Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 267
Például
⎡
⎢a1 ⎢
⎢a2 ⎢
a3 ⎣
b1 b2 b3 c1 c2 c3 ⎡1 d ⎤ ⎢
1⎥ ⎢
⎥ ⎢
0
d2⎥⋅ ⎢
⎥ ⎢0 d ⎥ ⎢
3⎥⎦ ⎢
0
⎣
0
0
0
1
0
0
1
0
0⎤
⎥ ⎡a1
1⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ = ⎢a2
0⎥
⎢
⎥ ⎢a3
0⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
d1 d2 d3 c1 c2 c3 b ⎤
1 ⎥
b2⎥.
⎥
b ⎥
3⎥⎦
Érvényes tehát a következő tétel:
Tétel. Ha az A ∈ ( )
mátrixot jobbról szorozzuk a
B = b ,
M mn ,
[ kl ] kl , = 1, n
⎧ 1,
b = ⎪
kl ⎨
⎪⎪⎩
0,
k= l∉ { ij , } , ( kl , ) = ( ij , )
egyébként
vagy ( kl , ) = ( ji , )
mátrixszal, akkor az
A i -edik és j -edik oszlopát cseréljük fel.
Hasonló módon látható be, hogy ha a D = [ d kl ] , kl , = 1, m
⎧ 1, k= l∉ { ij , } , ( kl , ) = ( ij , ) vagy ( kl , ) = ( ji , )
d = ⎪
kl ⎨
⎪⎪⎩
0, egyébként
mátrixszal szorzunk balról, akkor az i -edik és a j -edik sort cseréljük fel A -ban.
Látható, hogy az eddig megszerkesztett mátrixok minden sorában és oszlopában
egyetlen nullától különböző elem áll. Ha több nem nulla elem áll a szorzómátrix
oszlopaiban akkor az eredeti mátrix oszlopainak lineáris kombinációi lesznek az
eredmény oszlopai (ezt a szorzat értelmezésnél is láttuk). Így elérhetjük azt is, hogy a
j -edik oszlop elemeihez adjuk hozzá az i -edik oszlop elemeinek τ -szorosát.
Feladat. Milyen B mátrixszal kell szoroznunk jobbról az A ∈ M ( )
mátrixot,
ha az első oszlop τ -szorosát szeretnénk az utolsó oszlophoz hozzáadni?
Megoldás
⎡a1 b1 c1 d1⎤
A = ⎢
⎥
⎢⎢a2 b2 c2 d ⎥ , tehát a B mátrix 4 4-es.
2
⎣ ⎥⎦
×
Az első három oszlop változatlan kell maradjon, tehát
⎡1 0 0 x⎤
⎢ ⎥
⎢0 1 0 y⎥
⎢ ⎥
B = ⎢ ⎥ .
⎢0 0 1 z ⎥
⎢ ⎥
⎢0 0 0 t ⎥
⎢⎣ ⎥⎦
Ha x = τ , t = 1 és y = z = 0 akkor az első oszlop τ -szorosát adjuk hozzá az
utolsó oszlophoz.
⎡1 0 0 τ⎤
⎢ ⎥
⎡a1 b1 c1 d1⎤ ⎢0 1 0 0⎥
⎢ ⎥
⎡ a1 b1 c1 τa1
+ d1⎤
⎢ ⎥⋅ ⎢ ⎥ = ⎢
⎥
⎢a2 b2 c2 d ⎥
2 ⎢0 0 1 0⎥
⎢ a2 b2 c2 τa2
+ d ⎥
⎢ 2
⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥
⎢⎣
⎥⎦
⎢0 0 0 1⎥
⎢⎣ ⎥⎦
2,4