ (AB)
úgy, hogy
BM CN AP
= = = k .
MC NA PB
a) a z ABC és háromszögek súlypontja nem esik egybe;
∅
MNP
b) AM + BN + CP ≠ 0 ; c) AM ∩BN∩CP ≠ ;
2
k − k + 1
d) az MN P és AB C háromszögek területének aránya ; 2
( k + 1)
e) egyéb.
⎧⎪ 20. Az ⎪ z
⎨x ∈ x = , z ∈ ,
z
⎪
⎪⎩ ( z + 6)( z + 5)
⎫⎪
≤ 45⎪
⎬ halmaz elemeinek száma
⎪
⎪⎭
a) 90 ; b) 82 ; c) 89 ; d) 80
; e) egyéb.

28 A8 teszt
A8 teszt
(Algebra X. osztály)
1. Ha log x = 10 , akkor x értéke
2
A véleményeken nem múlik semmi,
akár jók, akár rosszak, akár bölcsek, akár ostobák,
bárki el is fogadhatja őket, el is vetheti őket
(Hermann Hesse)
a) 100 ; b) 1024 ; c) 10 ; d) 10 2 ; e) egyéb.
3
2. Ha x = log 32 és y = log ( 2 − 1) , akkor log ( y − 3 x)
értéke
1
2
1+ 2
a) 1; b) log ; c) log ; d) ; e) egyéb.
2 3 8 2
3
3. Az x = lg2 szám
2
2
a) racionális és 12 x − 7x + 1 > 0;
b) irracionális és 12 x − 7x + 1 > 0;
2
2
c) racionális és 12 x − 7x + 1 < 0;
d) irracionális és 12 x − 7x + 1 < 0;
e) egyéb.
⎧ 3
⎪ x + x <
= ⎪
⎨ 2 ⎪x x ≥
1, 0
4. Az f : → ,
fx ( )
⎪⎩
,
függvény
0
a) injektív; b) monoton; c) konkáv; d) szürjektív; e) egyéb.
x
5. Az f :(0, ∞) → , fx () = a − lnxfüggvény
a) a ∈ (0,1) esetén konvex; b) növekvő; c) nem szürjektív;
d) nem injektív; e) egyéb.
6. Ha A log 4 és B = log 3 , akkor
= 3
2
a) A+ B < 0 ; b) A< B; c) A= B ; d) A> B;
e) egyéb.
⎛ 2ab
⎞ ⎛ ab
7. Ha a, b ∈ (0,1)
, akkor a ⎜ ⎟
a log ⎜
2 ⎞⎟⎠
log ⎜ ⎟+
b
⎝
⎜
a + b⎟⎠ ⎜
kifejezés minimuma
⎝a
+ b
a) 0 ; b) 1; c) 2 ;
a + b
d) ;
2
e) egyéb.
x
8. Az x = −1
egyenlet valós gyökeinek száma
2

A8 teszt 29
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 3 ; e) végtelen.
9. A P = lg(tg13 ° ) ⋅ lg(tg14 ° ) ⋅... ⋅ lg(tg 76 ° ) ⋅ lg(tg 77 ° ) szorzat értéke
a) 1; b) 0 ; c) − 1 ; d)
1
; e) egyéb.
1848
x
10. A 4
x
−9⋅ 2 + 8 = 0 egyenlet megoldásainak összege
a) 2 ; b) 3 ; c) − 2 ; d) 4 ; e) egyéb.
x x
x
11. A 27 + 12 = 2 ⋅ 8 egyenlet valós megoldásainak száma
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 3 ; e) egyéb.
2x
x
12. Ha ( m − 2 ) e + 2(2m − 3) e + m − 2>
0, ∀x∈ , akkor
⎛ 5⎞
a) m ∈[ 2, ∞)
; b) m ∈ ⎜ 1, ⎟
⎜⎝ 3
⎟;
c) m ∈ (1, 2]
; d) m ∈( 1, ∞)
; e) egyéb.
⎠
13. Ha (, ) a
ab log ( log 6 − x ) > 0 egyenlőtlenség megoldásainak
1 6
6
halmaza, akkor b −a
értéke
a) 35 ; b) 32 ; c) 36 ; d) 38 ; e) egyéb.
14. Az ( a ) számtani haladványban a + a = 42 és a − a = 21 . A
≥ 1 7 10 3
n n
1
haladvány 13 -adik tagja
a) 13 ; b) 27 ; c) 72 ; d) 48 ; e) egyéb.
15. A ( b ) mértani haladványban b − b = 40 és b − b = 12 . A
≥ 5 1 4 2
n n
1
haladvány első tagjának és kvóciensének összege
a) 4 ; b) ∈ \ ;
c)
242
− ; d) ∈ \ ;
e) egyéb.
3
101
k
16. Az S = ∑ összeg értéke
k=
1 ( k + 1) !
a) 1
;
101!
1
1
b) 1 + ; c) 1 − ; d)
102! 101!
100!
;
101!
e) egyéb.
17. Az { 1,3,5,7}
halmaz összes 3 -ad rendű variációjában kiszámítjuk az
elemek összegét és ezeket az összegeket összeadjuk. Az eredmény

30 A8 teszt
a) 975 ; b) 876 ; c) 1001; d) 900 ; e) egyéb.
18. Az 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyek segítségével hány olyan háromjegyű szám
írható le, amelyben a számjegyek páronként különböznek és növekvő
sorrendben vannak?
3
3
a) 3 ; b) V ; c) C ; d) 2 ; e) egyéb.
6
n+
1
n
19. Ha az f = nX − ( n + 1) X +1 polinom osztható ( 1) -nal, akkor
k
X −
a) k = 1;
e) egyéb.
b) k ≤ 2 ; c) k = 3 ;
2
d) k = n − 3n + 4;
20. Három különböző kockával egyszerre dobunk. Mennyi a valószínűsége
annak, hogy az egyik eredmény a másik kettő összege?
a) 17
5
1
47
; b) ; c) ; d) ; e) egyéb.
36 24 6 216
6

A9 teszt 31
A9 teszt
(Algebra X. osztály)
)
1. Ha ( 1 2 , akkor x értéke
x
+ = 3
3
a) (1 + 2) ; b) (1 2)
3 + log ; c)
d) 3 1+ 2 ; e) egyéb.
A formátlan, a véghetetlen.
Belepusztulok, míg mondatomat
a végtelenből elrekesztem.
(Nemes Nagy Ágnes)
1 2 3 log ;
+
1 2 3 99
2. A lg + lg + lg + ... + lg összeg értéke
2 3 4 100
1
a) lg ;
11
b) lg 11; c) − 2 ;
50!
d) lg ;
100!
e) egyéb.
3. Az f : → ,
fx () =
x x
3 + 5
x
2
, ∀x∈ függvény
a) szigorúan növekvő; b) szigorúan csökkenő;
c) nem monoton; d) bijektív; e) konkáv.
4. A g : D → ,
gx = x − x+
függvény (D maximális
2
( ) log 4 5
2
értelmezési tartomány)
a) csak pozitív értékeket vehet fel; b) monoton; c) bijektív; d) konvex;
e) képe [ −1, ∞).
ln x ⋅ lny
5. Ha x, y > 1 és E = , akkor
2
ln ( x + y)
a) E < 1 ; b) E > 2 ; c) E ∈ (1, 2) ; d) E = 2 ; e) egyéb.
6. Az x = log 1001 szám egészrésze
2
a) 11; b) 9; c) − 3 ; d) 12 ; e) egyéb.
7. Ha log 30 a és log , akkor értéke
6 = 24 b
15 = log 60
12

32 A9 teszt
2ab − 2a+
1
a) ;
ab − b + 1
2ab + 2a+
1
b) ;
ab + b + 1
2ab + 2a+
1
c) ;
ab − b + 1
2ab + 2a−1
d) ;
ab + b + 1
e) egyéb.
x x
5+ 2 6 + 5− 2 6 = 10
8. Az ( ) ( )
x y
x y
9. Ha 2 ⋅ 3 = 36 és 2 + 3 = 13,
akkor x ⋅ y értéke
3
egyenlet megoldásainak
négyzetösszege
a) 10 ; b) 13 ; c) 5; d) 7 ; e) 8 .
a) log 3 ⋅ log 4 ; b) 4 ; c)
2
1
2
; d) log 3 ; e) egyéb.
2
x
10. A 4
2x
−2⋅ 5 < 10 egyenlőtlenség megoldáshalmaza
x
⎛ ⎞
a)
⎜
−∞, −log 2⎟
⎛ 2 ⎞
2
⎜⎝
⎜
; b) ⎜log
, ∞⎟ 2
⎠⎟⎜⎝
5 ⎟ ;
⎠
⎛ ⎞
c)
⎜
log 2, ∞⎟ 2
⎜⎝
⎜ ;
⎠⎟
5
⎛ 2 ⎞
d) ⎜−log
, ⎟
⎜⎝
∞ 2
5 ⎟ ; e) egyéb.
⎠
11. Az { 1,3,5,7,9} halmaz 3 -ad rendű kombinációiban kiszámítjuk az
elemek összegét. A kapott összegek összege
a) 900 ; b) 300 ; c) 150 ; d) 75 ; e) egyéb.
10
12. Az S = k ⋅ k!
összeg értéke
∑
k=
1
a) 10 ⋅ 11! ; b) 10 ! ; c) 11 ! − 1;
d) 11 ⋅ 11! ; e) egyéb.
13. Az ( an ) számtani haladványban a + a + a + a = 448 . Az S
n≥1
1 8 12 19 19
értéke
a) 1064 ; b) 2128 ; c) 1024 ; d) 512 ; e) egyéb.
S
14. A ( bn ) mértani haladványban S = 33S
. Az
n≥1
10
5
S
12
6
5
tört értéke
a) 24 ; b) 33 ; c) 5⋅1 3;
d) 16 ; e) egyéb.

A9 teszt 33
15. A
⎛ x y ⎞
⎜
+ ⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 3 y x ⎠
17
binom kifejtésének hányadik tagja tartalmazza x és
y azonos hatványát?
a) 6; b) 7 ; c) 8 ; d) 9 ; e) egyéb.
x
16. Az x + 2 + log x = 12 egyenlet valós gyökeinek száma
3
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 3 ; e) 4 .
1
x
17. Ha M a 9 + 9x= 18
egyenlet megoldásainak halmaza, akkor
a) M ∩ = ∅;
b) M ∩ = {1} ; c) M = 2 ;
d) M = 4 ; e) egyéb.
⎛ k ⎞
⎜
⎟
18. Az X ⎜ ⎟
⎜ 1 ⎟ k
C
⎟
, k = 0, n valószínűségi változó várható értéke
⎜
⎜⎜⎝ ⎟ n n
2 ⎠⎟
a) 1
2 ; b) n ; c) n
;
2
d) 2n ; e) egyéb.
4
19. Az f = X
3 2
3 2
+ 4X + 4X
+ m és g = X + X − X + n polinomok
legnagyobb közös osztójának pontosan akkor van duplagyöke, ha
a) m = n = 1;
b) m = n =−1; c) m = n =−2;
d) m = n = 2 ; e) m = 1 és n = 2 .
20. Ha f ∈ [ X]
, f (1) = 5 és f (3) = 8 , akkor
a) gr f ≤ 1;
7
b) f 0
3
⎛ ⎞ ⎜− ⎜
⎟
⎜⎝
⎟ = ;
⎠
13
c) f (2) = ;
2
d) f ∉ [
X]
; e) egyéb.

34 A10 teszt
A 10 teszt
(Komplex számok)
6 6
Az okoskodás művészete teszi lehetővé
az ember számára, hogy becsapja magát…
(Antoine de Saint-Exupéry)
⎛
1. ⎜
⎝⎜ 3 −i⎞ ⎟
2
⎟
⎠⎟ ⎛
⎜−
+ ⎜
⎝ ⎜
3 + i⎞
⎟
2
⎟ értéke
⎠⎟
a) 4 ; b) − 1 ; c) 0 ; d) − 2 ; e) egyéb.
2. A z = − 1+
i 3 komplex szám redukált argumentuma
π
a) ;
3
π
b) − ;
3
c) 2π
;
3
2π
d) − ;
3
e) egyéb.
*
⎛ 1
3. Az f : → ,
fn ( ) = ⎜
⎜⎜⎝ −
2
n
i ⎞
⎟
2⎠⎟
függvény főperiódusa
a) 0 ; b) 4 ; c) 8 ; d) 16 ; e) 36 .
2
4. A z − (2 + 3 i ) z −(5 − i)
= 0 egyenlet gyökei
a) { − 1 ± i}
; b) {3 − 2 i,1
+ i}
; c) {3 + 2 i, −1 −i}
;
d) {3 −2 i,
− 1 + i}
; e) egyéb.
5. A z − i = 1 egyenlőséget teljesítő komplex számok síkbeli képe
a) egy pont;
e) egyéb.
b) egy kör; c) egy körlap; d) egy körgyűrű;
2
2003 1
6. Ha z + z + 1=
0,
akkor z + 2003
z
értéke
a) 2 ; b) 1; c) − 1 ; d) z ;
2
e) z .
n
7. Az U = { z ∈ z = 1 halmazra melyik állítás igaz?
n
}
2
a) z z ∈U ⇒ z + z ∈U
; b) z z ∈U ⇒ z + z ∈U
;
, 1 2 n 1 2 n
, 1 2 Un z1 z2 Un
, 1 ∈U 2 n ⇒ z + z −z z 1 2 1 2 ∈Un
, 1 2 n 1 2 n
, ∈ n ⇒ ∈ n ;
c) z z ∈ ⇒ − ∈ ; d) z z 1 2 U z z 1 2 U
e) z z .

A10 teszt 35
8. Ha z = 1 , akkor a
1 z 1
2
− + +z maximuma
a) 2 ; b) 4 ; c) 3 ; d) 2 2; e) egyéb.
2 2
2 2
9. Ha z + z = z + z , z , z ∈ , akkor
1 2 1 2 1 2
= z 1 2 − 1 2 ∈ 1 2
+ 1 ∈ \
2
a) z ; b) z z ; c) z , z ∈ ;
d) z z ; e) egyéb.
10. Ha
2 2
− = + 1 2 1 2
2
z z z z
1 = 2 1
⋅ 1 = 0 2
, ∈
1 2
, z z , akkor
a) z z ; b) z = z ; c) z + z = z − z ;
2 1 2 1 2
d) z z ; e) egyéb.
11. Ha z , z ∈ , akkor
1 2
2 2
zz + 1 + z − z
1 2 1 2
+ + 2 értéke
2
( 1 z1 )( 1 z2
)
a) zz ; b) zz ; c) 0 ; d) 1; e) egyéb.
1 2 1 2
12. A z = 1+ 2 + i 2, z = 1− 2 + i 2, z = 1− 2 + i 2 és
1 2 3
z = 1+ 4 2 − i 2 affixumú pontok által meghatározott négyszög
a) konkáv; b) átlóinak szöge 60° -os;
c) téglalap és nem négyzet; d) négyzet; e) egyéb.
13. Az A(4 + i ) ,
háromszög
B (1 + 4 i) és C (1 + i)
pontok által meghatározott
a) egyenlő oldalú; b) derékszögű és egyenlő szárú; c) tompaszögű;
d) egyenlő szárú és derékszögű; e) egyéb.
14. Hány olyan pont létezik, a síkban, amelynek affixumára teljesülnek a
z − 1 = z + 1 = z − i 3 egyenlőségek?
a) végtelen sok; b) 1; c) 2 ; d) 0 ; e) egyéb.
8
15. A z − 1=
0 egyenlet gyökeinek geometriai képe
a) egy szabályos nyolcszög csúcsai; b) egy négyzet csúcsai;
c) nyolc kollineáris pont; d) két egyenesre illeszkedik; e) egyéb.

36 A10 teszt
16. Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy az
2
(1 + ix ) − 2mx+ m− i=
0 egyenletnek legyen valós gyöke
a) m = −1
;
e) egyéb.
1
b) m = ;
3
1
c) m ∈{ , −1
3 } ;
1
d) m ∈{ − ,1
3 } ;
n m
17. A z − 1=
0 és z − 1=
0 egyenleteknek pontosan akkor van egyetlen
közös gyöke, ha
a) ( mn , ) = 1;
e) egyéb.
b) m = 2n;
c) m = 5,
n = 7 ; d) m = 3 , n = 1;
2 (
18. Az cos cos ... cos n
π π − 1)π
S = + + +
összeg értéke
n n n
a) − 1 ; b) 0 ; c) 1; d)
2 n
n
; e) egyéb.
19. Ha M az ABC egyenlő oldalú háromszög köré írt kör kisebbik BC ívén
helyezkedik el, akkor
a) M B + MC = MA ; b) MB + MC < MA ;
2 2
c) MB + MC
2
= MA ;
2
d) MB ⋅ MC = MA ; e) egyéb.
20. O az AB C háromszög köré írt kör középpontja, D az AB felezőpontja
és E az ACD háromszög súlypontja. A CD és OE egyenesek pontosan
akkor merőlegesek, ha
a) AB = AC ; b) AB = 2AC ; c) AB + AC = 2BC
;
1
d) AB − AC = BC ;
2
e) egyéb.

A11 teszt 37
A11 teszt
(Analitikus geometria, vektorok, skaláris szorzat)
A megértés a gondolatok újraszerveződése
1. Az u = 2i + 3j − k
és v = i −2j −3k
vektorok skaláris szorzata
a) 1; b) 0 ; c) − 1 ; d) 2 ; e) egyéb.
2. Ha a = 3 , b = 4 és a két vektor által bezárt szög mértéke 60 ° , akkor
a − 2 b ( a + 3b)
értéke
( )
a) − 81 ; b) − 64 ; c) 49 ; d) 36 ; e) egyéb.
3. Számítsd ki az A (2, 4, − 4) , B(1,1, − 3) , C( − 2,0,5) és D ( −1,3,4)
pontok
által meghatározott konvex négyszög átlói által bezárt szög mértékét
a) A , B , C és D nincs egy síkban; b) arcc os
63
;
6441
c) arcc os
63
; d) arccos
6414
63
;
6144
e) egyéb.
4. Határozd meg az A (1, 2, −3) pontnak az x − 2y + 2z − 3 = 0 egyenletű
síktól való távolságát.
6 14
a) ; b) 1; c) 4 ; d) 0 ; e) egyéb.
7
5. A cos α cos α + cos β cos β + cos γ cos γ = 0 feltétel szükséges és
1 2 1 2 1 2
elégséges feltétele annak, hogy az u(cosα
,cos β ,cos γ ) és
v(cos
α , cos β , cos γ )
2 2 2
vektorok
1 1
a) párhuzamosak legyenek; b) 60° -os szöget zárjanak be;
c) egymás meghosszabbításában legyenek; d) merőlegesek legyenek;
e) egyéb.
6. Ha az u Ox , Oy és Oz tengelyekkel bezárt szöge rendre α , β és γ ,
2 2
2
akkor cos α+ cos
β + cos γ értéke
a) 3
1
2
; b) 1; c) ; d) ; e) egyéb.
2 2 3
7. Ha M , A , B és C négy tetszőleges pont a térben, akkor az
1

38 A11 teszt
MA ⋅ BC + MB ⋅ CA + MC ⋅ AB
összeg értéke
2 2
2
a) MA + MB + MC ; b) 0 ;
2 2 2
BC + CA + AB
c)
;
3
1
d) ( MA ⋅ BC + MB ⋅ CA + MC ⋅ AB)
; e) egyéb.
2
8. Ha az AB C háromszög B és C csúcsához tartozó oldalfelezők
merőlegesek, akkor
2
a) 6 BC
2
2
= AB + AC ;
2
b) 5 BC
2
2
= AB + AC ;
2
c) 3BC 2
2
= 4 AB + 4AC
;
2
d) BC = 3AB
⋅ AC ; e) egyéb.
9. Az AB CDA′ B′ C ′ D′
kockában M a CC ′ felezőpontja és N ∈ ( DD′ )
DN 1
úgy, hogy
ND 2
= . Az
′
MA N mértéke
7 10
7
1
7 3
a) arcc os ; b) arc cos ; c) arccos ; d) arcc os ; e) egyéb.
30
12
2 10
10. Az AB CDA′ B′ C ′ D′
téglatestben az AC ′ egyenes és a BA ′ D sík
metszéspontja a BA ′ D háromszög
a) súlypontja; b) ortocentruma; c) köré írt körének középpontja;
d) beírt körének középpontja; e) egyéb.
11. Ha ABCD négyzet
MA ⋅MC −MB
⋅MD
értéke
és M egy tetszőleges pont, akkor
2
a) AC ;
e) egyéb.
2
b) AB ;
2 2 2
2
c) 0 ; d) MA + MC −MB −MD
;
12. Az x − y + z − 1=
0 és 2x − 2 y + 2z − 4 = 0 síkok
a) egybeesnek; b) párhuzamosak; c) metsző síkok;
d) közös egyenese az xOy síkban van; e) egyéb.
13. Ha az ax + by − z + c = 0 sík átmegy a P ( −2,1,4)
és P (1, 0, 3)
pontokon és merőleges a
a + b + c értéke
4x − y + 3z − 1=
0 egyenletű síkra, akkor
a) 0 ; b) 5; c) 16 ; d) 43
; e) egyéb.
1
2

A11 teszt 39
14. Az x + 2y − z + 3 = 0, 2x − y + z − 5 = 0 és − x + y − 3z + 8 = 0
egyenletű síkok
a) párhuzamosok; b) összefutók; c) páronkénti metszeteik párhuzamosak;
d) egybeesnek; e) egyéb.
x − 2 y + 1 z + 2
15. Az (1 , 2, −1)
ponton áthaladó és = = egyenesre
3 2 1
merőleges sík egyenlete ax + by + z − c = 0 . Az ab −c
kifejezés értéke
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 3 ; e) 4 .
16. Az x + y − z = 1 és 2x − 3 y + z = 2 síkok által bezárt szög koszinusza
a)
2
− ; b)
42
2
3 7 3
; c) ; d) ; e) 0 .
42 2 7 3
17. Az u = 2i − j + 3k
vektor vetülete a v = 4i − j + 2k
vektorra
20 5 10
a) i + j + k
7 7 7
20 5 10
; b) i + j − k
7 7 7
20 5 10
; c) i − j + k
7 7 7
;
20 5 10
d) i − j − k
7 7 7
; e) egyéb.
x −1 y − 1 z + 1
18. Az A (1, 2, −3)
pont és az = = egyenletű egyenes
2 2 1
távolsága
a) 7 ; b) 11 ; c) 3 ; d) 5 ; e) 13 .
19. Az x = 1+ 2t,
y = − 1+ 3t
, z = 2 + t és x = 1 + t , y = 1+ 2t
,
z = 1+
3t egyenesek távolsága
a) 0 ; b) 3
21 11 3
; c) ; d) ; e) 2 .
2 45 15
2 2 2 2
20. Az A , B , C és D térbeli pontokra AB + BC + CD + DA = 16 és
2 2
AC + BD
hossza
= 12 . Ha E és F az AC illetve BD felezőpontja, akkor EF
a) 1; b) 4 ; c) 16 ; d) 28
; e) egyéb.

40 A12 teszt
A12 teszt
(Összefoglaló feladatok X. osztály)
1. Ha log 2 3 , akkor x értéke
=
x
3 2
a) 2 ; b) 3 ; c)
Dalból szabtam kabátot,
Ősrégi mitológiák
Hímezték át meg át;
De felöltötte, látod,
A sok bolondja,
S benne parádéz,
Mintha ő varrta volna.
Hát csak viseljék,
Akkor már jobb nekem
A meztelenség
(William Buttler Yeats)
3 ; d) 3 2 ; e) egyéb.
2. Az 1, 2 , 5 , 7 és 9 számjegyek segítségével hány csupa különböző
számjegyből álló négyjegyű számot lehet előállítani?
4
4
a) 1; b) C ; c) V ; d) ; e) egyéb.
P
3. Az
9
(1 − i)
( 3 + i)
10
( −1−i3) 10 5
5
tört értéke
9
5 4
a) 2( 2 1 − i)
; b) 2( 2 1 + i)
; c) 2 2( 1 + i)
; d) − 1 ; e) egyéb.
4. A v( −2,3,6)
vektor hossza
a) 49 ; b) 7 ; c) 7 ; d) 14 ; e) egyéb.
5. Ha A (1, 2, − 3) és B ( −2,1,2)
, akkor a BOA
a) hegyesszög; b) mértéke 60 ° ; c) tompaszög;
d) mértéke 120 ° ; e) mértéke 180 ° .
6. Az A és B pontok affixuma z = 1 +i illetve z = 3−2i. Ha
1
2
AM
M ∈ ( AB) és = 2 , akkor M affixuma
MB
a) 7
− i ; b) − 1+ 4i;
c) 1 + 2i;
d) 3 − i ; e) 5 −
3i.
3
1
−

A12 teszt 41
7. Ha ( z − 2 )( z + i)
valós, akkor
a) z + 2z = 2;
e) egyéb.
b) Re z + 2 Im z = 2 ; c) z ∈ ; d) z = 2 ;
1
8. Ha z + ∈ , akkor
z
a) z ∈ ; b) z = 1;
c) z ∈ vagy z = 1;
d) Rez > 0 ; e) egyéb.
⎧⎪ 2
⎪x
−1, x ≤−1
⎪
9. Az f : → ,
fx ( ) = ⎪
⎨−x−1,
− 1< x<
0 függvény
⎪ 2
⎪−x
−1, x ≥ 0
⎪⎩
a) növekvő; b) konvex; c) konkáv;
⎧⎪
⎪
− y + 1, y ≥ 0
⎪
−1
d) bijektív és f ( x) = ⎨
⎪−y
− 1, 0> y >−1;
e) egyéb.
⎪ −1 −y, −1≥y ⎪⎩
10. Ha a (3 ) kifejtésében a 10 -edik tag a legnagyobb, akkor
n
+ n
a) n = 10 ; b) n = 11;
c) n = 9;
d) n = 21 ; e) egyéb.
2
11. Az ab ,,c∈ számokra a −b c, haladványt alkot. Következik-e ebből, hogy
2
2
b −ac
és c −ab
számtani
a) a,,c b is számtani haladványt alkot; b) a + b + c = 0 ;
c) a + b + c ≠ 0 ; d) a,,c b nem alkot számtani haladványt; e) egyéb.
12. Az a ,,, bcd számok számtani haladványban vannak és az a − 2 , b − 5 ,
c − 7 , d − 7 számok mértani haladványban (ebben a sorrendben). A számok
összege
a) 25 ; b) 16 ; c) 10 ; d) 36 ; e) egyéb.
13. Ha a P(,, x yz)
pont egyenlő távolságra van az A (2,2, 3) , B( −5,1,4)
,
C(3, −5,2) és D (1, 2, 4) ponttól, akkor − x + y + z értéke
a) 5
3
9
8
; b) ; c) ; d) ; e) egyéb.
24 14 47 41

42 A12 teszt
x − 1 y + 1 z − 3 x + 1 y −1 z −2
14. Az = = és = = egyenesek által
1 2 1 2 3 1
bezárt szög koszinusza
a) 12 3
3 2 5 6 3 21
; b) 0 ; c) ; d) ; e)
57
8 17 14 .
6n−1 *
15. Az f = X + X + 1,
n ∈ polinom egyik osztója
2
a) X + X + 1;
2
b) X − 1;
2
) X + 1;
2
d) X − X + 1;
5
e) X + X + 1.
16. Egy cég három üzemében az évi termelés 20% -át, 30% -át és 50% -át
állítják elő. Az üzemekben a selejt aránya rendre 1% , 3% és 5% . Az éves
termelés egy véletlenszerűen választott darabját megvizsgálva kiderült, hogy
selejtes. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a harmadik üzem gyártotta?
1 4
a) 60% ; b) 71 % ; c) 69 % ; d) 50% ; e) egyéb.
3
9
x
17. A 6
x x
−3 −3⋅ 2 + 3 = 0 egyenlet megoldásainak száma
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 3 ; e) egyéb.
18. Az ABCDA′ B′ C ′ D′
kockában M és N a CC ′ és AA ′ él felezőpontja.
Az MB N szög mértéke
1 1
1
a) arcc os ; b) arcc os ; c) 36 ° ; d) arccos ; e) egyéb.
4 2
5
19. Ha A , B , C és D négy tetszőleges pont a térben, akkor az
2 2 2 2
AD + BC −AC −BD
kifejezés
2AB
⋅CD
a) 0 ; b) 1; c) − 1 ;
d) minden értéket felvehet a [ −1
,1] intervallumban; e) egyéb.
2
( )
20. Az N = 66...6 + 88...8 szám számjegyeinek összege
n n
n n n ( )
3 2
a) 4 ; b) 8 ; c) 3 ; d) 8 n − 3n + 3n
;
e) egyéb.

A13 teszt 43
A 13 teszt
1. A
6 1
5 3
determináns értéke
A boksz az a sport, ahol a győztest is alaposan megverik
a) 3 ; b) 13 ; c) 7 ; d) 15 ; e) − 2 .
2. A
log b log b
a
log d log d
c
a c
determináns értéke
a) log ac bd ; b) lo ; c) g b
ac
d
3. Az
a ab b
2 2
2 2
b a ab
ab b a
a b
2 2
log bd ; d) 0 ; e) egyéb.
a
c
determináns értéke
a −b
3
a −b
6
2 2
3 3
6 6
a) ( − ) ; b) ( ) ; c) ( ) ; d) a b ; e) egyéb.
4. Az
x
2 2 2
2 x 2 2
2 2 x
= 0 egyenlet megoldásainak halmaza M . Az
2
2 2 2
x
elemeinek összege
a) − 4 ; b) 2 ; c) 8 ; d) 0 ; e) egyéb.
⎡
⎢0 ⎢
5. Ha A = ⎢0 ⎢
0
⎣
1
0
0
1⎤
⎥
100
1⎥
akkor A elemeinek összege
⎥
0 ⎥
⎥⎦
a) 3 ; b) 102 ; c) 0 ; d) 104 ; e) egyéb.
2
−
M

44 A13 teszt
6. Az
3 2
a 3a 3a
2 2
a a a a
+ 2 2 + 1 1
determináns értéke
a 2a + 1 a + 2 1
1 3 3
1
1
2 4
4 2
2 2 2
a) ( a − 1 ) ( a + 1)
; b) ( a − 1 ) ( a + 1)
; c) ( a − 1 ) ( a + 1)
;
6
d) ( a − 1)
; e) egyéb.
3
7. Ha x , x , x az x − 3x + 11=
0 egyenlet gyökei, akkor az
1 2 3
determináns értéke
a) 0 ; b) 3 ; c) 11 ; d) 8 ; e) egyéb.
3
x x x
1 2
x x x
2 3
x x x
3
1
3 1 2
⎡5 8. Ha 2X + 3 Y = ⎢
3
⎣
−4⎤
⎡−1 ⎥ és
1 ⎥ 3X − 4Y
= ⎢
⎥
13
⎦
⎢⎣ −6⎤ ⎥
−7⎥
, akkor X + Y első
⎥⎦
sorában az elemek szorzata
a) 0 ; b) − 4 ; c) − 40 ; d) − 14 ; e) egyéb.
⎡
⎢ 2
⎢
9. Az ⎢−1 ⎢
−2 ⎣
3
1
2
1 ⎤ ⎡
⎥ ⎢9
⎥ ⎢
−2⎥⋅ X = ⎢1
⎥ ⎢
−3⎥ ⎢
⎥
0
⎦ ⎢⎣
1 ⎤
⎥
−6
⎥⎥⎥⎥⎦
egyenlet megoldásában az első sor
−10
elemeinek összege
a) 0 ; b) 5; c) 2 ; d) − 10 ; e) egyéb.
⎡1 10. Az X ⋅ ⎢
3
⎣
szorzata
−1 2
⎡7 2 ⎤ ⎢
⎥ ⎢
= ⎢7 −2 ⎥
⎥⎦
⎢
6
⎣
−2
3
−1
6 ⎤
⎥
−2⎥egyenlet
megoldásában az elemek
⎥
4 ⎥
⎥⎦
a) 12 ; b) − 18 ; c) − 8 ; d) 24
; e) egyéb.

A13 teszt 45
⎡
⎢ 1
⎢
11. Az A = ⎢ 2
⎢
−1 ⎣
a
2
1
7 ⎤
⎥
3 ⎥ mátrix pontosan akkor invertálható, ha
⎥
−1
⎥
⎥⎦
a) a ≠−17 ; b) a ≠ 5;
c) a ≠ 23 ; d) a ≠−4;
e) egyéb.
12. A 0
⎪ ⎧⎪
⎪2x
+ y − z = 0
⎪
⎨⎪ x + y + 2z
= egyenletrendszer
⎪
⎪x −y − 8z = 0
⎪⎩
a) összeférhetetlen; b) határozatlan és megoldásai két paramétertől függnek;
c) határozott; d) határozatlan és megoldásai egy paramétertől függnek;
e) egyéb.
4
2
13. Az ⎪ ⎧⎪x − 2x + 3x − 4x
=
⎪ 1 2 3 4
⎪
⎪
x + 4x −x − 2x
= −
1 2 3 4
⎨⎪
⎪
x + 3x − 3x = 1
1 2 4
⎪
⎪−
7x + 3x + x =−3
2 2
x + x + x + x
1 2
⎪⎩ 2 3 4
2 2
3 4
összeg minimuma
egyenletrendszer megoldásaira az
a) 65 ; b) 55 ; c) 0 ; d) 27 ; e) egyéb.
14. Az 0
0
⎪ ⎧⎪
⎪x
− ay + z = 0
⎪
⎨⎪ ax + y − 2z=
rendszernek pontosan akkor van nem triviális
⎪ 3x + y + 3z
=
⎪⎩
megoldása, ha
1 1
a) a ∈{ − , −2
3 } ; b) a ∉ { − ,2
3 } ; c) a = −2; d) a ≠−2;
e) egyéb.
3
15. Ha ε = 1 és ε ∉ , akkor a
1
ε ε ε
2 3
ε
2
ε
3
ε 1
D =
determináns
2 3
ε ε 1 ε
ε 1 ε
3 2
négyzete
a) 0 ; b) 1; c) − 9 ; d) − 27
; e) egyéb.
ε

46 A13 teszt
16. Ha A, B n , akkor az mátrix főátlóján levő elemek
összege (Tr )
M ∈ ( )
AB − BA
( AB − BA)
TrA ⋅TrB
a) Tr A ⋅TrB ; b) 0 ; c) 1; d)
; e) egyéb.
TrA + TrB
17. Ha A= ⎡ ⎤
⎢a ij ⎥ és a = 1,
ij , = 1, n,
akkor az I mátrix inverze
⎣ ⎦ij
, = 1, n
ij n − A
(n ≥ 2 )
a) In−( n −1)
A;
3
b) In− A;
n + 1
c) In−A; 3( n − 1)
d) In−A; n + 1
1
e) In−A. n − 1
⎡1 2⎤
18. Ha A = ⎢ ⎥
2
n
⎢⎢ , akkor értéke
0 3⎥
det ( A+ A + ... + A )
⎣ ⎥⎦
a) 3 n n
1
(3 + 1) ; b) 21 n − 18 ; c) (5 2)3 ; d)
4
n−
3n
n
n − ( 3 − 1)
; e) egyéb.
2
2
det( I + A )
2
2
19. Ha A∈M ( )
és A + I ≠ 0 valamint T = 2 2 2
2 2
(1 − det A) + ( TrA)
akkor T értéke
,
a) függ A -tól; b) 0 ; c) 1; d) − 1 ; e) egyéb.
3
20. Ha f : → lineáris függvény és az egyenletnek
, λ = 2 és λ esetén van v megoldása, akkor azon értékek
3 =
3
fv () = λ ⋅ v
λ = 1
3 ≠ 0
µ
1
2
összege, amelyekre az ( f f) ( u ) = µ ⋅ u egyenletnek van 0 -tól különböző
megoldása
a) 0 ; b) 6; c) 14 ; d) 27
; e) egyéb.

A14 teszt 47
A 14 teszt
1. Az
1 2 1
1 0 1
1 6 1
The true value of a human being is determined primarily by
the measure and the sense in which he has attained
liberation from the self
(Albert Einstein)
determináns értéke
a) 0 ; b) 2 ; c) 6; d) − 1 ; e) egyéb.
2. Az
13547 13647
28423 28523
determináns értéke
a) 0 ; b) − 1487600 ; c) − 4197000 ; d) 4197000 ; e) egyéb.
3. Az
1 3 3 3
3 1 3 3
3 3 1 3
3 3 3 1
determináns értéke
a) 81; b) − 72 ; c) − 80 ; d) 10 ; e) 0 .
4. Ha a,,c b és d egy r állandó különbségű számtani haladványt alkotnak
1 1 1 1
(ebben a sorrendben), akkor az
a b c d
a b c d
2 2 2 2
a b c d
3 3 3 3
determináns értéke
6 6 6 6
6
6
a) a − r ; b) a + r ; c) 0 ; d) 6r ; e) 12 r
.

48 A14 teszt
3 2
5. Ha , és x az x − x + 5x + 2 = 0 egyenlet gyökei, akkor az
x x x
2 2 2
1 2 3
x x
2 3
x x
3 1 2
x1 2 x 3
x
x
1
determináns értéke
a) − 25 ; b) 1; c) − 20 ; d) 142 ; e) egyéb.
6. Ha X 100
⎡1 = ⎢
3
⎣
2⎤
⎥
6⎥,
akkor detX értéke
⎥⎦
a) 0 ; b) 1; c) 10 0 35 ;
100
d) 6 ; e) egyéb.
⎡ 1
7. Ha A = ⎢
−1
⎣
2
1
⎡
−3⎤
⎢ 1
⎥ ⎢
és B
2 ⎥ = ⎢ 1
⎥⎦
⎢
−1
⎣
2 ⎤
⎥
−1⎥,
akkor
⎥
0 ⎥
⎥⎦
⎡ 6
a) AB = ⎢
−2 ⎣
0 ⎤
⎥;
−3
⎥
⎥⎦
⎡ 6
b) BA = ⎢
−2 ⎣
0 ⎤
⎥
10 10 10
−3⎥;
c) ( AB) = A B ;
⎥⎦
t
d) B⋅B elemeinek összege 0 ;
⎡2 t
e) A+ B = ⎢
1
⎣
3
1
−2⎤ ⎥
2 ⎥ .
⎥⎦
⎡
⎢ 2
⎢
8. Az A = ⎢ 1
⎢
−1
⎣
2
−1
2
3⎤
⎥
0 mátrix inverzében a második sor második eleme
⎥
1 ⎥
⎥⎦
⎥ a) − 3 ; b) − 5 ; c) 1; d) 6 ; e) egyéb.
⎡x y⎤
9. Ha X = ⎢ ⎥
z t
∈ M ( )
és X
⎢ ⎥ 2
⎣ ⎦
2
⎡−1 −4⎤ = ⎢ ⎥
⎢ 8 7 ⎥
⎢⎣ ⎥⎦
, akkor x + y + z + t értéke
a) 5 1 0 ; b) 10 ; c) 10
; d) ; e) egyéb.
5 5

A14 teszt 49
⎡
⎢
3
10. Ha A = ⎢ 1
⎣
−1⎤
⎥
12
⎥,
akkor A elemeinek összege
3⎥
⎦
12
a) 2 ;
13
b) 2 ;
6
c) 3 ;
4 6
d) 2 ⋅ 3 ; e) egyéb.
⎡0 ⎢
n
*
⎢
1
11. Hány eleme van az A= { A n ∈ } halmaznak ha A = ⎢
⎢0 ⎢
0
⎣
0
0
1
0
0
0
0
1
1⎤
⎥
0 ⎥ ?
0 ⎥
0 ⎥
⎥⎦
a) végtelen sok; b) 2 ; c) 3 ; d) 1; e) 4 .
⎧ ⎪2x
+ y + z = 2
⎪
⎪3x
+ 4y + 2z = 7
12. A ⎪
⎨
egyenletrendszer
⎪
x + y + 5z =−7
⎪
⎪2x
+ 3y − 3z = 14
⎪⎩
a) határozatlan; b) ellentmondásos; c) mátrixának rangja 2 ;
d) bővített mátrixának rangja 4 ; e) megoldásainak összege 1.
13. Az
1
⎪ ⎧⎪
⎪x
+ y − 4z + t = 1
⎪
⎨⎪ x + y − 3z + 7t = 2
⎪ 3x + 3y −14z − 9t
=
⎪⎩
összeg minimuma
egyenletrendszer megoldásaira az z + t
2 2
a) 2
1
1
1
; b) ; c) ; d) ; e) egyéb.
19 25 37 49
14. Az ⎪ ⎧⎪
⎪x
+ 2x − 3x = 5
1 2 3
⎪
⎨⎪ 2x − 5x + 4x
= 3 egyenletrendszer
1 2 3
⎪
⎪4x −x − 2x
= 11
⎪⎩ 1 2 3
a) határozott; b) összeférhetetlen; c) határozatlan;
d) mátrixának rangja 1; e) egyéb.
15. Ha A, B M ( és A B , akkor I + =
∈ ) 2
2

50 A14 teszt
( )
3
( A
3
B ) (
3 3
( A + B ) =
3 3
3 3
a) de t A + B ∈ \ ; b) de t( A + B ) ∈[ 0, ∞)
;
3 3
c) de t + ∈ −∞, − 1)
; d) det A + B ∈−1,0
;
e) de t 1.
⎡1 2 1⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
100
16. Ha A = ⎢2 −6
1⎥,
akkor detA értéke
⎢ ⎥
⎢3 −3
2⎥
⎢⎣ ⎥⎦
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d)
( ) [ ]
100
100 100
( 1 2) ( 1 2
+ + − ) ; e) egyéb.
⎡ 2 1 ⎤
⎢ 1 +
⎥
⎢ n n ⎥
17. Ha An
= ⎢ n ⎥ , akkor a lim An
mátrix determinánsa
⎢ ⎡⎛ 1⎞ ⎤ 1⎥
n→∞
⎢ln ⎢ ⎜
⎜1 + ⎟
⎜⎝
⎟ ⎥ 1 − ⎥
⎢ ⎢ n⎠⎟ ⎣ ⎣ ⎥⎦
n⎥⎦
e
a) 0 ; b) 1; c) − 2 ; d) ; e) egyéb.
2
⎡ x + 4y 18. Ha A = ⎢
−8y ⎣
2y
⎤
⎥
100
, akkor A elemeinek összege
x −4y⎥
⎥ ⎦
99
a) x (2x − 3 y)
;
100
b) 2 ( x − 300 y)
;
99
c) x (2x − 600 y)
;
100
d) x ( x − 300y)
; e) egyéb.
*
19. Ha A, B ∈ M ( )
és létezik n ∈ úgy, hogy ( ) , akkor
2
2
4
( BA)
n
AB − BA = I
AB −
2
a) AB BA;
b) I ; c) ( AB − BA)
;
− 2
6
d) ( AB − BA)
; e) BA − AB .
E A ≠ halmazt. Az f : E → E,
20. Tekintsük az = { ∈M ( )
detA 0}
n
* *
fA ( ) = A (A az A adjungáltja) függvény
a) injektív; b) bijektív; c) teljesíti a det fA ( ) = detA
egyenlőséget;
d) szürjektív; e) egyéb.

A15 teszt 51
A 15 teszt
S halandó gyarlóságai között
csupán maga az ember halhatatlan
Kérlelhetetlen gyötrelmei ellen
irgalmas vára bizalomból épül
s az önmagával vívott küzdelemben
csak jósága szolgálhat menedékül
(Garai Gábor)
2 2
x y
1. Az − = 1 hiperbola fókusztávolsága
80 20
a) 5 1 0 ; b) 4 1 5; c) 12 2 ; d) 20 ; e) egyéb.
2 2
x y
⎛10
⎞
2. Az + = 1 egyenletű ellipszishez a P ⎜ ,2 ⎟
20 9
⎜⎜⎝ 3 ⎟ pontban húzott érintő
⎠
iránytényezője
1
a) − ; b)
12
1
1
3
; c) − ; d) − ; e) egyéb.
2 6
4
2 2
x y
3. Az + = 1 egyenletű ellipszis excentricitása
80 16
a) 5
;
5
b) 5 ;
2 5
c) ;
5
d) ; e) egyéb.
2
2 2
x y
4. Az − = 1 egyenletű hiperbola excentricitása
16 9
a) 5
;
4
3
b) ;
4
4
c) ;
3
5
d) ;
3
3
e)
5 .
5. Azon M pontok mértani helye (a síkban), amelyek egyenlő távolságra
vannak egy egyenestől és egy ponttól
a) egy hiperbola; b) egy parabola; c) egy ellipszis;
d) egy kör; e) két egyenes.
6. Az x − 5y + 8 = 0 és x −y − 4 = 0 egyenesek által bezárt szög mértéke
a) 0 ° ; b) 30 ° ; c) 45 ° ; d) 60°
; e) egyéb.

52 A15 teszt
7. Ha ax + by − 26 = 0 az A (5, 3) és B ( −1, −2)
pontok által meghatározott
szakasz felezőmerőlegese, akkor a + b értéke
a) 2 ; b) 12 ; c) 22 ; d) 72 ; e) egyéb.
8. Ha 3y + x −5≥ 0, 4y − 3x + 2≤0
és y − 4x + 20≥
0,
akkor x + y
legkisebb és legnagyobb lehetséges értékének összege
a) 9; b) 10 ; c) 13 ; d) 3 ; e) 30 .
9.Ha 3y + x −5≥ 0 és 4y − 3 x + 2≤0,
akkor
2 2
x + y legkisebb
lehetséges értéke
a) 13 ; b) 5; c) 25 ; d) 34 ; e) 90 .
10. Határozd meg az A( − 2,2,1) ,
meghatározott háromszög területét.
B (2,3,0) és C (1,1, −1)
pontok által
a) 1 2
93 ; b) 65
4 ; c) 1 2
71 ; d) 1 2
91 ; e) 1 2
83 .
x −1 y −1 z −3
11. Az = =
1 2 −1
és
x + 1 y + 1 z + 1
= = egyenesek által
−1
1 1
bezárt szög mértéke
a) 0 ° ; b) 30 ° ; c) 45 ° ; d) 60° ; e) 90 ° .
0
12. Ha a 0
0
⎪ ⎧⎪3x − 2y + z + 3 =
⎨ egyenes párhuzamos a 2x − y + pz − 2 =
⎪4x − 3y + z + 1=
⎪⎩
egyenletű síkkal, akkor p értéke
a) 0 ; b) 2 ; c) 1; d) − 3 ; e) 4 .
x + 2 y − 1 z ⎧⎪ x + y − z = 0
13. Az = = és
3 −2 1 ⎪⎩
x −y −5z − 8 = 0
⎪ ⎨ egyenletű egyenesek
⎪
a) merőlegesek; b) párhuzamosak; c) 45° -os szöget zárnak be;
d) kitérő egyenesek; e) 60° -os szöget zárnak be.
14. Határozd meg az A ( − 1,2,1) , B(2, 3, − 1) , C( −3, − 1,1) és D (4,5,2)
pontok által meghatározott tetraéder térfogatát!
a) 31
19
43
25 77
; b) ; c) ; d) ; e)
6 6 6 6 6 .

A15 teszt 53
15. Az A (3,5) , B ( −1, − 1) , C (2,2 + 3) és D (0,2 − 2 3) pontok
a) egy egyenesen vannak; b) egy körön vannak; c) nincsenek egy síkban;
d) egy paralelogramma csúcspontjai; e) egyéb.
16. Ha a P rögzített ponton áthaladó egymásra merőleges és d
egyenesekre { M} = d ∩Ox és { N} = d ∩Oy, akkor az MN szakasz
1
felezőpontjának mértani helye
a) egy szakasz; b) egy egyenes; c) egy kör;
d) egy hiperbola; e) egy körív.
2
d1 2
17. Az AB C háromszögbe írható téglalapok középpontjának mértani helye
a) egy egyenes; b) egy szakasz; c) három szakasz;
d) három körív; e) egyéb.
18. Az
2 2
x y
+ = 1 egyenletű ellipszis rögzített irányú húrjainak
2 2
a b
felezőpontjai által meghatározott alakzat
a) egy egyenes; b) egy körív; c) egy ellipszis;
d) egy szakasz, amely átmegy az origón; e) egyéb.
2 2
19. Azon M térbeli pontok mértani helye, amelyekre MA + MB állandó,
ahol A és B rögzített pontok, egy
a) sík; b) egyenes; c) gömb; d) kúpfelület; e) egyéb.
20. Az AB rögzített hosszúságú szakasz úgy mozog, hogy teljesüljön az
MA 1
A∈Oy, B ∈ Ox feltétel. Az M ∈ (AB)
és = relációkat teljesítő M
MB 2
pontok mértani helye
a) egy kör; b) egy ellipszis; c) egy szakasz;
d) négy szakasz; e) egyéb.

54 A16 teszt
A 16 teszt
Az a megkésett érettségi, mint ahogy egyébként az egész iskola,
ugyanaz volt számomra, mint mikor a vonat berobog az alagútba…
(Bohumil Hrabal)
1. Az a n =
1
+
2
n + 1
1
+ ... +
2
n + 2
1
sorozat határértéke
2
n + n
a) nem létezik; b) 0 ; c) 1; d) ∞ ; e) egyéb.
⎡1⎤ 2. A lim x ⋅ ⎢ ⎥
x→∞
⎢⎣x⎥⎦ határérték
a) nem létezik; b) 0 ; c) ∞; d) 1; e) egyéb.
n !
3. Az x n = 2 , n ≥ 1 sorozat határértéke
n
2
a) 1
;
4
1
b) ;
2
c) 1; d) ; e) 0 .
2
4. Az ( xn ) n≥
1 sorozatra
a > b > 0 . A lim xn
határérték
n→∞
2 1 1
= + , ∀n≥2, ahol x a , és
1
x x x
= x = b 2
n n− 1 n+
1
a) 1; b) 0 ; c) 1
; d)
2
1
a + b
; e) 2
3 .
2 2
x − 1⎡x
+ 1⎤ 5. A lim ⎢ ⎥⎥ határérték
x→1
x ⎢
⎣ x − 1 ⎦
a) 1; b) 2 ; c) 4 ; d) − 2 ; e) egyéb.
⎛ x + x ⎞
6. A lim ⎜
⎟
x→∞⎜⎝x
− x ⎠⎟
1
−
x
határérték
1
2
−2 2
a) e 2 ; b) e ; c) e ; d) e ; e) 1.
7. A
( ) 2
1−sinx lim határérték
π
x→
π − 2x
2

A16 teszt 55
a) 4
;
3
1
b)
6 ; c) π
;
2
2
d) ;
7
1
e)
8 .
8. Mi a feltétele annak, hogy az f : D → (D a maximális értelmezési
tartomány)
1
fx () = , 2
x − ax + b
∀x ∈D
függvénynek pontosan egy
függőleges aszimptotája legyen?
a) a > b; b) a < b; c) a = b;
2
d) a = 4b;
2
e) a < 4b.
9. Ha az f : → ,
⎧ ⎪2sinx
+ cos x, fx ( ) = ⎪
⎨ 2 ⎪ ax + bx + c, ⎪⎩
x ≥ 0
függvény kétszer
x < 0
deriválható, akkor a⋅b ⋅c
értéke
a) 0 ; b) − 1 ; c) − 4 ; d) − 7 ; e) egyéb.
10. Ha az f :[ −1,1] → ,
⎧ ⎪x
+ 1,
fx ( ) = ⎪
⎨ x ⎪e ,
⎪⎩
x ∈− [ 1, 0)
x ∈ [ 0, 1]
függvényre
alkalmazzuk a Lagrange tételt, akkor
a) c = ln2 − 1;
e
b) c = ln ; c) c = 0 ;
2
1
d) c = ;
2
e) c = e.
3
ax + bx + c
11. Ha az f : \{ −1} → ,
fx ( ) =
x − 1
függvény grafikus képe
tartalmazza az A (0,2) pontot és a B ( −1,0) pont az f egy szélsőérték pontja,
akkor ab c értéke
1
a) − ;
6
b) 6; c) 0 ; d) 1;
1
e) − .
2
12. Ha m és M az f : → ,
fx () =
és maximuma, akkor m ⋅ M értéke
a) 1
1
; b)
3 2
2
− +
( x 2)
2
x + 4
1+ 5
; c) 1; d)
2
1 1 1
13. Az an= 1 + + + ... + − lnn,
n ≥ 1 sorozat
2 3 n
a) nem konvergens; b) negatív tagú; c) periodikus;
d) csökkenő; e) egyéb.
4 függvény minimuma
; e) egyéb.

56 A16 teszt
1
sin( x sin x)
sin
14. A lim
6
x→0
5
x
3
− − x
határérték
a) nem létezik; b) 59 37 19
; c) ; d) ; e) egyéb.
120 720 24
⎧⎪ sin x
⎪ ,
15. Az f : → ,
fx () = ⎪
⎨ x
⎪⎪
0,
⎪⎩
x ≠ 0
függvény
x = 0
a) Darboux tulajdonságú;
e) egyéb.
b) folytonos; c) bijektív; d) injektív;
2x
16. Az f : → , fx ( ) = arccos 2
1 + x
függvény szögpontjainak száma
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 4 ; e) egyéb.
3 2
17. Az x + x − 5x + 3 =m egyenletnek pontosan akkor van három valós
gyöke, ha
⎛ 256⎞
a) m < 0 ; b) m > 3 ; c) 0, ⎟
⎛128
256⎞
m ∈ ⎜
⎜⎜⎝ ⎟
27 ⎠⎟;
d) m ∈ ⎜ , ⎟
⎜⎝
⎟
27 27 ⎟;
e) egyéb.
⎠
3 2
3 2
18. Ha P = a X + a X + a X + a , Q = b X + bX + b X + b és x ,
0 1 2 3
0 1 2 3 1
x , a P különböző gyökei, akkor az
2 3 x Qx ( ) Qx ( ) Qx ( )
1 2
3
S = + +
P′ ( x ) P′ ( x ) P′ ( x )
összeg értéke
ab + ab
0 1 1 0
a) 2
b0
bb 0 2 ; b) 2
a ; c) ab −ab
0 0 1 1
2
a
19. Az f : ( 0, ∞) → , fx () = lim
0
0
ab + ab
1 2
ab −ab
0 0 1 1
0 1 1 0
; d) ; e) 2
2
a
a
0
0
2 lnx
ax ⋅ n + x
n→∞
ln x
x ⋅ n + 1
függvény pontosan akkor
folytonos a ( 0, ∞)
-n, ha
a) a = 2 ; b) a = −1; c) a = 0 ; d) a = 1;
e) a = −2.
( )
n
20. Az f : → , fx ( ) = lim lim cos ( π ⋅k! ⋅ x)
függvény
k→∞ n→∞
a) növekvő; b) állandó; c) deriválható; d) sehol sem folytonos;
e) egyéb.
.
3

A17 teszt 57
A 17 teszt
a legkísértetiesebb számomra a matematikának ez az ereje,
amely csakugyan átvisz minket a nem létező hídon, anélkül,
hogy lezuhannánk róla.
(Robert Musil)
1. A lim
n→∞
n + 2 −
n + 4 −
n + 1
határérték
n + 3
a) 1; b) 1
;
2
2
c) ;
3
1
d) − ;
2
e) 0 .
2. A
ln
lim
x→0
ln
2 x
( x + e )
4 2x
( x + e )
határérték
a) 1
1
2
1
; b) ; c) ; d) ; e) 2 .
3 2 3 4
3. A lim
x→0
1
x sin határérték
x
a) nem létezik; b) 0 ; c) 1; d) ∞;
e) egyéb.
n 4. A lim n ! határérték
n→∞
a) 1; b) ∞; c) 0 ; d) 2
; e) egyéb.
π
⎧ 3
⎪ln
x, 0 < x ≤ e
5. Ha az f : ( 0, ∞) → , fx ( ) = ⎪
⎨ függvény deriválható,
⎪ ax + b, x > e
⎪⎩
akkor a ⋅b
értéke
e 1
6
2
a) ; b) ; c) − ; d) − ; e) egyéb.
2
e e
e
arctg(1 + x) −arctg(1 −x)
6. A lim
határérték
x→0
1−cos2x a) 0 ;
1
b) − ;
2
c) 1
;
2
d) 1; e) ∞.

58 A17 teszt
1 1 1
7. Az a n = 1 + + + .. . + , n ≥ 1 sorozat
2 3 n
a) korlátos de nem konvergens; b) konvergens; c) határértéke ∞;
d) nem monoton; e) egyéb.
3
8. Az f :[ −2,1] → , fx ( ) = x−x függvény grafikus képének A( −2,6)
és
B (1, 0)
pontját összekötő húrral a C(, x fx ()) pontban húzhatunk párhuzamos
érintőt. Az OC távolság
a) 2 ; b) 0 ; c) 1; d) 2 ; e) egyéb.
2
9. Az f : → ,
fx () = 3 ( x−
1) függvény visszatérési pontjainak száma
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 4 ; e) egyéb.
⎡ π π⎤
5
10. Ha az f : ⎢− , ⎥ → , fx ( ) = sin x függvényre alkalmazzuk a Rolle
⎢⎣ 2 2⎥⎦
tételt, akkor
a) c = 0 ;
π
b) c = ;
3
π
c) c = − ;
6
d) hibát követünk el, mert nem alkalmazható a Rolle tétel; e) egyéb.
⎧⎪ 2 1
⎪x sin ,
11. Ha f : → ,
fx ( ) = ⎪
⎨ x
⎪⎪
0,
⎪⎩
x ≠ 0
, akkor
x = 0
a) f nem deriválható 0 -ban; b) f nem folytonos 0 -ban;
c) f deriválható 0 -ban és f ′ folytonos;
d) nem létezik a lim f′ ( x)
határérték; e) egyéb.
x→0
2x
12. Az f : → , fx ( ) = függvény áthajlási pontjainak száma
2
x + 1
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 3 ; e) egyéb.
2x
− m
13. Az f : D → , fx () = 2 2
2x + 2x −1−m függvény (D a maximális
értelmezési tartomány) lokális szélsőérték pontjainak száma
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 3
; e) egyéb.

A17 teszt 59
f : ( 0, ∞) → fx () = x+ lnx
f (1)
a) 2 ; b) 1
;
2
c) 0 ;
3
d) ;
2
2
e)
3 .
1
14. Ha , , akkor ( ) értéke
n
sin k
15. Az a n = ∑ sorozat
k
3
k=
1
a) nem korlátos; b) korlátos de nem konvergens; c) határértéke 1
2 ;
1
d) konvergens és lim an
< ;
n→∞
2
e) egyéb.
100 99
16. Ha a P = X + a X + ... + a polinom egyszeres gyökei , , …, x
x100
1 100
, akkor a P′ ( x ) P′ ( x )... P′ ( x ) szorzat értéke
1 2 100
− ′
x1 2
99
99 99
a) a ; b) a ; c) negatív; d) pozitív; e) egyéb.
a −
100
100 1
1 3
sin x − x + x
17. A lim
6 határérték
x→0
5
x
a) nem létezik; b) 1
;
120
1
c) ;
125
1
d) − ;
140
e) egyéb.
n n
arctgx − arctg x
18. A lim határérték
x→0
n
n
arcsin x − arcsin x
a) nem létezik; b) 2 ; c) 1
;
2
2
d) ;
3
e) egyéb.
2 nx
x + x e
19. Az f : → ,
fx ( ) = lim
n→∞
nx
1 + e
függvény
a) deriválható; b) nem monoton; c) korlátos;
d) nem folytonos 0 -ban ; e) egyéb.
20. A lim lim cos cos ... cos
0
2
2 2 2 n
⎛ x x x ⎞
⎜
x→ ⎜
⎟
⎜⎝
⋅ ⋅ ⋅ ⎟
n→∞
⎠ ⎟ határérték
a) ∞; b) 1
; c) 1; d) ; e) egyéb.
2 0

60 A18 teszt
A 18 teszt
Ha majd elindulsz Ithaka felé,
válaszd hozzá a leghosszabb utat,
mely csupa kaland és felfedezés
(Konsztantinosz Kavafisz)
⎡ x
1. Ha az A = ⎢
⎢−y ⎣
y⎤
2 1
⎥
x
, xy∈ , mátrixra
⎥
2
⎦
4 I
A + A = , akkor
a) x + y ∉ ;
e) egyéb.
b) xy ∉ ; c) x −y ∈ ;
2 2
d) x + y ∈ ;
2. Ha egy negyedrendű determináns 14 eleme 0 , akkor a determináns értéke
a) 1; b) − 1 ; c) 0 ; d) 1 vagy − 1 ; e) egyéb.
3. Az ⎪ ⎧⎪
⎪(
m + 1) x + y + z = 0
⎪
⎨⎪ x + 2( m −1) y − z = 0 egyenletrendszernek milyen m ∈ esetén
⎪
⎪( m −1) x − y + z = 0
⎪⎩
van a triviálistól különböző megoldása?
a) m = −5 ; b) m = −4 ; c) m = 3 ; d) m = 7 ; e) m = 2 .
⎡ 2
2
4. Ha f : M ( ) → M ( ) , fx ( ) = x − 5x+ 3Iés
A = ⎢
2 2
2 ⎢
−3
⎣
−⎤ 1
⎥
3 ⎥ , akkor
⎥⎦
⎡1 a) fA ( ) = ⎢
⎢⎢0 ⎣
e) egyéb.
0⎤
⎡2 ⎥;
b) ; c) ; d)
2⎥
fA ( ) = O fA ( ) = I fA ( ) = ⎢
2
2
⎢
⎥
0
⎦
⎢⎣ 0⎤
⎥
1⎥;
⎥⎦
⎡
⎢−1 ⎢
5. Ha A = ⎢ 1
⎢
0
⎣
−4
3
0
2 ⎤
⎥
1
−1⎥,
akkor az A A mátrix elemeinek összege
⎥
1 ⎥
⎥⎦
−
+
a) 6; b) − 4 ; c) 0 ; d) 2 ;
1
e)
2 .

A18 teszt 61
1
6. Az x n = 1 +
1+ +
2
1
2 +
+ ... +
3
1
, n ≥ 1 sorozat
n + n + 1
a) konvergens; b) csökkenő; c) korlátos de nem konvergens;
d) nem korlátos; e) egyéb.
x
e
7. Ha a ∈(0, ∞) , akkor a lim határérték
x→∞
a
x
a) 0 ; b) −∞ ; c) ∞; d) 1; e) egyéb.
2 2
x y
2
8. Hány közös pontja van az − = 1 hiperbolának és az y = 3x
20 5
parabolának?
a) 0 ; b) 2 ; c) 4 ; d) 1; e) egyéb.
2
9. Ha y = a x +b az y = 16x
egyenletű parabolának a 2x + 4 y + 7 = 0
egyenletű egyenesre merőleges érintője, akkor a ⋅b
értéke
a) 0 ; b) 1; c) 4 ; d) 16 ; e) egyéb.
10. Az a paraméter milyen értékére tartozik a 4x −3 y − a = 0 egyenletű
egyenes az α( 3x + 2y − 9 ) + β(2x
+ 5y + 5) = 0 egyenletű sugársorhoz?
a) a = 42 ; b) a = 12 ; c) a = 7 ; d) a = 29 ; e) a = 53.
11. Ha az ax + by + cz + 9 = 0 egyenletű sík merőleges az
x − 2y + 3z − 7 = 0 síkra és tartalmazza az A (1, −1, − 2) és B (3,1,1)
pontokat, akkor a + b + c értéke
a) 0 ; b) 2 ; c) − 1 ;
3
d) ;
7
e) egyéb.
−x−1 12. Hány aszimptotája van az f : → ,
fx ( ) = xe függvény grafikus
képének?
a) 0 ; b) 2 ; c) 4 ; d) 3 ; e) 1.
(101)
13. Ha f : ( −1, ∞) → , fx ( ) = ln(1 + x)
, ∀ x > −1,
akkor f (1) értéke
101 !
100! 101! 100!
a) ; b) − ; c) − ; d) ; e) egyéb.
100
101
100
101
2
2
2 2
14. Az ( an ) és ( b ) sorozatokra a , a a , és
n≥1
n = 2 = 2 1
n≥1
1 n+ 1 n − 1 n ∀ ≥

62 A18 teszt
b
n
1 1 1
= + + +
a a a
, . A ( ) határérték
−1 1 −1 2
...
n −1
∀n≥1 lim 1 n
n→∞
bn
a
−
−2 −1 2
a) e ; b) e ; c) 1; d) e ; e) e .
15. Az x ln(1 ) , x sorozat határértéke
n+ 1 n = +x > 0 0
a) nem létezik; b) −∞ ; c) ∞; d) 0 ; e) egyéb.
16. Ha x , , és x az x x 0 egyenlet gyökei,
1 2
akkor az
x 3 x 4 3 2
− 2 + x + 2x + 1=
4
1 1 1 1
S = + + + összeg értéke
x −2 x −2
x −2 x −2
1 2 3 4
1
a) 0 ; b) 2 ; c) − ; d)
2
17
14
; e) − .
6 9
2
1 − x
17. Ha x ∈(0, ∞) , akkor arccos − 2arctgx
értéke
2
1 + x
2x
2x
2x
a) arcsin ; b) 0 ; c) arctg ; d) arccos ; e) 1.
2
2
2
1 + x
1 + x
1 + x
18. Az m paraméter milyen értékeire van a
2x −2x
1
2 2
1 x x 1
− − = 0
−2x − m x + m x − 2
egyenletnek egy kétszeres gyöke
a) m ∈ { ± 1}
; b) m ∈ { ± 2}
; c) m ∈ { ± 2}
;
d) m = 0 ; e) egyéb.
19. Hány olyan I ⊂ (I ≠ ) nyílt intervallum létezik, amelyre fI () = I,
⎧⎪ x, x ∈
ha f : → ,
fx ( ) = ⎪
⎨ .
3 ⎪⎪⎩ x , x ∈ \
a) 0 ; b) 2 ; c) 4 ; d) 8 ; e) 10 .
20. Az xn 2
x 4 6,
, sorozat pontosan akkor
n 1 n 1
konvergens, ha
x = − + n ≥ 2 x = a ∈
− −
1
a) a ≤ 3 ; b) 1≤a≤ 3; c) a > 3 ; d) a <
1 ; e) egyéb.

A19 teszt 63
A lényeges a szemnek láthatatlan
(Antoine de Saint-Exupéry)
A19 teszt
⎡
⎢2 ⎢
1. Ha A = ⎢1 ⎢
1
⎣
1
2
1
1⎤
⎥ 2
1⎥
és A = x ⋅ A+ y⋅I , akkor x + y értéke
3
⎥
2 ⎥
⎥⎦
a) − 2 ; b) 3 ; c) − 20 ; d) 12 ; e) 1.
2. Ha x , x és x az
1 2 3
x
1 −2
1 2
3 3
− 1 x 1 = 0 egyenlet gyökei, akkor x + x + x
x
1 2
értéke
a) 0 ; b) − 5 ; c) 12 ; d) − 15 ; e) egyéb.
⎧⎪
⎪2x
+ y = 8
⎪
3. A ⎪
⎨x
− y = 1 egyenletrendszer milyen m ∈ esetén összeférhető?
⎪ 5x + 4y
= m
⎪⎩
a) m = 12 ; b) m = 8 ; c) m = 41;
d) m = 23 ; e) m = 53.
⎡ 1+ 5a 4. Ha X() a = ⎢
−2a ⎣
alakja
10a
⎤
⎥ ,
1−4a⎥ ⎥ ⎦
∀a∈ , akkor Xa () ⋅ Xb () egyszerűbb
a) X(2a b−a − b + 1) ; b) X( a b−a− b)
; c) X( a b+ a+ b)
;
d) Xab ( −a− b+
1)
; e) egyéb.
1 1 1 1 1 1
∆2
5. Ha a ≠b ≠c ≠a, ∆ = a b c és ∆ = a b c , akkor 1
2
∆
2 2 2
3 3 3
1
a b c a b c
a)
3 3
a + b + c
3
2 2 2
a + b + c
; b) a b + bc + ca ; c) 1; d) ab c
;
3
3

64 A19 teszt
e) a + b + c.
2 2
6. A 2x + 2y − 3x + 4y
+ m = 0 egyenletű görbe pontosan akkor kör, ha
25
a) m > ;
8
25 25
b) m = ; c) m < ; d) m < 3 ;
8
8
e) m < 1 .
7. Ha az x + a y + bz + c = 0 egyenletű sík merőleges a 2x − z + 1=
0 és
y = 0 egyenletű síkokra és átmegy a P (2, −1,1)
ponton, akkor a + b + c
értéke
1
5
a) 0 ; b) − 2 ; c) 4 ; d) ; e)
3 7 .
x − 1 y + 1 z − 2
8. Ha P(,, x yz) az x − y + z − 2 = 0 sík és = = egyenes
1 3 4
metszéspontja, akkor xy + yz + zx értéke
1
a) 0 ; b) 8 ; c) − 4 ; d) ; e) egyéb.
7
9. A
⎛1⎞ lim ⎜
⎟
⎜⎝
⎟
x ⎠⎟
x→0
x>
0
tgx
határérték
a) 0 ; b) ∞; c) −∞ ; d) 1; e) egyéb.
−x−1 10. Hány szögpontja van az f : → ,
fx () = xe függvény grafikus
képének?
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 4 ; e) 10 .
1
11. Az x n =
1 + xn−1 , n ≥ 2 , x = 1 sorozat
1
a) monoton; b) nem korlátos; c) periodikus;
d) korlátos de nem periodikus; e) konvergens.
⎧⎪ 1, x ∈
12. Az f : → ,
fx () = ⎪
⎨ függvény
⎪0, x ∈ \
⎪⎩
a) folytonos; b) Darboux tulajdonságú; c) deriválható;
d) periodikus; e) egyéb.

A19 teszt 65
13. Ha x = 5x − 6xnés x = 5 , x 13,
akkor a
1 2
n+ 2 n+
1
= lim n
n→∞
x
n
határérték
a) nem létezik; b) 2 ; c) 3 ; d) 5 ; e) egyéb.
n
k
14. A lim ∑ sin határérték
n
2
n
→∞
k=
1
a) nem létezik; b) 1; c) 1
1
; d) ; e) 0 .
2 4
⎧⎪ 1 1
*
⎪
, x = , n ∈
n
2 n
15. Az f :[ −1,1] → , fx () = ⎪
⎨
⎪ ⎧
⎪ ⎪1* ⎪
0, x ∈− [ 1,1] \ ⎪
⎨ n ∈ ⎪
⎪
⎬
⎪⎪⎩ ⎪ ⎪⎩n ⎪ ⎪⎭
⎫
függvény
a) nem folytonos 0 -ban; b) nem deriválható 0 -ban; c) f ′ (0) = 0 ;
d) Darboux tulajdonságú; e) monoton.
x x x x
16. A 3 + 7 = 4 + 6 egyenlet megoldásainak száma
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 3 ; e) 4 .
2
x
17. Az f : → ,
fx ( ) = e
(100)
függvényre f (0) értéke
a) 1
;
200!
1
b) ;
100!
1
c) − ;
101!
d) 100!
− ;
200!
e) egyéb.
2 2 2
18. Az ABC háromszög csúcsai az x −y − a = 0 egyenletű hiperbolán
vannak. A háromszög milyen nevezetes pontja van a hiperbolán?
a) súlypont; b) ortocentrum; c) beírt kör középpontja;
d) köréje írt kör középpontja; e) egyéb.
19. Egy ellipszis fókuszának egy változó érintőre eső vetületének mértani
helye
a) egy parabola; b) egy kör; c) egy hiperbola;
d) ellipszis de nem kör; e) egyéb.
1
20. Az A ∈ Ox és B ∈ Oy mozgó pontokra +
OA OB
1 állandó.
a) az egyenesek összefutók; b) véges sok AB egyenes lehetséges;
2 2
c) az AB egyenesek érintik az x + y = 1 egyenletű kört;
d) az AB szakasz felezőpontja egy parabolán mozog; e) egyéb.

66 A20 teszt
A 20 teszt
Amiről beszélni lehet, arról egyszerűen is lehet beszélni,
amiről nem lehet egyszerűen beszélni, arról jobb hallgatni
(Ludwig Wittgenstein)
1. A G = (5, ∞) halmazon x ∗ y = xy −5x − 5y + 30,
∀xy , ∈G.
Melyik
állítás igaz?
a) ( G, ∗)
nem csoport; b) ∗ nem asszociatív művelet G -n;
c) ( G, ∗ ) csoport és izomorf az ( ,
+ ) csoporttal;
d) ( G, ∗)
-ban nincs semleges elem;
*
e) ( G, ∗)
csoport és izomorf az ( ,⋅)
csoporttal.
xy
2. Adott az A = (0,1) halmaz és az x ∗ y =
2xy −x− y + 1
, ∀xy , ∈A
művelet. Melyik állítás nem igaz?
a) ( A, ∗)
csoport;
*
b) ( A , ∗) ( , ⋅)
; + c) ( A, ∗ ) ( ,
+ ) ;
*
d) ( A, ∗) ( , ⋅ ) ; e) létezik f :(0,1) →(0, ∞ ) ,
ax + b
fx ( ) = alakú
1 − x
*
izomorfizmus ( A,
∗)
és ( , ) közt.
+ ⋅
3. Az I = [8,10] halmazon értelmezzük az x ∗ y = xy − 9( x + y)
+ 90 ,
∀xy
, ∈Iműveletet.
Az I invertálható elemeinek száma
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) végtelen; e) egyéb.
4. Ha x ∗ y = x + y + xy,
∀xy , ∈ , akkor a ∗ szerint invertálható elemek
összege
a) − 2 ; b) 0 ; c) 1; d) − 1 ; e) 12 .
2 2
5. Az M = { u + v u, v ∈ [ i]
} halmaz a komplex számok szorzásával
monoidot alkot. A monoid invertálható elemeinek száma
a) 1; b) 2 ; c) 4 ; d) 6 ; e) egyéb.
n
2
6. Adott a = { n :(2, ∞) →(2, ∞ ) fn( x) = 2 + ( x −2) , n ∈ }
G f halmaz.
Ha g : (2, ∞) →(2, ∞ ) , ( g f ) ( x) = x , ∀ x > 2,
akkor
n

A20 teszt 67
a) g ∉ G;
b) g = f n ; c) g f−n; d) g = f ; e) egyéb.
= 0
⎡
⎢ 2
⎢
7. Ha A = ⎢−1 ⎢
−1 ⎣
−1 2
−1
−1⎤
⎡
⎥ ⎢1 ⎥ ⎢
−1⎥,
B = ⎢1 ⎥ ⎢
2 ⎥ ⎢
⎥
1
⎦ ⎢⎣ 1
1
1
1⎤
⎥ ⎧⎪t1* ⎫⎪
1⎥
és G = ⎪
⎨ A + B t ∈ ⎪
2 ⎬,
⎥ ⎪ ⎪⎩3 3t
⎪ ⎪⎭
1 ⎥
⎥⎦
akkor a G halmaz a mátrixok szorzásával
a) nem csoport mert I G; 3 ∉
b) nem csoport mert G -ben létezik szinguláris mátrix;
c) nem csoport, mert a szorzás nem kommutatív; d) csoport; e) egyéb.
x + y
8. Ha G = ( −1,1)
és x ∗ y = , ∀xy , ∈G,
akkor
1 + xy
1
a) ( G, ∗)
semleges eleme ;
2
1
b) inverz eleme ( , -ban
2 )
1
G ∗
2 ;
c) a ∗ művelet nem asszociatív G -n;
e) egyéb.
d)( G, ∗)
csoport;
⎪⎧ ⎪
⎡2x 9. Az M = ⎪
⎨A∈ M ( ) A= ⎢
2 ⎪ ⎢
⎪
y
⎪⎩ ⎢⎣ a mátrixok szorzása
3y⎤
⎪⎫
⎥
2 2 ⎪
, x, y ∈ , 4x − 3y = 1⎪
⎬
2x⎥
halmazban
⎥
⎪
⎦
⎪⎭⎪
a) nem asszociatív; b) nem kommutatív;
c) nem rendelkezik semleges elemmel;
d) nem határoz meg csoport struktúrát; e) egyéb.
⎧⎪ ax, x 0⎫
⎪
⎧⎪
> ⎪
10. A H = a : a 0, fa( x)
⎪
⎨
⎪f → > = ⎨ ⎬
⎪ halmazban tekintjük a
⎪ ⎪⎩
⎪0, x ≤ 0⎪
⎪⎩ ⎪
⎭
függvények összetételét. Melyik állítás igaz?
a) ( H, ) nem csoport, mert egyetlen fa
függvénynek sincs inverze;
b) ( H, )
nem csoport, mert nincs semleges eleme;
c) ( H, ) Ábel-féle csoport; d) ( H, )
nem kommutatív csoport;
e) egyéb.
, akkor a ( [
i ], + , ⋅)
gyűrű egységeinek száma
11. Ha [] i = { a + ib a, b ∈ }
a) végtelen sok; b) 1; c) 2 ; d) 4
; e) 0 .

68 A20 teszt
12. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az
x ∗ y = axy + b( x + y) + c,
∀xy , ∈ művelet asszociatív legyen -n az,
hogy
2
a) b > b + ac;
2
b) b − b = ac;
2
c) b − b + ac = 0 ;
2
d) b − b + ac > 0 ; e) egyéb.
13. Ha x ⊕ y = x + y + a,
∀xy , ∈ és x ⊗ y = ( x + a)( y + a) −a
,
∀xy , ∈ , akkor
a) ( , ⊕⊗ , ) nem gyűrű; b) ( ,
⊕⊗ , ) test;
c) a ( ,
⊕⊗ , ) gyűrűben léteznek zérusosztók;
d) a ( , ⊕⊗ , ) gyűrűben két egység létezik és ezek összege − 2a ;
e) egyéb.
⎡ ⎢
2
14. Ha X = ⎢
⎢ ⎢
1
⎣
1⎤
⎥ és X ∈ M ( ) , akkor
2 6
3 ⎥
⎥⎦
a) X nem invertálható; b) X inverzében az elemek összege 2 ;
⎡ 2 ⎢
1
c) X + X =− ⎢
⎢ ⎢
0
⎣
e) egyéb.
0⎤
⎥
⎥;
1
⎥
⎥⎦
⎡0 *
k ⎢
d) létezik olyan k ∈ , hogy X = ⎢
⎢0 ⎣
0⎤
⎥
⎥;
0⎥
⎦
15. ) -ban az ⎪ ⎧⎪
⎪x
+ 2y + z = 5
⎪
( , + , ⋅ ⎨ 2x + y + 3z = 9
egyenletrendszer megoldásainak
12
⎪ 10 x + 11 y
+ 5
z = 7
⎪⎩
száma
a) 0 ; b) 1; c) 12 ; d) 144 ; e) egyéb.
3 2
16. Hány gyöke van ( , + , ⋅)
-ban az f = X − X + 2
polinomnak?
6
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 3 ; e) 4 .
17. Az
3
( , + ,, ⋅ )
vektortérben a v = (1, −1,1) , 1 v = (2, −3,
0) ,
2
v = ( − 1,1,2)
és v = (1,
3, 2) vektorok
4
3
a) lineárisan függetlenek; b) generáló rendszert alkotnak;

A20 teszt 69
c) egy 1 dimenziós alteret generálnak;
d) egy 2 dimenziós alteret generálnak; e) egyéb.
18. Határozd meg a v = (13, −1,
7) vektor koordinátáit a v = (1, −1,
2) ,
1
v = ( −1,1, −1) és v 2 3
koordináták összege
= (2,1, 0) vektorok által alkotott bázisra nézve. A
a) 7 ; b) 21 ; c) 3 ; d) 12 ; e) 0 .
19. Ha [
X ] -ben f = X , 1
2
f = X + 1 , 2
és
3 2X − , akkor az f , , f és elemekből legtöbb hány darab
1 3 4
lineárisan független választható ki?
f
2
f = 2X − X + 1
3
f4 2
= X + 1 2 f
a) 0 ; b) 1; c) ;2 d) 3 ; e) 4 .
20. A V = { y : → y′′ + 3y′ + 2y
= 0}
halmaz a függvények
összeadásával és skalárral való szorzással vektorteret alkot. Mennyi ennek a
vektortérnek a dimenziója?
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 5
; e) egyéb.

70 A21 teszt
A 21 teszt
tanulni kell mindazt, ami kitárul,
ami világít ami jel:
tanulni kell, szeretni kell
(Nemes Nagy Ágnes)
1. Ha x ∗ y = xy − ax + by,
∀xy , ∈ és ab ≠ 0 , akkor az ( ,
∗)
monoid
invertálható elemeinek halmaza
a) ; b) \{ −1}
; c) \{1} ; d) \{0} ; e) egyéb.
2. Az M = (1, ∞) halmaz az x ∗ y = xy + ax + by + c,
∀ xy , > 1
művelettel csoportot alkot. Az a + b + c értéke
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 3 ; e) egyéb.
3. Az halmaz az
n n n
*
x ∗ y = x + y , ∀ xy , ∈ művelettel (n )
pontosan akkor alkot az ( ,
+ ) csoporttal izomorf csoportot, ha
a) n = 1;
e) egyéb.
b) n -páros; c) n -páratlan; d) n = 6k + 1,
k ∈ ;
∈
4. Adott az
⎡0 ⎢
1
A = ⎢ 0
⎢
0
⎣
0
0
0
1
x
0
0
0
0⎤
⎥
0 ⎥ mátrix, ahol
y ⎥
0 ⎥
⎥⎦
xy , ∈− [ 1, 0)
. Ha az
{ n
M = A n ∈ } * halmaz a mátrixok szorzásával csoport, akkor x + y
értéke
a) − 2 ; b) − 1 ;
1
c) − ;
2
1
d) − ;
4
1
e) − .
8
ln y−1
5. Ha M = ( 1, ∞)
\ {2} és x ∗ y = ( x − 1) + 1 , ∀xy , ∈Makkor
a) ∗ nem asszociatív M -en; b) ∗ -nak nincs semleges eleme;
c) léteznek M -ben ∗ -ra nézve nem invertálható elemek;
d) ( M, ∗ ) csoport; e) ( M, ∗ ) ( , + )
.

A21 teszt 71
⎪⎧⎡ ⎪0 ⎪⎢ ⎪⎢
6. A G = ⎨
⎪
⎢0 ⎪⎢ ⎪
⎢0 ⎪⎩⎢⎣ 0
a
0
0⎤
⎪⎫
⎥ ⎪
⎥
⎪
0⎥a
∈ ⎬
⎪ halmazban a mátrixok szorzását tekintjük
⎥ ⎪
0⎥
⎪
⎥⎦
⎪ ⎪⎭
műveletnek. Melyik állítás igaz?
a) ( G, ∗)
nem csoport, mert az elemei nem invertálhatók;
b) ( G, ∗)
nem csoport, mert nincs semleges eleme;
c) ( G, ∗)
nem csoport, mert a ∗ művelet nem asszociatív G -n;
d) ( G, ∗)
nem csoport, mert a ∗ művelet nem kommutatív; e) egyéb.
7. A ( , + , ⋅)
gyűrűben a zérusosztók összege
15
a) ; b) 0 1 ; c) ; 5 d) 11; e) egyéb.
8. Az ( M ( ),
+ , ⋅)
gyűrű egységeinek száma
n
2
a) végtelen sok; b) 0 ; c) 1; d) n ; e) egyéb.
9. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az ( a, ∞)
halmaz zárt része
legyen -nek az x ∗ y = xy − a( x + y) + b,
∀xy
, ∈ műveletre nézve az,
hogy
2
2
a) b = a ( a + 1)
; b) b ≥ a ( a + 1)
; c) b = a ; d) b ≥ ( a + 1)
; e) egyéb.
10. Ha H egy zárt és véges része -nek a szorzásra nézve és 0 ∉ H , akkor
a) ( H, ⋅ ) csoport; b) ( H , + ,) ⋅ test; c) ( H , + ,) ⋅ zérusosztómentes gyűrű;
d) ( H , + ,) ⋅ nem test, mert tartalmaz zérusosztókat; e) egyéb.
⎧⎪⎡a b c⎤
⎫
⎪
⎪
⎪⎢ ⎥
⎪
⎪⎢ ⎥
⎪
11. Ha A= ⎪
⎨⎢0
a dabcd ⎥ , , , ∈ ⎪
⎬,
akkor az ( A , + ,) ⋅ struktúra
⎪⎢ ⎪ ⎥
⎪⎢ ⎪
⎪0 0 a⎥
⎪
⎪⎩⎢⎣⎥⎦ ⎪ ⎪⎭
a) test de nem kommutatív; b) zérusosztómentes gyűrű; c) kommutatív test;
d) nem kommutatív és zérusosztóval rendelkező gyűrű; e) egyéb.
3
12. Ha r az f =
2
2X
+ X + 4 polinimnak a g = 3
X + X polinommal való
osztási maradéka, fgr , , ∈ [ X]
, akkor r (2) értéke
5
a) ; b) 0 ; c) 4 ; d) ; e) 2 3 1
.

72 A21 teszt
13. ( , -ban a ⎪ ⎧⎪ x + y + z =
⎪
4
⎪
+ ,) ⋅ ⎨⎪ 2x + y + 3z
= 3
egyenletrendszer megoldásainak száma
6
⎪
⎪x
+ 2y + 5z
= 1
⎪⎩
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 3 ; e) 4 .
3 2
14. ] -ben az f = X − X + 2
polinom gyökeinek szorzata
6 [X
a) 4 ; b) ; c) ; d) ; e) 3 1 0 2
.
15. Ha x ∗ y = xy −2x − 2y
+ 6 , ∀xy , ∈ , akkor x ∗x ∗... ∗x
értéke
100
100 100
100
100
100 100
a) 2 + x ; b) ( x − 2 ) + 2;
c) x + 2 ; d) ( x −2 ) −2
; e) egyéb.
3
16. Az f :
függvény
3
→ , fxyz (,, ) = ( x+ 2 y−z, −2x− y+ 3, z− x+ y+ 2) z
a) injektív; b) szürjektív; c) képtere 1 dimenziós;
d) képtere 2 dimenziós; e) egyéb.
4
17. Az ( , + , ⋅)
vektortérben a v = (1, 2,1, 0) , v = ( −1,3,2,1)
és
2
v = (2, −1, −2,1)
vektorok
3
a) lineárisan függetlenek ; b) generáló rendszert alkotnak;
c) bázist alkotnak; d) egy kétdimenziós alteret generálnak; e) egyéb.
18. Ha v = (1,1, 0) , v = (1, 0,1) , v = (0,1,2) , akkor a v = ( −1,4,4)
vektor
3
v { v , v ,
1 2
1
3 }
2
bázisra vonatkozó koordinátáinak az összege
a) 0 ; b) 2 ; c) − 7 ; d) 12 ; e) 9.
{ }
19. Az M = ( x n) ⊂ x = ax + bx , ∀n ≥1
n≥1 n+ 2 n+
1 n (a és b rögzített)
halmaz vektortér a számsorozatok összeadására illetve a skalárral való
szorzásra nézve. Az ( M , + ,, ⋅ )
vektortér dimenziója
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) végtelen; e) egyéb.
}
20. Az { (1 ) halmaz a komplex számok szorzásával csoportot
k
+ i k ∈
alkot. Hány izomorfizmusa van ennek a csoportnak.
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) végtelen; e) egyéb.
1

A22 teszt 73
A22 teszt
1. Az
1
xdx
∫ integrál értéke
2
x + 3x + 2
0
a) 2l n3− 3ln2;
b)
4
ln ; c)
27
Felejteni annyi, mint emlékezni:
név szerint, év szerint mindenre, mindenkire
(Képes Géza)
27
ln ; d)
4
2. Az ∫
dx
x ∈ (0,1) halmaz egy eleme
x(1 − x)
x
a) arcsi n
1 −
x
; b) arctg ;
x
1 − x
c) arctg( − x ) ;
d) 2arcsin x ; e) egyéb.
3. Az
1 3
8
0 1
x
∫ dx értéke
+ x
π
a) ; b)
2
2
π
; c)
4
16
8
ln 9 ; e)
9
ln .
4
π π π
; d) ; e) .
8
12
ln(ln x)
4. Ha F :( e, ∞) → az f :( e, ∞) → , fx ( ) = függvény egy
x
x
Fe ( ) − 1 1
primitívje és F() e = 0,
akkor a lim sin
x→∞
lnx − 1 x határérték
a) nem létezik; b) ∞; c) −∞ ; d) 0 ; e) 1.
π
x ⋅ sin x
5. Az ∫ dx integrál értéke
2
1+ cos x
a)
0
2
π π 2
; b) ; c) ; d)
4
2
π
n 2
k
6. Ha S n = ∑ , akkor a lim
k + 1
n S
határérték
n→∞
n
k=
1
2
π
; e) 0 .
8

74 A22 teszt
a) 0 ; b)
1
ln 2 − ; c) ∞; d)
2
1 ln 2 ; e)
2
1 ln 2 .
2
n
2
7. Az In( x) = ∫ x 1+
x dx határozatlan integrálra felírt rekurzió
n−1
2 2
x (1 − x ) 1 + x n − 1
a) In= − I ( x)
; n−2
n + 2 n + 2
n−1
2 2
x (1 + x ) 1 + x n − 1
b) In= + I ( x)
; n−2
n + 2 n + 2
n−1
2 2
x (1 + x ) 1 + x n − 1
c) In= − I ( x)
; n−2
n + 2 n + 2
d) I
(1 ) 1 1
I ( x ) ; e) egyéb.
n + 2 n + 2
n−1
2 2
x − x + x n −
n = +
n−2
8. Az f : → ,
⎧⎪ x 1
⎪e ⋅sin ,
fx ( ) = ⎪
⎨ x
⎪⎪
a, ⎪⎩
x ≠ 0
függvény pontosan akkor
x = 0
primitiválható, ha
a) a ∈ ; b) a = 0 ; c) a ∈− [ 1, 1]
; d) a ∈( −1, 1)
; e) a = π .
9. Az
1 2
1 − x
∫ dx integrál értéke
2
1 x
2
2
π
π
π
π
a) 0 ; b) 1 + ; c) 1 − ; d) 1 − ; e) 1 − .
4
4
16
6
x + [ x]
10. Ha f :[ −1,1] → , fx () = , akkor értéke
x + [ x]
+ 2 ∫ fxdx ( )
−1
a) 0 ;
2
b) ln ;
3
4
c) ln ;
9
3
d) 2ln ;
2
e) 1.
⎛ 2 ⎞
11. Ha f : → , fx () = min ⎜
⎜x, ⎟
⎜⎝ 2 ⎟
1 + x ⎠⎟
és F : → az a primitívje,
amelyre F (0) =
0 , akkor F (1) értéke
1

A22 teszt 75
π 1
a) 0 ; b) ; c) π ; d) ; e) egyéb.
2
2
2
12. Az y + 2x
= 4 és x + y = 2 egyenletű görbék által határolt korlátos
tartomány területe
a) 5 1
2
2 π
; b) ; c) ; d) ; e) egyéb.
3 3 3 3
13. Az
x = 0 = 1
2
y = x − 4x + 3 , és x görbék által határolt síkidom Ox
körüli forgásából származó forgástest térfogata
a) 38π
;
15
41π
b) ;
16
30π
c) ;
13
42π
d) ;
17
29π
e) .
14
⎧⎪ 0,
⎪
14. Az f : → ,
fx () = ⎪
⎨
⎪
1 1
⎪sin
− cos x, ⎪⎩ x x
x ≤ 0
függvény
x > 0
a) injektív; b) folytonos; c) Darboux tulajdonságú;
d) nem primitiválható; e) integrálható [0,1] -n.
( n) x
( n 1)
15. Ha y () x = xe és y(0) y (0) ... y (0) 0 , akkor yn értéke
−
= ′ = = = ( )
n
n−k n
a) ∑ k ⋅ ;
k=
1 ( n − k)
!
n
n−k n
k
n
( n − k)
b) ∑ ( n −k) ⋅ ; c) ∑ ( n −k) ⋅ ;
k=
1 k ! k=
1
k !
d) 0 ; e) 1.
1
arcsin x
x
16. Ha A= ∫ d x és B =
x ∫ d x,
akkor
sin x
3
2
π
2
π
3
a) A< B; b) A+ B = 1;
c) A> B + 1;
d) A= B ; e) egyéb.
n
dx
17. A lim dx
n→∞
∫ határérték
2
[ x] + [ x]
1
a) 0 ; b) 1; c) 1
; d) ; e) egyéb.
2 2

76 A22 teszt
t
arctg x
18. A lim dx
t→∞
∫ határérték
2
1 + x
a)
19. Ha
0
2
π
;
2
b)
3
I
n
1
n
xdx
2 2
x + 2x + a + 1
0
π π
; c) ; d)
8
π .
2
π
; e)
8
4
2
= ∫ , akkor az I + 2 I + ( a + 1)I összeg
n+ 2 n+ 1
n
értéke
n
a) ;
n + 1
1
b) ;
n + 1
1
c) ;
n + 2
d)
π
2
20. Ha sin n
In= ∫ x dx, ∀n≥1, akkor I értéke (k ∈ )
2k+ 1
0
(2 k)!
(2 k)!!
a) ; b) ; c)
(2k + 1)! (2k + 1)!!
1
; d)
(2k + 1)!!
n + 1
n + 2
; e) egyéb.
(2 k)!
; e) egyéb.
(2k + 1)!!

A23 teszt 77
A23 teszt
1. Az
e
sin(ln x) ∫ dx integrál értéke
x
1
Megszólal a kimondhatatlan,
de nem mondja ki önmagát
(Weöres Sándor)
a) 1−c ose;
b) 1−c os1;
c) cos e − 1;
d) e − cose;
e) 1+ c os1.
2
(arcsin x) 2. Az ∫ dx halmaz egy eleme
2
1 − x
3
arcsin x arcsin x arcsin x
a) ; b) ; c) ; d)
2
2
1 − x 3 x 1 − x
∫
3. Az sin(ln xdx ) , x > 0 határozatlan integrál
arctg x
1
2x
arctg .
1 + x
2
− x
; e) 2
1
1
a) ( x sin(ln x) + cos(ln x)
) + C ; b) ( x sin(ln x) − cos(ln x)
) +C ;
2 2
x
1
c) ( sin(ln x) − cos(ln x)
) +C ; d) ( sin(ln x) − x cos(ln x) ) + C ;
2
2
1
e) ( x sin(ln x) + x cos(ln x)
) +C .
2
1−ε
x ⋅ arcsin x
4. Ha I () ε = ∫
dx , akkor a lim I(
ε)
határérték
2
ε→0
− 1+
ε 1 − x
a) nem létezik; b) 2 ; c) 0 ; d) ∞ ; e) −∞ .
5. Az
a)
2π
dx
∫ integrál értéke
2+ cosx
0
π 3
3
; b)
π
3
2 3
n
k
6. Ha S n = ∑ , akkor a lim S
2 2
n határérték
k + n
n→∞
k=
1
; c) 2π
4π
2π
; d) ; e) .
3
3
3

78 A23 teszt
a) nem létezik; b) 0 ; c) ln 2 ; d)
1 ln 2
2
; e) 1 e
ln .
2 2
7. Az f : → ,
⎧ 2
⎪x
, x ≤ 0
fx ( ) = ⎪
⎨ függvény pontosan akkor
x ⎪ e + m, x > 0
⎪⎩
primitiválható, ha
a) m = 0 ; b) m = −1 ; c) m = π ; d) m = 2 ; e) egyéb.
8. A
5
dx
∫ 2x + 3x
+ 1
0
integrál értéke
a) 0 ; b) ln112
5
4
∫
x 2
9. Az max(2 , x ) dx integrál értéke
a)
0
3 5
+
ln 2 3
6 ; b)
; c) ln120
6
ln 3 49
− ; c)
3 2
; d) 2ln12
5
ln 2 50
+ ; d)
3 3
; e)
ln 3
4 .
3 5
−
ln 2 3
2 ; e) 2
ln 2 .
⎧ 2
⎪1
−x , x ∈( −1,1)
10. Ha f : → ,
fx ( ) = ⎪
⎨ és F : →
⎪1 − x , x ∈( −∞, −1) ∪(1,
∞ )
⎪⎩
az f egy olyan primitívje, amelyre F (0) = 0 . Az F(2) −F(
−2)
különbség
értéke
a) 0 ; b) 1
1
5
; c) ; d) ; e) egyéb.
3 6 6
⎡ 3⎤
2
11. Az f :0, ⎢ ⎥ → , fx () = x függvény grafikus képének az Ox körüli
⎢⎣ 8⎥⎦
forgásából származó test forgásfelszíne
a) 255π
π (420 + ln 2)
π(115 − ln 2)
; b) ; c) ;
4096
1024
1024
π(255 − 2 ln 2)
d) ; e) egyéb.
4096
⎡π π⎤
12. Az f : ⎢ , ⎥ → , fx () =
lnsinxfüggvény
ívhossza
⎢⎣3 2⎥⎦

A23 teszt 79
a)
ln 2
3
ln 3 ln 2
; b) ; c)
2 2
ln 3
; d) ; e)
3
⎧⎪ ln( x − 2)
⎪ ,
13. Az f :(2,4) → , fx () = ⎪
⎨ x − 3
⎪⎪
0,
⎪⎩
x ≠ 3
függvény
x = 3
a) folytonos; b) Darboux tulajdonságú; c) primitiválható;
d) integrálható; e) monoton.
2
ln .
3
2
14. Ha f : → ,
fx ( ) = inf( t − 2 t)
és F : → a f egy primitívje,
akkor F (2) − F(0)
értéke
a)
8
− ; b)
3
t≤x 7
− ; c) − 2 ; d)
3
5
− ; e)
3
4
− .
3
15. Az f : → ,
⎧⎪ x 1
⎪e sin ,
fx () = ⎪
⎨ x
⎪⎪
a, ⎪⎩
x ≠ 0
függvény pontosan akkor
x = 0
Darboux tulajdonságú, ha
a) a ∈− [ 1,1]
; b) a ∈( −1,1) ; c) a = 0 ;
⎡ 1 1⎤
d) a ∈− ⎢ , ⎥ ; e) egyéb.
⎢⎣ 2 2⎥⎦
16. Az
π π
2 4
∫ arctg(sin xdx ) + ∫ arcsin(tg xdx ) összeg értéke
0 0
2
a) 3π
; b)
4
1
π
; c)
8
−x
n
17. Ha In= ∫ e ⋅ x dx , ∀n≥1, akkor
0
2
π
; d)
4
4
π ; e) 0 .
n
n ! ⎛ ⎞
a) n = ⎜ − ⎟
e ⎜⎝ ∑
k=
0 k!
⎠⎟
1
I e ; b) I n
1
> ;
n + 1
1
c) I n < ;
( n + 1) e
1
d) In− nI = ; n−1
e
e) egyéb.

80 A23 teszt
18. Ha f :0, [ ∞) →[ m, M] folytonos függvény és 0 < m < M , akkor a
1
lim
t→∞ 2
t
t
∫
0
fxdx ( ) határérték
a) nem létezik; b) 1; c) 2 ; d) 0 ; e)
1
ln(1 + x) 19. Ha gt () = ∫ dx,
akkor a lim gt ( ) határérték
2
x
t→0
t
m + M
.
2
a) nem létezik; b) −∞ ; c) ∞; d) 0 ; e) egyéb.
20. Ha y : → deriválható függvény, y′′ ( x ) + y( x) = 0, ∀x ∈ ,
⎛π⎞ y (0) = 0 és y ′ (0) = 1,
akkor y ⎜
⎟
⎜⎝ ⎟
6 ⎠⎟
értéke
a) 1
;
2
b)
3
;
2
c)
2
2 ; d) 2 ; e) 1 3 +
2
.

A24 teszt 81
A24 teszt
1. Az
1
2
0 1
x
edx
∫ integrál értéke
x
+ e
The words or the language, as they are written or spoken,
do not seem to play any rôle
in my mechanism of thought
(Albert Einstein)
π
2 π
a) arc tge ; b) arc tge
+ ; c) arctg e − ;
4
2
π
d) arctge
− ; e) egyéb.
4
2. Az
π
2
4
sin ⋅ cos
∫
0
x xdx
integrál értéke
π π 1 4
a) 0 ; b) ; c) ; d) ; e)
2
5
5
7 .
3. Az
a)
a
∫
−a
2 2
a π
8
2 2
a − x d
x integrál értéke
2
2
a π a π
; b) ; c) ; d)
4
8
2
a π
; e)
2
a π
4
4. Az f : → ,
fx ( ) =
2
x − 2x+ 1 +
2
x − 6x+ 9 függvény
F : → primitívjére F(0)
= 0 . F(3)
értéke
a) 4 ; b) 5; c) 9; d) 8 ; e) 7 .
xy − 2
5. Adott a G = ( −∞ ,1)
halmaz és x ∗ y = , ∀xy , ∈G.
Melyik
x + y − 3
állítás igaz?
a) ( G, ∗) csoport; b) ∗ nem asszociatív G -n; c) ∗ nem kommutatív G -n;
d) a ∗ műveletre nézve G -ben nincs semleges elem;
e) ∗ nem belső művelet G -n.
2 2
.

82 A24 teszt
6. Az I = [ −1,1]
halmazon értelmezzük az
2 2
∗ = − −
x y xy x y
2 2
x − y + 1 , ∀xy , ∈[ −1, 1] műveletet. Melyik állítás
igaz?
a) ∗ nem belső művelet G -n; b) a ∗ műveletnek nincs semleges eleme;
c) a ∗ művelet nem asszociatív; d) ( I, ∗ ) csoport; e) ( I \ {0}, ∗)
csoport.
7. A G = {2, 4, 6, 8} halmazon értelmezzük az a ∗ b = r műveletet, ahol r az
a⋅b szorzat 10 -zel való osztási maradéka. Melyik állítás nem igaz?
a) ( G, ∗ ) csoport; b) ( G, ∗) ( H,
⋅) , ahol H = { −1,1, −i
, i}
;
c) ( G, ∗ ) ( , + ) ; d) ( G, ∗) (
K,
)
, ahol K a Klein csoport; e) egyéb.
4
⎧⎪⎡x y⎤
⎫⎪
8. Ha G =
⎪ x, y
⎪
⎨⎢ ⎥ ⎪
⎢
∈
2y
x⎥
5⎬,
akkor
⎪
⎪⎢⎣ ⎥⎦
⎪
⎪⎩ ⎪ ⎪⎭
a) ( G , + , ⋅ ) test; b) a ( G , + , ⋅)
gyűrűben van zérusosztó ;
c) a ( G , + ,) ⋅ struktúra nem gyűrű, mert a mátrixok szorzása nem belső
művelet G -n;
d) a ( G , + , ⋅)
gyűrű nem test, mert léteznek nem invertálható elemek;
e) egyéb.
9. A ( , + , ⋅)
gyűrű egységeinek összege
12
a) ; b) ; c) 0 1 2 ; d) 11; e) 10 .
12
10. Hány részcsoportja van az U = { z ∈ z = 1 csoportnak? (a művelet
12
}
a komplex számok szorzása)
a) 1; b) 2 ; c) 4 ; d) 6 ; e) 7 .
1
11.( , -ban a ⎪ ⎧⎪ 2x + 4y
=
+ , ⋅)
⎨⎪
egyenletrendszer megoldásainak száma
5
x + 2y = 2
⎪⎩
a) 0 ; b) 1; c) 2 ; d) 4 ; e) egyéb.
3
12. v = (1, 2, −1) , v = (3, −1,2) és v = (5, 3, 0) az ( , + ,, ⋅ )
-ben
1 2 3
a) bázist alkot; b) lineárisan független rendszert alkot;
c) generáló rendszert alkot; d) egy kétdimenziós alteret határoz meg;
e) egyéb.

A24 teszt 83
1
x
13. Ha I e , akkor
−
= ∫ dx
0
2
1
π
π
π
1
a) I < ; b) I > ; c) I ≤ ; d) I > ; e) I < . 2
e
4
4
3
e
14. Az f : → ,
primitiválható, ha
a) c = 0 ; b)
⎧⎪ 3 1
⎪sin , x ≠ 0
fx () = ⎪
⎨ x
⎪⎪
c, x = 0
⎪⎩
2 π
c = ; c) ; d)
π 2
függvény pontosan akkor
2
π
; e) 2
n−1
1 kπ
15. A lim ∑ sin határérték
n→∞
n k=
1 n
a) nem létezik; b) 0 ;
2
c) ;
π
2
π
d) ;
12
π
e) .
4
⎧⎪ 0, x ∈
16. Az f :[0,1] → [0,1] , fx ( ) = ⎪
⎨ függvény
⎪1, x ∈ \
⎪⎩
1
∫
a) integrálható és fxdx= ( ) 1;
b) integrálható és fxdx= ( ) 0;
0
2
1
∫
0
1
2
π .
c) nem integrálható; d) integrálható és fxdx∈ ( ) (0,1) ;
e) egyéb.
2 2
x y
17. Az + = 1 egyenletű ellipszis Ox körüli forgatásából származó test
2 2
a b
(ellipszoid) térfogata
2
4πab
a) ;
3
e) egyéb.
2
4πab
b) ;
3
3 3
2 π ( a + b )
c)
;
3
6
π ( a + b)
d) ;
6
∫
0

84 A24 teszt
⎧⎪ ax, x ∈
18. Tekintjük az fa : → ,
fa( x)
= ⎪
⎨ alakú függvényeket és
⎪0, x ∈ \
⎪⎩
a K f halmazt. Melyik állítás igaz?
= { a a ∈ }
a) ( K , + , ) kommutatív test; b) ( K , + , )
test de nem kommutatív;
c) ( K , + , )
zérusosztóval rendelkező kommutatív gyűrű;
d) ( K , + , )
zérusosztómentes nem kommutatív gyűrű; e) egyéb.
2
19. Hány bázisa van a ( , + ,, ⋅ ) vektortérnek?
2
2
a) 1; b) 2 ; c) 3 ; d) 4 ; e) egyéb.
2
arctg x
20. Az ∫ dx integrál értéke
2
x + 2x + 2
0
a) arc tg2 ;
1
b) arctg 2 + arctg ;
2
1
c) arctg 2
2 ⋅ arctg ;
1
d) arctg 2 − arctg ;
2
1 1
e) arctg 2 ⋅ arctg .
2 2