Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

More documents

Recommendations

Info

$P 0.1 Stabilişti natura şsi suma seriilor: a) Σ 1 n\ ; b) Σ arctan 1 n# + n ...$

270 Lineáris <strong>egyenletrendszerek</strong> megoldása Megoldás ⎡ ⎢A ⎣ | ⎡ ⎢1 I ⎤ ⎢ n ⎥ = ⎢3 ⎦ ⎢ ⎢1 ⎣ 2 0 1 −1 1 2 0 1 0 0 1 0 0 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 1 ⎥ − 3S + S →S ⎢ 1 2 2 0⎥ ∼ ⎢0 ⎥ − S + S →S 1 3 3 ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎦ ⎢⎣ 2 −6 −1 −1 1 5 −3 2 −1 0 1 0 0 ⎤ ⎥ 0⎥ ∼ ⎥ 1 ⎥ ⎥⎦ ⎡1 ⎢ 1 − S2→S2 ⎢ 6 ∼ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣ 2 1 −1 −1 1 5 1 − 6 2 2 −1 0 1 − 6 0 ⎡ ⎢ 0⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ − 2S2+ S1→S ⎢ 1 0⎥ ⎢ ⎥ ∼ 0 S2+ S3→S ⎢ 3 ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎢ 0 ⎢⎣ 0 1 0 2 0 3 5 1 − 6 2 7 1 − 6 2 1 3 1 − 6 1 − 6 ⎤ 0 ⎥ 0⎥∼ ⎥ 1 ⎥ ⎦⎥ ⎡ ⎢1 ⎢ 6 S3→ S ⎢ 3 7 ⎢ ∼ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣ 0 1 0 2 0 3 5 1 − 6 2 1 3 − 7 1 3 1 − 6 1 − 7 ⎤ ⎡ 0⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ 5 S3+ S2→S ⎢ 2 6 0 ⎥ ⎢ ⎥ ∼ 0 2 ⎢ ⎥ − S3+ S1→S1 3 ⎢ 6⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 7⎥⎦ ⎥ ⎢ ⎢⎣ 0 1 0 0 0 1 2 7 1 7 3 − 7 3 7 2 − 7 1 − 7 4⎤ − ⎥ 7⎥ 5 ⎥ 7 ⎥ 6 ⎥ 7 ⎥ ⎥⎦ Tehát 2 7 1 1 A 7 3 7 3 7 2 7 1 7 4 7 5 7 6 7 − ⎡ ⎢ = ⎢ ⎢− ⎢ ⎢⎣ − − ⎤ − ⎥ ⎥⎦ A bekeretezett elemekkel osztottuk a megfelelő sorokat. Ezeket nevezzük generáló elemeknek. Megjegyzés. Ez a módszer (ebben a formában) kézi számolások során könnyen eltéveszthető viszont az algoritmus egyszerűségénél fogva egyszerűen programozható. Láttuk, hogy de tA ≠ 0 esetén az A mátrix előállítható In -ből elemi transzformációkkal, tehát írhatjuk, hogy A= E ⋅E ⋅… ⋅E 1 2 p Ha sorcserét (oszlopcserét) végeztünk, akkor a megfelelő mátrix determinánsa -1 és a transzformáció során a mátrix determinánsának előjele változik meg. Ha egy sor valahányszorosát egy másik sorhoz adtuk, akkor a determináns nem változik meg és a transzformáció mátrixának determinánsa 1, míg ha szorzunk/osztunk egy sort τ -val, akkor a transzformáció mátrixának determinánsa τ és az eredeti mátrix szorzódik τ - val. Így a transzformációk során a determináns úgy viselkedik mintha szoroznánk a transzformáció determinánsával. Eszerint detA= det E1⋅detE2 ⋅…⋅detE p . Megjegyzés. Az előbbi algoritmusban ez a generáló elemek szorzata.
Lineáris <strong>egyenletrendszerek</strong> megoldása 271 Ennek az előállításnak egy nagyon fontos következménye van: Tétel. Ha A, B ∈ M n ( ) akkor de t( A⋅ B) = detA⋅detB. Bizonyítás. Ha detA ≠ 0 és de tB ≠ 0 akkor A= E 1E2…Epés B = FF 1 2…Fq, ahol Eii = 1, p és Fjj = 1, q elemi transzformációk mátrixai. Így A⋅ B = E1E2…Ep ⋅ FF 1 2…Fq, tehát det( AB) = detE detE …detE detF detF … detF = ( detA)( detB) . 1 2 p 1 2 q ⎡1 0 0 0 | ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 0 0 | ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 0 | X ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ | ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Ha detA = 0 , akkor A ∼ ⎢0 0 0 1 | ⎥. ⎢ ⎥ ⎢− − − − − + − − − − −⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 0 | 0 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ | ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 | 0 0 0 0 ⎣ ⎥ ⎥⎦ Ha az utóbbi mátrixot D -vel jelöljük, akkor A⋅B ∼ D⋅B . Viszont D⋅B-ben van csupa 0-ból álló sor és így detDB = 0 , tehát de tAB = 0 = detA⋅ detB . Ha detB = 0 , akkor az előbbi gondolatmenetben A és B szerepét felcseréljük. Az előbbiek alapján de t( AB) = detA ⋅ detB . Megjegyzés. A detA = 0 esetet letárgyalhatjuk a határértékek segítségével is. Ha detA = 0 , akkor létezik olyan ( An ) mátrixsorozat, amelyre lim és n≥ 0 n n (ezt megszerkeszthetjük, ha az előbbi mátrixban a főátlóra A = A →∞ detA ≠ 0 ∀n ≥ 0 D n 1 kerülő 0-k helyett -et írunk, és így hajtjuk végre azoknak a transzformációknak az n inverzét, amelyekkel A -ból kaptuk a D -t). Mivel a determináns a mátrix elemeiből képzett szorzatok előjeles összege, ezért lim An = det( lim An) és így írhatjuk, hogy n→∞ n→∞ detAB = lim det( A B ) = lim ( detA detB ) = detA ⋅ detB . n n n n n→∞ n→∞ A mátrixok elemi transzformációi a lineáris rendszerek elméletében is fontos szerepet játszanak ugyanis ha A B, akkor az A= E E …E ⋅ B egyenlőség alapján az A⋅ x = b ∼ p p−1 1 −1 −1 −1 rendszer ekvivalens a B⋅x = E E …E ⋅b rendszerrel. Másrészt a 1 2 p ⎡I X⎤ k D = ⎢ ⎥ alakú rendszerek megoldása és tárgyalása egyszerű, hisz a jobb oldalon ⎢ 0 ⎣ ⎦⎥ is 0 kell álljon a D identikusan 0 sorainak megfelelő sorokban (ellenkező esetben a rendszer összeférhetetlen) és csak az első k ismeretlen (D szerint) egyértelműen kifejezhető a szabadtagok és a többi ismeretlen segítségével. A fogalmazás
Page 1 and 2: Lineáris egyenletrendszerek megold
Page 35: Lineáris egyenletrendszerek megold

Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?