Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

More documents

Recommendations

Info

$P 0.1 Stabilişti natura şsi suma seriilor: a) Σ 1 n\ ; b) Σ arctan 1 n# + n ...$

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 264 s −a −b−c, tehát a (*) egyenlőség csakis akkor teljesülhet, ha s = a + b + c . Ebben az esetben a Viéte összefüggések (vagy a szorzás elvégzése után az együtthatók azonosítása) alapján kapjuk, hogy z bc y ( + c) ⎡b⎤ 1 ⎢ ⎥ ⎢b2⎥ = ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢b⎥ ⎢ n ⎣ ⎥⎦ i i b = 2 2 2 2 = ( a + b + c) −ab −ac − bc = a + b + c + ab + ac + , = ( a + b + c)( ab + ac + bc) + abc = ( a + b)( a + c) b és x = abc( a + b + c) . 4. Számítsuk ki az A∈M n ( ) ⎡−1 ⎢ 1 ⎢ A = ⎢ 1 ⎢ ⎢ 1 ⎣ 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 ⎤ ⎥ 1 ⎥ 1 ⎥ ⎥ −1 ⎥ ⎥⎦ mátrix inverzét, ha n ≥ 3 . ⎡x1 ⎤ ⎢x ⎥ 2 Megoldás. Felírjuk az A⋅ x = b egyenletrendszert, ahol x = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ és b . Ez ⎢x ⎥ ⎢ n ⎣ ⎥⎦ ⎧− ⎪ x + x + x + + x 1 2 3 n = b ⎪ 1 ⎪ ⎪x − x + x + + x 1 2 3 n = b2 ⎨ ⎪ ⎪ x + x + x + − x 1 2 3 n = bn ⎪⎩ alakú, tehát az S = x1 + x2 + + xnjelöléssel az egyenletek S − 2x írhatók. Így alakban 1 xi = ( S − bi) 2 n i = 1, n, tehát S = ∑x i i= 1 n n 1 n = ∑ ( S − bi) = S − ∑bi . i= 1 2 2 i= 1 n 2 Ebből az összefüggésből S = ∑ bi, tehát j n − 2 i= 1 ⎛ n 1 2 ⎞ = ⋅ ⎜ − b ⎟ i j = 2 ⎝⎜n − 2 ⎠⎟ i= 1 1 1 1 = b1 + b2 + + bj− 1 + bj n −2 n −2 n −2 3−n 1 1 + bj+ 1 + + bn n −2 n −2 n −2 ∑ x b . ⎡3−n ⎢ ⎢n −2 ⎢ 1 −1 ⎢ Ez alapján az inverz mátrix A = ⎢n −2 ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎢⎣ n −2 1 n −2 3−n n −2 1 n −2 1 n −2 1 n −2 1 n −2 1 ⎤ ⎥ n −2⎥ 1 ⎥ n −2 ⎥ ⎥ 3−n ⎥ n −2⎥⎦
Lineáris egyenletrendszerek megoldása 265 5. Oldjuk meg az ⎧ ⎪ax + by + cz + dt = 0 ⎪ ⎪ ⎪ bx − ay + dz − ct = 0 ⎨ ⎪cx −dy − az + bt = 0 ⎪ dx + cy −bz − at = 0 ⎪⎩ egyenletrendszert, ha a,,, bcd nem mind nulla. Megoldás. Az első egyenletet szorozzuk a -val, a másodikat b -vel, a harmadikat c - vel és a negyediket d -vel, majd adjuk össze a kapott egyenlőségeket. Az ( egyenlőséghez jutunk, tehát x . Hasonlóan jutunk az 2 2 2 2 a + b + c + d ) x = 0 = 0 y = z = t = 0 összefüggésekhez is. (A szorzótényezők rendre ( b, −a, − d,c), ( cd , , −a, − b) és ( d, −c, b, −a)). 2.7. Elemi mátrixműveletek és a mátrix rangja A rendszerek megoldásánál és a determinánsok kiszámításánál láttuk, hogy a sorok (oszlopok) felcserélése, beszorzása, illetve összeadása vezetett a megoldáshoz. Ennek a paragrafusnak a célja annak a vizsgálata, hogy ezek a műveletek milyen összefüggésben vannak a mátrixokkal végzett műveletekkel, és milyen következményei vannak ezeknek az összefüggéseknek. ⎡a Feladat. Vizsgáljuk meg, hogy az A = ⎢ ⎢c ⎣ b⎤ ⎥ d⎥mátrixból milyen mátrixművelet ⎥⎦ ⎡τa segítségével kapható meg a C = ⎢ ⎢τc ⎣ b⎤ ⎥ d⎥mátrix! Törekedjünk arra, hogy a művelet ⎥⎦ másik operandusa A -tól független legyen! Megoldás. Az ⎡( τ − 1) a A+ B1= C egyenlet megoldása B1= C − A= ⎢ ⎢( τ − 1) c ⎣ 0⎤ ⎥. 0 ⎥ ⎥⎦ Ennek elemei az A elemeitől függnek. Próbáljunk meghatározni olyan B 2 mátrixot, ⎡x amelyre A⋅ B C . Egy ilyen mátrix -es kellene legyen, tehát B ⎢ 2 = 2× 2 2 = ⎢z ⎣ A⋅B2szorzás elvégzése után a következő egyenlőségeket írhatjuk fel: ⎧ ⎪ax + bz = τa ⎨ cx + dz = τc illetve ⎪⎩ y⎤ ⎥ t . Az ⎦ ⎥ ⎪ ⎧ ay + bt = b ⎨⎪ cy + dt = d . ⎪⎩ Ha az x -et küszöböljük ki, a z ⋅( b c− ad) = 0 , míg ha a z -t küszöböljük ki az ( x −τ) ( ad − bc) = 0 egyenlőséghez jutunk. Így x = τ és z = 0 mindig megoldás. ⎡τ Hasonló gondolatmenet alapján y = 0 és t = 1, tehát B2 = ⎢ 0 ⎣ 0⎤ ⎥ 1⎥ . Ezt a mátrixot ⎥⎦ megszerkeszthetjük a rendszerek megoldása nélkül is, az együtthatók azonosításával.
Page 1 and 2: Lineáris egyenletrendszerek megold
Page 29: Lineáris egyenletrendszerek megold

Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?