Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 287
12. Az AB∈ , Mn
( )
mátrixokra létezik olyan
*
km∈ , , amelyekre
k
A
m
= B = 0n és AB = BA . Bizonyítsd be, hogy I n − AB és In−A −B
invertálható mátrixok. (Traian Lalescu verseny, 2001.)
*
13. Bizonyítsd be, hogy ha az A ∈ M ( )
mátrixra létezik k ∈ úgy, hogy
k
A = 0n
, akkor In−A invertálható.
2 2
14. Bizonyítsd be, hogy ha az A, B ∈ Mn
( )
mátrixokra AB= A − B,
akkor
AB = BA .
16. Bizonyítsd be, hogy a P( λ ) = det( A−
λIn)
függvény ( P : → )
egy n -ed
fokú polinomfüggvény, amelyben
a) a domináns tag együtthatója ( 1) ;
n
−
b) a szabadtag detA ;
n−1
1
c) λ együtthatója ( 1) .
n− − TrA
18. (Cayley-Hamilton tétel) Bizonyítsd be, hogy ha a
P( λ) = det( A−
λIn)
polinom
n
t
15. Az A ∈ M ( )
mátrixra teljesül az A⋅ A = −I
egyenlőség. Bizonyítsd be,
n
( )
t
hogy de t A+ A = d ( ) . (Gh. Vrânceanu Verseny, 1990.)
2
et In+ A
17. Bizonyítsd be, hogy a de t( A− λIn)
= 0 egyenlet λ1, λ 2,
…,
λngyökeire
a) λ1 λ 2 n ; TrA λ
+ + + = …
b) λ1⋅λ 2 ⋅…⋅ λn=
detA
.
Megjegyzés. λ, λ , …,
λnaz
A sajátértékei.
alakú, akkor
1 2
P( λ) = c ⋅ λ
k = 0
2
n
0 n 1 2 n 0n
n
∑
cI + cA+ cA + … + cA = .
19. Bizonyítsd be, hogy ha egy A ∈ M ( )
mátrix teljesíti az
…
n n−1
A + cA 1 + + cnIm= 0m
n n−1
x + cx + … + c = 0 egyenletet.
1
n
k
k
m
n
egyenletet, akkor minden sajátértéke teljesíti az
20. Bizonyítsd be, hogy ha létezik olyan P ∈ [ x]
polinom, amelynek 0 nem gyöke
és amelyre P( A ) = 0n , akkor A invertálható.
(Gh. Vrânceanu Verseny, 1992.)
2
21. Bizonyítsd be, hogy ha A = A+ I , ( A ∈ M
( )
), akkor
n
n