Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 239
Megoldás. Ha a = 0 ∀ i , j = 1, 3,
akkor ( b, b , b ) = ( 0, 0, 0)
esetén a megoldás az
ij
1 2 3
3
míg ellenkező esetben üres halmaz. Ha létezik 0-tól különböző a , i, j = 1,3,
akkor a rendszer átrendezhető egyenletek és ismeretlenek cseréjével úgy, hogy az első
egyenletben az x együtthatója 0-tól különböző legyen. Tehát feltételezhetjük, hogy
a ≠ 0 . Fejezzük ki x -et az első egyenletből és helyettesítsük a többi egyenletbe.
11
b −a y −a
z
1 12 13
x =
a11
Így az
⎧⎪
⎪ a a b
12 13 1
⎪
x + y + z =
⎪ a a a
⎪ 11 11 11
⎪a ⋅a −a ⋅a a ⋅a −a ⋅a b ⋅a −a ⋅b
⎪ 11 22 12 21 23 11 21 13 2 11 21 1
⎨
y + z =
⎪ a a
a
11 11 11
⎪
⎪a
⋅a −a ⋅a a ⋅a −a ⋅a a ⋅b −a ⋅b
11 32 12 31 11 33 13 31 11 3 31 1
⎪
y + z =
⎪⎩⎪
a a
a
11 11 11
rendszerhez jutunk. Látható, hogy az a -gyel való osztást elhagyhatjuk. Így a rendszer
11
⎧⎪
⎪a
⋅ x + a ⋅ y + a ⋅ z = b
11 12 13 1
⎪
⎨(
a ⋅a −a ⋅ a ) y + ( a ⋅a −a ⋅ a ) z = a ⋅b −a ⋅b
11 22 12 21 23 11 21 13 11 2 21 1
⎪
⎪( a ⋅a −a ⋅ a ) y + ( a ⋅a −a ⋅ a ) z = a ⋅b −a ⋅b
⎪⎩ 11 32 12 31 11 33 13 31 11 3 31 1
alakú. Ha itt kiküszöböljük y -t, akkor a z együtthatója
( )( ) ( )(
a a −a a a a −a a − a a −a a a a − a a =
11 22 12 21 11 33 13 31 23 11 21 13 11 32 12 31
= a ⋅ [ a a a + a a a + a a a −a a a −a a a − a a a ]
11 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31
Megjegyzés. Ez alapján látható, hogy nem véletlen az, amit tapasztaltunk (mindkét
alkalommal -34 jelent meg), viszont az is hozzájárult, hogy az első lépésben a
kifejezett ismeretlen együtthatója (a ) 1 volt mindkét alkalommal.
11
Jelöljük ∆ -val a szögletes zárójelben megjelenő kifejezést.
∆ = a a a + a a a + a a a −a a a −a a a − a a a
11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31
A műveletek elvégzése és a -el való egyszerűsítés után az
11
∆⋅ x = ∆
(*)
1
egyenlőséghez jutunk, ahol
∆ = ba a + a a b + a ba −ba a −a ba − a a b
1 1 22 33 12 23 3 13 2 32 1 23 32 12 2 33 13 22 3
Értelmezés. A ∆ = a a a + a a a + a a a −a a a −a a a −a
a a
11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31
⎡a a a ⎤
⎢ 11 12 13 ⎥
kifejezést az A= ⎢
a a
⎥
⎢a mátrix determinánsának nevezzük és de -val
21 22 23 ⎥
tA
⎢ ⎥
⎢a a a
⎣ 31 32 33⎥
⎦
jelöljük. Gyakran írjuk
ij
)