Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 273
De D1⋅B-nek legalább annyi csupa 0-t tartalmazó sora van mint D1
-nek, tehát
rang( AB)
≤ rang A (1).
⎡
⎢
A B mátrixot hozzuk D = ⎢0
2 ⎢⎢
⎣
I ⎤
k ⎥ alakúra oszloptranszformációk segítségével. Így
⎥
X ⎥
⎦
B⋅FF F = D , tehát AB ⋅ F F …F
= AD és az AD -ben legalább annyi
1 2… p 2
1 2 p
2
oszlop tartalmaz csupa nullákat mint D2 -ben.
Tehát ra ng( AB) ≤ rang B (2).
(1) és (2) alapján rang( AB) ≤ min( rang A, rang B)
.
2 2
4. Bizonyítsuk be, hogy ha az a és b természetes számok előállíthatók x + 2y
alakban ( xy∈ , ), akkor az ab természetes szám is előállítható.
⎧⎪⎡x Bizonyítás. Tekintjük az M =
⎪
⎨⎢ ⎪⎢−2y ⎪ ⎪⎩⎢⎣ y⎤
⎫⎪
⎥ x, y ∈
⎪
x⎥
⎬ mátrixhalmazt.
⎥ ⎪
⎦ ⎪ ⎪⎭
⎡ x1 ⎢
−2y1 ⎣
y1⎤⎡ x2 ⎥⎢
x ⎥⎢ 1⎥⎢ −2y2 ⎦⎣
y2⎤
⎡ xx 1 2− yy 1 2
⎥ ⎢
x ⎥
= ⎢
2⎥⎦ ⎢− 2( yx 1 2 + xy 1 2) ⎣
xy 1 2+ yx 1 2 ⎤
⎥
− 2yy
1 2 + xx ⎥
1 2⎥⎦
tehát ha M , M ∈ M , akkor MM . De és így
∈ det( MM ) = detM ⋅ detM
1 2
( ) ( ) (
2 2 2 2
2 2
az x + 2y x + 2y
= x x − 2y
y ) + 2( x y + y x ) azonossághoz jutunk.
1 1
1 2 M
2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
Ebből következik a feladat állítása.
2 2
5. Bizonyítsd be, hogy ha A, B ∈ Mn ( )
és AB = BA , akkor det( A + B ) ≥ 0 .
2
1 2 1 2
2 2
Bizonyítás. Mivel AB = BA , írhatjuk, hogy A + B = ( A+ iB)( A−iB) tehát
( ) (
2 2
det A + B = det( A+ iB)
⋅det A−iB) . Másrészt ha det( A+ iB) = z , akkor
det( A iB) z
2 2
− = , tehát ( )
A + B = z ⋅ z = 2 det z ≥ 0 .
2
6. Bizonyítsuk be, hogy ha és , akkor
2n1 2
A − pA+ qI 2n+ 1 ≠ 02n+
1
.
A ∈ M ( )
∆ = p − 4q
< 0
+
Bizonyítás
2 2
2 2 p p ⎛ p ⎞
A − pA+ qI2n+ 1 = A −2⋅ A+ ⋅ I2n+ 1 + ⎜
⎜q − ⎟ ⎟I2
1 =
2 4 ⎜ 4
⎟ n+
⎜⎝ ⎠⎟
p
2 2
p − 4q
2n+ 1 2n+ 1
⎛
= ⎜
⎜⎜⎝ A− I
2
⎞
⎟
⎠
⎟ −
4
I
2
Tehát ha A − p A+ qI n+
= 0 n+ , akkor
2 1 2 1
p
2 2
p − 4q
2n+ 1 2n+ 1
⎛
⎜
⎜⎜⎝ A− I
2
⎞
⎟
⎠
⎟ =
4
I
Ebből az egyenlőségből következik, hogy
.
.