Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 269
⎡1 0 0 0 |
⎤
⎢ ⎥
⎢
0 1 0 0 |
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢0 0 1 0 | X ⎥
⎢ ⎥
⎢
|
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢0 0 0 1 |
⎥
⎢ ⎥
⎢− − − − − + − − − − −⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢0 0 0 0 | 0 0 0 0⎥
⎢ ⎥
⎢ | ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
0 0 0 0 | 0 0 0 0
⎣
⎥ ⎥⎦
⎡I X⎤
k
alakú mátrixhoz jutunk. Ezt a továbbiakban ⎢
0
⎥ -val jelöljük. Elemi transzfor-
⎢⎣ ⎥⎦
mációk során a mátrix determinánsa vagy előjelet vált, vagy nem változik, vagy
τ ≠ 0 -val szorzódik. Így ha detA ≠ 0 akkor az előbbi mátrix nem jelenhet meg,
mert ennek a determinánsa 0. Ugyanazon ok miatt ha detA = 0 , akkor nem jelenhet
meg a végén az egységmátrix, tehát A -ból pontosan akkor juthatunk el az In -hez ha
detA ≠ 0 . Ez egy fontos tulajdonság, mert megmutatja, hogyan lehet felbontani A -t
−1
vagy A -t elemi transzformációk mátrixainak szorzatára.
Jelöljük E1, E2, …,
Eq-val
azokat a transzformációkat, amelyek segítségeivel A -ból
megkapjuk I -et. Ez E ⋅E ⋅ ⋅E ⋅ A= I (*)
n q q−1
… 1
n
−1 1
alakban írható. Mivel de tA ≠ 0 , létezik A
−
és így (*)-ból (balról szorozzuk A -el)
következik, hogy E ⋅E ⋅…⋅
E
1
= A−.
Ez az egyenlőség
q q−1
1
Eq Eq 1 E1 In 1
A −
⋅ − ⋅… ⋅ ⋅ =
alakban is írható és azt fejezi ki, hogy ha az I n soraival ugyanazokat a
transzformációkat hajtjuk végre mint az A soraival, akkor ha A -ból In -et kapunk, az
1
In
-ből A jelenik meg. Eszerint az inverz mátrix kiszámítható a következő egyszerű
szabályok szerint:
−
1. Írjuk az A oszlopai után rendre az In
oszlopait. (Így egy n× 2n -es mátrixhoz
jutunk).
⎡
⎢A ⎣
| I ⎤
n ⎥⎦
2. Végezzünk elemi sortranszformációkat az egész ⎡
⎢A ⎣
amíg az első n oszlopban I n jelenik meg.
−1
3. Az utolsó n oszlop által alkotott mátrix az A .
| I ⎤
n ⎥ mátrixszal addig,
⎦
⎡
⎢1 ⎢
Példa. Számítsuk ki az A = ⎢3 ⎢
1
⎣
2
0
1
−1⎤
⎥
2 ⎥
mátrix inverzét!
⎥
1 ⎥
⎥⎦