Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 285
II.
1. Tanulmányozd a következő lineáris rendszerek megoldhatóságát és oldd is meg
őket:
a) ⎪ ⎨⎪
, ab ; b) ⎪ ⎧⎪
⎪ax
+ y + z = 1
⎧⎪
⎪
⎪ax
+ 4y+ 7z=
0
⎪ ⎪
x + ay + z = b , ∈ ⎨⎪ 2x + ay + 7z
= 0, a ∈ ;
⎪
⎪
2
⎪x
+ y + az = b
⎪x − 2y + az = 0
⎪⎩
⎪⎩
c) ⎪ ⎨⎪
, abc ; d) ⎪ ⎧⎪ x + y + z = 0
⎪
⎧⎪
⎪2x − y + 3z
= b
⎪(
m + 1) x + y + z = 0
⎪
⎪
,, ∈ ⎨⎪ x + 2( m −1) y − z = 0, a ∈ ;
⎪
− x + ay + 2z = 3
⎪
⎪
⎪
⎪x − 2y + az = 0
⎪ 3x + 4z
= c
⎪⎩
⎪⎩
e) ⎪ ⎨⎪
; f) ⎪ ⎧ ⎪x
+ y + 8z = 11
⎪
⎧⎪
⎪
3x − y + 4z
= 9
⎪x
+ y + z + t = 2
⎪
⎨⎪ x + y + z − t = 0 ;
⎪
2x + 2y
+ z =−7
⎪
⎪
⎪
⎪ x + y − z + t = 4
⎪ x + y + z = 4
⎪⎩
⎪⎩
g) ⎪ ⎨⎪
; h) ⎪ ⎧⎪
⎧2x − 3y + 4z = 1
⎪2x1
+ x2 + x3
= 7
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪3x − y + z = 1
⎪
5x1 − x2 + 2x3 = 8
⎪
⎪
⎨⎪ 7x1 − 4x2 = −2
, α ∈ ;
⎪
x − 12y + 11z =−1
⎪
⎪
⎪
⎪ x1 x2 x3
α
⎪4x − 15y + 9z = 0
⎪ + + =
⎪
⎪⎩
⎪ x1 + 3x2 − 2x3
= α − 5
⎪⎩
i) ⎪ ⎨⎪
; j) ⎪ ⎧⎪
⎪4x1
+ x2 + ( 2α+ 1)
x3 + x4
=−1
⎧⎪
⎪αx
+ βy
+ 2z = 1
⎪
⎪
x1 + x2 + αx3
+ x4
=−1
⎨⎪ αx + ( 2β − 1) y + 3z = 1 , αβ , ∈
⎪
⎪
x1 − x2 + x3 + βx4 = γ
⎪
⎪⎩
⎪αx
+ βy + ( β + 3) z = 2β
− 1
⎪⎩
2. Bizonyítsd be, hogy bármely a,, bc ∈ esetén az
⎧⎪ 1
⎪ x = ax + by + cz
⎪
2
⎪ 1
⎨ y = cx + ay + bz
⎪
⎪2
⎪ 1
⎪ z = bx + cy + az
⎪⎩ 2
egyenletrendszernek csak a triviális megoldása létezik. (Felvételi, 1987.)