Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 264
s −a −b−c, tehát a (*) egyenlőség csakis akkor teljesülhet, ha s = a + b + c .
Ebben az esetben a Viéte összefüggések (vagy a szorzás elvégzése után az együtthatók
azonosítása) alapján kapjuk, hogy
z
bc
y
( + c)
⎡b⎤ 1 ⎢ ⎥
⎢b2⎥ = ⎢ ⎥
⎢⎥ ⎢b⎥ ⎢ n ⎣ ⎥⎦
i i b =
2 2 2 2
= ( a + b + c) −ab −ac − bc = a + b + c + ab + ac + ,
= ( a + b + c)( ab + ac + bc) + abc = ( a + b)( a + c) b és
x = abc( a + b + c)
.
4. Számítsuk ki az A∈M n ( )
⎡−1 ⎢
1
⎢
A = ⎢ 1
⎢
⎢
1
⎣
1
−1
1
1
1
1
−1
1
1 ⎤
⎥
1 ⎥
1 ⎥
⎥
−1
⎥ ⎥⎦
mátrix inverzét, ha n ≥ 3 .
⎡x1 ⎤
⎢x ⎥
2
Megoldás. Felírjuk az A⋅ x = b egyenletrendszert, ahol x = ⎢ ⎥
⎢ ⎥ és b . Ez
⎢x ⎥
⎢ n ⎣ ⎥⎦
⎧− ⎪ x + x + x + + x 1 2 3
n = b
⎪
1
⎪
⎪x
− x + x + + x 1 2 3 n = b2
⎨
⎪
⎪ x + x + x + −
x 1 2 3
n = bn
⎪⎩
alakú, tehát az S = x1 + x2 + + xnjelöléssel
az egyenletek S − 2x
írhatók. Így
alakban
1
xi = ( S − bi) 2
n
i = 1, n, tehát S = ∑x i
i= 1
n
n
1 n
= ∑ ( S − bi)
= S − ∑bi
.
i=
1 2 2 i=
1
n
2
Ebből az összefüggésből S = ∑ bi,
tehát j
n − 2 i=
1
⎛ n
1 2
⎞
= ⋅ ⎜ − b ⎟
i j =
2 ⎝⎜n − 2 ⎠⎟
i=
1
1 1 1
= b1 + b2 + + bj− 1 + bj n −2 n −2 n −2 3−n 1
1
+ bj+
1 + +
bn n −2 n −2
n −2
∑
x b
.
⎡3−n ⎢
⎢n −2 ⎢ 1
−1
⎢
Ez alapján az inverz mátrix A = ⎢n −2 ⎢
⎢ 1
⎢
⎢⎣ n −2 1
n −2 3−n n −2
1
n −2 1
n −2 1
n −2
1
n −2
1 ⎤
⎥
n −2⎥
1
⎥
n −2
⎥
⎥
3−n
⎥
n −2⎥⎦