Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...
Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ... Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...
238 Lineáris egyenletrendszerek megoldása Vizsgáljuk meg, hogy 3× 3-as (3 ismeretlent és 3 egyenletet tartalmazó) rendszerek esetén léteznek-e hasonló eredmények. Feladat Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: ⎧⎪ ⎪x + y + 2z = 11 ⎪ ⎨2x + 3y − z = −5 ⎪ ⎪3x −2y − 3z = −2 ⎪⎩ Megoldás. Az első egyenletből kifejezzük -et és behelyettesítjük a második és a harmadik egyenletbe. Így az 27 7 ⎪ x ⎧⎪ ⎪x + y + 2z = 11 ⎨⎪ y − 5z = − egyenletrendszerhez jutunk. Az ⎪−5y − 9z = −35 ⎪⎩ utolsó két egyenlet már csak y -t és z -t tartalmaz, tehát megoldható két ismeretlenes rendszerként. A második egyenlet alapján y = 5z − 2 , tehát a rendszer ⎧⎪ ⎪x + y + 2z = 11 ⎪ ⎨ y − 5z = −27 alakban is írható. ⎪ − 34z = −170 ⎪⎩ Az utolsó egyenletből z = 5 , ez alapján a második egyenletből y = −2 és végül az első egyenletből x = 3 . Természetesen az ismeretlent más sorrendben is kiküszöbölhetjük. Ha első lépésben a második egyenletből fejezzük ki a z -t, akkor a következő alakban írhatjuk a rendszert: ⎧⎪ ⎪z −2x − 3y = 5 ⎪ ⎨ 5x + 7y = 1 ⎪ −3x − 11y = 13 ⎪⎩ 1−7y A második egyenletből x = , tehát a rendszer 5 ⎪ ⎧⎪ ⎪z −2x − 3y = 5 ⎨⎪ 5x + 7y = 1 alakban is írható. ⎪ − 34y = 68 ⎪⎩ Világos, hogy legfeljebb 9⋅ 4 = 36 különböző módon juthatunk el a megoldáshoz (az első lépésben 9 lehetőség van aszerint, hogy melyik változót fejezzük ki és melyik egyenletből, míg a második lépésnél 4 lehetőség). Érdekes módon az előbbi két megoldásban az utolsó sorban az ismeretlen együtthatója − 34 volt. Vajon ez egy általános jelenség, vagy tekinthető véletlen egybeesésnek is? Vizsgáljuk meg általánosan a problémát. Feladat. Oldjuk meg és tárgyaljuk az ⎧⎪ ⎪a x + a y + a z = b 11 12 13 1 ⎪ ⎨a x + a y + a z = b 21 22 23 2 ⎪ a x + a y + a z = b ⎪⎩ 31 32 33 3 egyenletrendszert, ha a , b ∈ , ij , = 1, 3. ij i
Lineáris egyenletrendszerek megoldása 239 Megoldás. Ha a = 0 ∀ i , j = 1, 3, akkor ( b, b , b ) = ( 0, 0, 0) esetén a megoldás az ij 1 2 3 3 míg ellenkező esetben üres halmaz. Ha létezik 0-tól különböző a , i, j = 1,3, akkor a rendszer átrendezhető egyenletek és ismeretlenek cseréjével úgy, hogy az első egyenletben az x együtthatója 0-tól különböző legyen. Tehát feltételezhetjük, hogy a ≠ 0 . Fejezzük ki x -et az első egyenletből és helyettesítsük a többi egyenletbe. 11 b −a y −a z 1 12 13 x = a11 Így az ⎧⎪ ⎪ a a b 12 13 1 ⎪ x + y + z = ⎪ a a a ⎪ 11 11 11 ⎪a ⋅a −a ⋅a a ⋅a −a ⋅a b ⋅a −a ⋅b ⎪ 11 22 12 21 23 11 21 13 2 11 21 1 ⎨ y + z = ⎪ a a a 11 11 11 ⎪ ⎪a ⋅a −a ⋅a a ⋅a −a ⋅a a ⋅b −a ⋅b 11 32 12 31 11 33 13 31 11 3 31 1 ⎪ y + z = ⎪⎩⎪ a a a 11 11 11 rendszerhez jutunk. Látható, hogy az a -gyel való osztást elhagyhatjuk. Így a rendszer 11 ⎧⎪ ⎪a ⋅ x + a ⋅ y + a ⋅ z = b 11 12 13 1 ⎪ ⎨( a ⋅a −a ⋅ a ) y + ( a ⋅a −a ⋅ a ) z = a ⋅b −a ⋅b 11 22 12 21 23 11 21 13 11 2 21 1 ⎪ ⎪( a ⋅a −a ⋅ a ) y + ( a ⋅a −a ⋅ a ) z = a ⋅b −a ⋅b ⎪⎩ 11 32 12 31 11 33 13 31 11 3 31 1 alakú. Ha itt kiküszöböljük y -t, akkor a z együtthatója ( )( ) ( )( a a −a a a a −a a − a a −a a a a − a a = 11 22 12 21 11 33 13 31 23 11 21 13 11 32 12 31 = a ⋅ [ a a a + a a a + a a a −a a a −a a a − a a a ] 11 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31 Megjegyzés. Ez alapján látható, hogy nem véletlen az, amit tapasztaltunk (mindkét alkalommal -34 jelent meg), viszont az is hozzájárult, hogy az első lépésben a kifejezett ismeretlen együtthatója (a ) 1 volt mindkét alkalommal. 11 Jelöljük ∆ -val a szögletes zárójelben megjelenő kifejezést. ∆ = a a a + a a a + a a a −a a a −a a a − a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31 A műveletek elvégzése és a -el való egyszerűsítés után az 11 ∆⋅ x = ∆ (*) 1 egyenlőséghez jutunk, ahol ∆ = ba a + a a b + a ba −ba a −a ba − a a b 1 1 22 33 12 23 3 13 2 32 1 23 32 12 2 33 13 22 3 Értelmezés. A ∆ = a a a + a a a + a a a −a a a −a a a −a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31 ⎡a a a ⎤ ⎢ 11 12 13 ⎥ kifejezést az A= ⎢ a a ⎥ ⎢a mátrix determinánsának nevezzük és de -val 21 22 23 ⎥ tA ⎢ ⎥ ⎢a a a ⎣ 31 32 33⎥ ⎦ jelöljük. Gyakran írjuk ij )
- Page 1 and 2: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 3: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 7 and 8: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 9 and 10: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 11 and 12: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 13 and 14: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 15 and 16: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 17 and 18: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 19 and 20: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 21 and 22: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 23 and 24: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 25 and 26: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 27 and 28: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 29 and 30: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 31 and 32: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 33 and 34: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 35 and 36: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 37 and 38: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 39 and 40: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 41 and 42: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 43 and 44: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 45 and 46: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 47 and 48: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 49 and 50: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 51 and 52: Lineáris egyenletrendszerek megold
- Page 53 and 54: Lineáris egyenletrendszerek megold
238<br />
Lineáris <strong>egyenletrendszerek</strong> megoldása<br />
Vizsgáljuk meg, hogy 3× 3-as<br />
(3 <strong>ismeretlent</strong> és 3 egyenletet <strong>tartalmazó</strong>)<br />
rendszerek esetén léteznek-e hasonló eredmények.<br />
Feladat<br />
Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:<br />
⎧⎪<br />
⎪x<br />
+ y + 2z = 11<br />
⎪<br />
⎨2x<br />
+ 3y − z = −5<br />
⎪<br />
⎪3x −2y − 3z<br />
= −2<br />
⎪⎩<br />
Megoldás. Az első egyenletből kifejezzük -et és behelyettesítjük a második és a<br />
harmadik egyenletbe. Így az 27<br />
7<br />
⎪ x<br />
⎧⎪<br />
⎪x<br />
+ y + 2z = 11<br />
⎨⎪ y − 5z<br />
= − egyenletrendszerhez jutunk. Az<br />
⎪−5y − 9z = −35<br />
⎪⎩<br />
utolsó két egyenlet már csak y -t és z -t tartalmaz, tehát megoldható két ismeretlenes<br />
rendszerként. A második egyenlet alapján y = 5z − 2 , tehát a rendszer<br />
⎧⎪<br />
⎪x<br />
+ y + 2z = 11<br />
⎪<br />
⎨ y − 5z = −27<br />
alakban is írható.<br />
⎪ − 34z = −170<br />
⎪⎩<br />
Az utolsó egyenletből z = 5 , ez alapján a második egyenletből y = −2<br />
és végül az<br />
első egyenletből x = 3 .<br />
Természetesen az <strong>ismeretlent</strong> más sorrendben is kiküszöbölhetjük. Ha első lépésben a<br />
második egyenletből fejezzük ki a z -t, akkor a következő alakban írhatjuk a rendszert:<br />
⎧⎪<br />
⎪z<br />
−2x − 3y = 5<br />
⎪<br />
⎨ 5x + 7y = 1<br />
⎪ −3x − 11y = 13<br />
⎪⎩<br />
1−7y A második egyenletből x = , tehát a rendszer<br />
5<br />
⎪ ⎧⎪<br />
⎪z<br />
−2x − 3y = 5<br />
⎨⎪ 5x + 7y<br />
= 1 alakban is írható.<br />
⎪ − 34y = 68<br />
⎪⎩<br />
Világos, hogy legfeljebb 9⋅ 4 = 36 különböző módon juthatunk el a megoldáshoz (az<br />
első lépésben 9 lehetőség van aszerint, hogy melyik változót fejezzük ki és melyik<br />
egyenletből, míg a második lépésnél 4 lehetőség). Érdekes módon az előbbi két<br />
megoldásban az utolsó sorban az ismeretlen együtthatója − 34 volt. Vajon ez egy<br />
általános jelenség, <strong>vagy</strong> tekinthető véletlen egybeesésnek is?<br />
Vizsgáljuk meg általánosan a problémát.<br />
Feladat. Oldjuk meg és tárgyaljuk az<br />
⎧⎪<br />
⎪a<br />
x + a y + a z = b<br />
11 12 13 1<br />
⎪<br />
⎨a<br />
x + a y + a z = b<br />
21 22 23 2<br />
⎪ a x + a y + a z = b<br />
⎪⎩ 31 32 33 3<br />
egyenletrendszert, ha a , b ∈ , ij , = 1, 3.<br />
ij i
Change language