Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

More documents

Recommendations

Info

$P 0.1 Stabilişti natura şsi suma seriilor: a) Σ 1 n\ ; b) Σ arctan 1 n# + n ...$

242 Lineáris egyenletrendszerek megoldása Mivel minden lépésben megváltozik a determináns előjele ezért detA =− detA. Tehát két sor (vagy oszlop) felcserélésével a determinánsnak csak az előjele változik meg. Következmény. Ha egy determináns két sora (vagy oszlopa) azonos, akkor a determináns értéke 0. Bizonyítás. A két sort (vagy oszlopot) felcserélve megváltozik a determináns előjele. Ugyanakkor, mivel a két sor azonos, ugyanazt a determinánst kapjuk. Ez csak akkor lehetséges, ha a determináns 0. b) A determináns értelmezésében szereplő szorzatok tényezői úgy helyezkednek el, hogy minden sorból és minden oszlopból pontosan egy elem kerüljön a szorzatba. Így, ha egy sor (vagy oszlop) minden elemét szorozzuk α -val, akkor a determináns is szorzódik α -val. Következmény. Ha egy determináns két sora (vagy oszlopa) arányos, akkor a determináns 0. Bizonyítás. Jelöljük A -val a mátrixot, amelynek két sora arányos. a = α ⋅a , j = 1, 3 egyenlőségek alapján α ⋅ detA = detA = 0 , ahol A -et az Az ij ij 1 2 A -ból úgy kapjuk, hogy az i -edik sort szorozzuk α -val. (Ha α = 0 , akkor A -nak 1 van egy csupa nullából álló sora, míg ellenkező esetben A -nek van két azonos sora). 1 c) A háromszögszabályban szereplő két ábra szimmetrikus a főátlóra nézve, ezért ha az elemeket a főátlóra nézve tükrözzük, akkor a determináns értéke ne m változik, azaz egy mátrix determinánsa egyenlő a transzponáltjának a determinánsával: d) Mivel z z z z 1 2 1 2 t detA detA a a a a a a 11 12 13 11 21 31 a a a = a a a = ⇔ 21 22 23 12 22 32 a a a a a a 31 32 33 13 23 33 ⋅ = ⋅ és z + z = z + z ∀z , z ∈ , írhatjuk, hogy 1 2 1 2 1 2 a11 detA= detA ⇔ a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 ⎛ ⎜a ⎜ 11 ⎜ = ⎜ ⎜a21 ⎜ ⎜⎝ a31 a12 a22 a32 a ⎞ ⎟ 13 ⎟ a ⎟ 23 ⎟ , a33 ⎠⎟ Feladat. Fejezzük ki a 3× 3-as determinánst 2× 2-es determinánsok segítségével. Megoldás. Csoportosítjuk a tagokat az első oszlop elemei szerint: detA = a a a + a a a + a a a −a a a −a a a − a a a = 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 23 31 13 21 32 = a ⋅( a a −a a ) −a ⋅( a a − a a ) + a ⋅( a a − a a ) = 11 22 33 23 32 21 12 33 13 32 31 12 23 13 22 a a a a a a 22 23 12 13 12 13 = a ⋅ a a 11 a a − ⋅ 21 a a + ⋅ 31 a a 32 33 32 33 22 23 Hasonló előállításokhoz jutunk, ha a második, harmadik oszlop vagy valamelyik sor elemei szerint csoportosítjuk a tagokat. Látható, hogy az a elem szorzótényezőjét úgy kapjuk, hogy az A determinánsából elhagyjuk az i -edik sort és a j -edik oszlopot i j és szorozzuk ( 1) + − -nel. ij 1 3 1
Lineáris egyenletrendszerek megoldása 243 Értelmezés. Az i -edik sor és j -edik oszlop elhagyásával kapott determinánst az a -hez tartozó aldeterminánsnak nevezzük és d -vel jelöljük. A ( 1) i j − d kifejezést ij ij ij az a elem algebrai komplementumának nevezzük és D -vel jelöljük. ij ij Ezekkel a jelölésekkel az előbbi feladat eredménye a következőképpen fogalmazható meg: Tétel. Ha A ∈ M ( ) , akkor 3 3 3 ∑ ∑ . detA= a ⋅ D = a ⋅D ∀i, j ∈{ 1,2, 3} ij ij ij ij i= 1 j= 1 Következmények 1. Ha két 3× 3-as m átrixnak csak egy sora (vagy oszlopa) különbözik, akkor determinánsaik összege egyenlő annak a mátrixnak a determinánsával, amelyet úgy kapunk, hogy a megegyező elemeket leírjuk és a különböző sorok megfelelő elemeit összeadjuk. Példa x a a x a a x + x a a 1 12 13 2 12 13 1 2 12 13 y a a + y a a = y + y a a 1 22 23 2 22 23 1 2 22 23 z a a z a a z + z a a 1 32 33 2 32 33 1 2 32 33 Bizonyítás. Az első (általában a különböző sor vagy oszlop) oszlop szerint kifejtjük mindhárom determinánst. 2. Ha egy determináns valamely sorához (vagy oszlopához) hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) α -szorosát, akkor a determináns értéke nem változik meg. Bizonyítás. Feltételezhetjük, hogy az első két oszlopról (sorról) van szó, hisz oszlopok (sorok) cseréjével csak az előjelek változnak meg). a a a α⋅ a a a a + α⋅a a a 11 12 13 12 12 13 11 12 12 13 a a a + α⋅ a a a = a + α⋅a a 21 22 23 22 22 23 21 22 22 a a a α⋅ a a a a + α⋅a a a 31 32 33 32 32 33 31 32 32 33 Az előbbi feladat b) alpontjának következménye alapján a bal oldal második determinánsa 0. 2.3. Mátrixok inverze Ha a 3 ∑ a ⋅ D ij ik i= 1 összeget vizsgálnánk meg k j ≠ esetén, akkor nullához jutnánk, hi- szen D úgy is felfogható, mint egy A mátrix i -edik sorának és j -edik oszlopának ik jk az algebrai komplementuma, ahol az A m átrixot úgy kapjuk A -ból, hogy a k -adik oszlop helyére is a j -edik oszlopot írjuk. Így jk 3 ∑aij i= 1 Dik Ajk azonos oszlop). a D + a D + a D = detA = 0 , mert Például az 12 11 22 21 32 31 21 ⋅ = det = 0 (mert van két a + 23
Page 1 and 2: Lineáris egyenletrendszerek megold
Page 7: Lineáris egyenletrendszerek megold

Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?