Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 277
Tehát ebben az esetben is rang A= rang A=
3 és a megoldások
43 −5m 2m −21
z = −t⋅ m + 16 m + 16
2
− m + 14m −12 13m −4
y = + t⋅
m + 16 m + 16
2
m − 4m + 49 3m
− 5
x = −3t⋅ m + 16 m + 16
ahol t ∈ paraméter.
Megjegyzés. Ugyanehhez az eredményhez jutunk, ha m ≠−16
esetén az
⎧⎪
⎪x
+ y + z = 5+ 2t
⎪
⎨2x
+ y − 2z
= m −t
⎪
⎪2x− 3y+ mz = 3−2mt ⎪⎩
rendszert a Cramer szabállyal oldjuk meg, illetve ha m = −16
esetén az
⎧⎪
⎪x
+ y − 2t = 5−z
⎪
⎨2x
+ y + t =− 16+
2z
⎪
⎪2x −3y − 32t = 3+ 16z
⎪⎩
rendszert oldjuk meg a Cramer szabály segítségével (z paraméter).
10. Bizonyítsuk be, hogy ha A A A … A ∈ M ( )
és
2
p
A + xA + x A + …+ x A = 0 , ∀x ∈ ,
akkor
0 1 2 p m, n
A A A … A .
0 = 1 = 2 = = p = 0m,n
( k )
Bizonyítás. Jelöljük az A elemeit a -val,
k
ij
, , , , 0 1 2 p m, n
k = 0, p , i = 1, m és j = 1, n . A bal
oldalon a műveletek elvégzése után egy olyan A mátrixot kapunk, amelynek a
p
∑
p ( k)
eleme x ⋅a
, vagyis egy legfeljebb p -ed fokú polinom. Ennek a polinomnak a
k=
0
ij
behelyettesítési értéke bármely x ∈ esetén 0, tehát a polinom együtthatói mind 0-
( k )
val egyenlők. Így a = 0 , 0, = k p , 1, = i m , j = 1, nm , tehát A 0 ,
k = 0, p .
ij
p q
k j
k j
k= 0 j=
0
ij
k = m,
n
∑ ∑ ∈ ( )
k j
Megjegyzés. Ha A ⋅ x = B x , ∀x ∈ esetén A , B Mmn
, ,
k = 0, p , j = 0, q , akkor p = q és A = B , ∀ k = 0,p.
k k