Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 241
szabálynak és azokat a rendszereket, amelyekre ez alkalmazh ató
rendszereknek nevezzük).
Cramer
2. Ha 0 ∆ , ∆ , ∆ ≠ ( 0,0,0)
esetén a rendszernek nincs megoldása (a
∆ = , akkor ( )
1 2 3
rendszer ellentmondásos, összeférhetetlen).
∆ = ∆ = ∆ = ∆ = 0 , akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van.
3. Ha 1 2
3
2.2. 2×2-es és 3×3-as determinánsok
tulajdonságai
Mielőtt a rendszerek további tulajdonságainak vizsgálatába fognánk,
vizsgáljuk meg a 3× 3- as determinánsok néhány tulajdonságát.
Felad at: Vizsgáljuk meg, hogyan változik az A ∈ M ( )
mátrix determinánsa,
ha
3
a) felcserélünk
két sort (vagy oszlopot);
b) beszorzunk egy sort (vagy oszlopot) egy számmal;
c) felcseréljük a sorokat az oszlopokkal;
d) a mátrix minden elemét a konjugáltjával
helyettesítjük.
⎡a a a ⎤
⎢ 11 12 13 ⎥
Megoldás.
Tekintjük az A= ⎢
a a a
⎥
⎢ 21 22 23 ⎥ mátrixot.
⎢ ⎥
⎢a a a
⎣ 31 32 33⎥
⎦
a) Azáltal, hogy felcserélünk két sort, vagy oszlopot, a rendszer nem változik meg.
Elvárnánk, hogy az A determinánsa se változzon meg, vagy
legalábbis „ne nagyon”
változzon.
⎡a a a ⎤
⎢ 12 11 13 ⎥
Ha A =
⎢
a a a
⎥
1 ⎢ 3⎥
, akkor
22 21 2
⎢ ⎥
⎢a a a
⎣ 32 31 33⎥
⎦
detA = a a a + a a a + a a a −a a a −a a a − a a a = − detA
1 12 21 33 11 23 32 13 22 31 11 22 33 12 23 31 13 21 32
⎡
⎢a13 Ha A =
⎢
2 ⎢a23 ⎢
⎢a ⎣ 33
a12 a22 a32 a ⎤
11⎥
a
⎥
, akkor
21 ⎥
a31⎥
⎦
detA = a a a + a a a + a a a −a a a −a a a − a a a = − detA
2 13 22 31 12 21 33 23 32 11 11 22 33 12 23 31 13 21 32
A második és harmadik oszlop (vagy sor) felcserélése a következőképpen
végrehajtható:
• kicseréljük az első oszlopot (sort) a másodikkal
• kicseréljük az első oszlopot (sort) a harmadikkal
• kicseréljük az első oszlopot (sort) a másodikkal
⎡a a a ⎤ ⎡a a a ⎤ ⎡a
a a ⎤ ⎡
⎢ 11 12 13 ⎥ ⎢ 12 11 13 ⎥ ⎢ a a a ⎤
13 11 12 ⎥ ⎢ 11 13 12 ⎥
A= ⎢ ⎥ ⎢
a a a
⎥
⎢a a a
⎥
→ = A
21 22 23 ⎥ →
⎢ a a a
⎥
22 21 23 ⎥ →
⎢
a a a
23 21 22
⎥ ⎢ 21 23 22 ⎥ 3
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢a a a a a a
⎣ 31 32 33⎥ ⎦
⎢a a a
⎣ 32 31 33 ⎥
⎦
⎢a a a
⎣ 33 31 32 ⎥
⎦
⎢
⎣ 31 33 32⎥
⎦