Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

242
Lineáris egyenletrendszerek megoldása
Mivel minden lépésben megváltozik a determináns előjele ezért detA =− detA.
Tehát
két sor (vagy oszlop) felcserélésével a determinánsnak csak az előjele változik meg.
Következmény. Ha egy determináns két sora (vagy oszlopa) azonos, akkor a
determináns értéke 0.
Bizonyítás. A két sort (vagy oszlopot) felcserélve megváltozik a determináns
előjele. Ugyanakkor, mivel a két sor azonos, ugyanazt a determinánst kapjuk. Ez csak
akkor lehetséges, ha a determináns 0.
b) A determináns értelmezésében szereplő szorzatok tényezői úgy helyezkednek el,
hogy minden sorból és minden oszlopból pontosan egy elem kerüljön a szorzatba. Így,
ha egy sor (vagy oszlop) minden elemét szorozzuk α -val, akkor a determináns is
szorzódik α -val.
Következmény. Ha egy determináns két sora (vagy oszlopa) arányos, akkor a
determináns 0.
Bizonyítás. Jelöljük A -val a mátrixot, amelynek két sora arányos.
a = α ⋅a , j = 1, 3 egyenlőségek alapján α ⋅ detA = detA = 0 , ahol A -et az
Az ij ij
1 2
A -ból úgy kapjuk, hogy az i -edik sort szorozzuk α -val. (Ha α = 0 , akkor A -nak
1
van egy csupa nullából
álló
sora,
míg ellenkező esetben A -nek van két azonos sora).
1
c) A háromszögszabályban szereplő két ábra szimmetrikus
a főátlóra nézve, ezért ha
az elemeket a főátlóra nézve tükrözzük, akkor a determináns értéke ne m változik, azaz
egy mátrix determinánsa egyenlő a transzponáltjának a determinánsával:
d) Mivel z z z z
1 2 1 2
t
detA detA
a a a a a a
11 12 13 11 21 31
a a a = a a a
= ⇔ 21 22 23 12 22 32
a a a a a a
31 32 33 13 23 33
⋅ = ⋅ és z + z = z + z ∀z , z ∈ , írhatjuk, hogy
1 2 1 2 1 2
a11
detA= detA
⇔ a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 ⎛
⎜a ⎜ 11
⎜
= ⎜
⎜a21 ⎜
⎜⎝
a31
a12 a22 a32 a
⎞
⎟ 13 ⎟
a ⎟ 23 ⎟ ,
a33 ⎠⎟
Feladat. Fejezzük ki a 3× 3-as
determinánst 2× 2-es
determinánsok segítségével.
Megoldás. Csoportosítjuk a tagokat az első oszlop elemei szerint:
detA
= a a a + a a a + a a a −a a a −a a a − a a a =
11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 23 31 13 21 32
= a ⋅( a a −a a ) −a ⋅( a a − a a ) + a ⋅( a a − a a ) =
11 22 33 23 32 21 12 33 13 32 31 12 23 13 22
a a a a a a
22 23 12 13 12 13
= a ⋅ a a
11 a a
− ⋅ 21 a a
+ ⋅ 31 a a
32 33 32 33 22 23
Hasonló előállításokhoz jutunk, ha a második, harmadik oszlop vagy valamelyik sor
elemei szerint csoportosítjuk a tagokat. Látható, hogy az a elem szorzótényezőjét úgy kapjuk, hogy az A determinánsából elhagyjuk az i -edik sort és a j -edik oszlopot
i j
és szorozzuk ( 1) +
− -nel.
ij
1
3
1