Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

276 Lineáris egyenletrendszerek megoldása
⎡1 ⎢
A ∼ ⎢0 ⎢
0
⎣
1
−1 −5 1
−4 m −2 −2 5
2m −4 5 ⎤ ⎡
⎥ ⎢1
⎥ ⎢
m −10⎥ ∼ ⎢0
⎥ ⎢
−7 ⎥ ⎢
⎥
0
⎦ ⎢⎣
1
1
−5 1
4
m − 4
−2
−5 2m + 4
5 ⎤
⎥
10 −m⎥
∼
⎥
−7
⎥
⎥⎦
⎡
⎢1 − S2+ S1→S1 ⎢
∼ ⎢0 5S2+
S3→S3 ⎢
0
⎣
0
1
0
−3 4
m + 16
0
−5 2m −21 − 5+
m ⎤
⎥
10−m
⎥
43−5m ⎥
⎥⎦
Ha m = −16 akkor m + 16 nem választható generáló elemnek de 2m−1 ≠ 0
választható (a harmadik és negyedik oszlop még A -hoz tartozik, tehát ezek
felcserélése nem változtatja meg az A rangját sem). Így írhatjuk, hogy
⎡
⎢1 A ∼ ⎢0 ⎢
⎢0 ⎣
0 3 −3 −21
⎤
⎥
1 − 5 4 26 ⎥ ha m = −16
és
⎥
0−53 0 123⎥
⎦
⎡
⎢
⎢1 ⎢
A ∼ ⎢0 ⎢
⎢0 ⎢⎣ 0
1
0
−3 4
1
3
−5 2m −21 m + 16
⎤
⎥
− 5+
m ⎥
10−m
⎥ ha m ≠−16
.
⎥
43−5m ⎥
m + 16
⎥
⎥⎦
Az első esetben (m = −16 ) ra ng A= rang A=
3 és
⎡
⎢
⎢1 ⎢
A ∼ ⎢0 ⎢
⎢0 ⎣
⎢
0
1
0
3
−5 1
−3 4
0
⎤ ⎡
⎥ ⎢1 −21
⎥ ⎢
⎥ ⎢
26 ⎥ ∼
⎢
0
⎥ ⎢
123⎥ ⎢
− ⎥
⎢0 53 ⎦
⎥ ⎢ ⎢⎣ 0
1
0
0
0
1
−3 4
0
744⎤
− ⎥
53 ⎥
763
⎥
53
⎥
123⎥
− ⎥
53 ⎥ ⎥⎦
123
Tehát a megoldások t = − (mert a harmadik oszlopban most t együtthatói állnak)
53
763
744
y = − 4z
és x = − + 3z
, ahol z ∈ paraméter.
53
53
A második esetben (3 S + S →S , − 4 S + S → S )
3 1 1 3 2 2
⎡ 2
3m −5 m − 4m + 49 ⎤
⎢1 0 0 3
⎥
⎢ m + 16 m + 16 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 2
13m −4− m + 14m −12
⎥
A ∼
⎢0 1 0 −
⎥
⎢ m + 16 m + 16 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 2m −21 43−5m ⎥
⎢0 0 1
⎥
⎢ ⎢⎣ m + 16 m + 16 ⎥ ⎥⎦