Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

More documents

Recommendations

Info

$P 0.1 Stabilişti natura şsi suma seriilor: a) Σ 1 n\ ; b) Σ arctan 1 n# + n ...$

236 Lineáris egyenletrendszerek megoldása Tehát a tárgyalás a következő: Ha a a −a a ≠ 0 , akkor tetszőleges b , b ∈ esetén a megoldások 11 22 21 12 1 2 b ⋅a −b ⋅a 1 22 2 12 x = a ⋅a −a ⋅a 11 22 21 12 a ⋅b −a ⋅b 11 2 21 1 és y = a ⋅a −a ⋅a 11 22 21 12 . Ha a a − a a = , akkor a b − a b = ba − ba = 0 esetén a megoldások 11 2 21 1 1 22 2 12 11 22 21 12 0 ⎧⎪ b −a α ⎪ 1 12 x parametrikus alakja ⎪ = ⎨ a , α ∈ ⎪ 11 ⎪ ⎪⎩ y = α míg a b −a b ≠ 0 esetén a rendszernek nincs megoldása. 11 2 21 1 Látható, hogy az aa −aa kifejezésnek (és a hozzá hasonló a b −a b illet- 11 22 21 12 11 2 21 1 ve ba −ba kifejezéseknek) kulcsfontosságú szerepe van a rendszer megoldásai- 1 22 2 12 nak előállításában. A rendszer mátrixok segítségével a következő alakban írható: ⎡a a 11 12 ⎤⎡x⎤⎡b⎤ 1 ⎢ ⎥⎢ ⎥ a a y = ⎢ ⎥ ⎢ b ⎣ 21 22 ⎦⎣ ⎥⎢ ⎦ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ A kifejezésmód egyszerűsítésének céljából a következő értelmezéseket adjuk: Értelmezés. a) A (*) rendszer mátrixának nevezzük az ⎡a a 11 12 ⎤ A = ⎢ ⎥ a a mátrixot. ⎢ ⎣ 21 22 ⎥ ⎦ b) Az A mátrix determinánsának nevezzük az aa −aa 11 22 12 21 a a 11 12 különbséget és detA -val jelöljük. Ezt gyakran a de tA = a a alakban írjuk. 21 22 A 2. feladat eredményei alapján a következő tételt jelenthetjük ki: Tétel. 1. Ha a (*) rendszer mátrixának determinánsa nem nulla, akkor a rendszernek létezik egyértelmű megoldása ∀b , b ∈ esetén, és a megoldás 1 2 b a a b 1 12 11 1 b a a b x = a a y = a a 2 22 21 2 11 12 11 12 a a a a 21 22 21 22 (a számlálóban szereplő determinánsokat úgy kapjuk, hogy az x illetve y együtthatóinak helyére a szabadtagokat helyettesítjük). a a 11 12 2. Ha a a = 0 , akkor a következő két eset lehetséges: 21 22 b a 1 12 a) ha b a 2 22 (összeférhetetlen) a11 ≠ 0 vagy a21 b1 b2 ≠ 0 akkor a rendszernek nincs megoldása b1 b) ha b a12 a a11 = a b1 b = 0 , akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van. 2 22 21 2
Lineáris egyenletrendszerek megoldása 237 Megjegyzés. Látható, hogy a megoldás során az ⎡a a ⎤⎡x⎤ ⎡b ⎤ = ⎢ ⎥ 11 12 1 ⎢a a ⎥⎢y⎥ ⎣ 21 22 ⎦⎣ ⎦ ⎢b ⎣ 2 ⎥ ⎦ egyenlőségből ⎡ a22 ⎡x⎤ ⎢ det az ⎢ ⎥ A y = ⎢ ⎢ ⎢ a ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ 21 ⎢ − ⎣ detA a12 ⎤ − ⎥ ⎡b ⎤ detA⎥ 1 ⎢ ⎥ a ⎥ ⎢ 11 b ⎥ egyenlőséghez jutunk. ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ detA ⎥ ⎦ Gyakorlat. Számítsuk ki az A ⋅ B és B⋅A szorzatokat, ha ⎡a11 A = ⎢ ⎢a ⎣ 21 a12 ⎤ 1 ⎡ a22 ⎥ a és B = ⎢ 22 ⎥ ⎦ detA ⎢−a ⎣ 21 −a12⎤ ⎥ a . 11 ⎥ ⎦ Megoldás 1 ⎡a a −a a 11 22 12 21 A⋅ B = ⋅ ⎢ detA ⎢a a −a a ⎣ 21 22 22 21 1 ⎡ a a −a a 22 11 12 21 B⋅ A= ⋅ ⎢ detA − a a + a a ⎣ ⎢ 21 11 11 21 − a a + a a det 0 1 0 11 12 12 11⎤ 1 ⎡ A ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ − a a + a a ⎥ 21 21 22 11 detA ⎢ 0 detA⎥ ⎢0 1⎥ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ a a −a a det 0 1 0 22 12 12 22 ⎤ 1 ⎡ A ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − a a + a a = ⋅ = 21 12 11 22 ⎥ detA ⎢ 0 detA⎥ ⎢0 1⎥ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ Ez a tulajdonság azt mutatja, hogy az A mátrixhoz tartozó lineáris leképezés bijektív és inverzének a mátrixa B . Az egyszerűség kedvéért a B mátrixot az A inverzének nevezzük. ⎡ a22 ⎡a a 11 12 ⎤ ⎢ Értelmezés. Ha A = ⎢ ⎥ a a és detA ≠ 0 , akkor az ⎢detA ⎢ ⎣ 21 22 ⎥ ⎢ ⎦ ⎢ −a12 ⎢ ⎣detA 1 A -nel jelöljük és az inverzének nevezzük. −a21 ⎤ ⎥ detA⎥ a ⎥ mátrixot 11 ⎥ detA⎥ ⎦ − A A mátrixokkal végzett tulajdonságok alapján a rendszer megoldása a következő alakban írható: −1 A ⋅| A⋅ v = b −1 −1 A ⋅( A⋅ v) = A ⋅b ⎡a −1 −1 11 ( A ⋅ A) v = A ⋅b , ahol A = ⎢ ⎢a −1 I ⋅ v = A ⋅b ⎣ 21 2 −1 v = A ⋅b Az inverz mátrix oszlopai az a12 ⎤ ⎡x ⎤ ⎡b⎤ 1 ⎥ a , v = ⎢ ⎥ 22 ⎥ y , b = ⎢ ⎥. ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎢ ⎦ b ⎥ ⎢⎣ 2⎥⎦ ⎧ ⎪ a x + a y = 1 ⎧⎪ a x + a y = 0 11 12 11 12 ⎨ és ⎪a x + a y = 0 ⎨ a x a y 1 ⎪⎩ 21 22 ⎪ + = ⎪⎩ 21 22 rendszerek megoldásaiként is felfoghatók. A lineáris leképezések struktúrájának ⎡x1⎤ ⎡x2 ⎤ vizsgálatához hasonlóan ha ⎢y⎥ és ⎢ ⎢⎣ 1 ⎥ y ⎥ az előbbi rendszerek megoldásai, akkor az ⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎪ ⎧ ⎪a x + a y = b 11 12 1 ⎡x1⎤ ⎡x2⎤ ⎡x y 1 1⎤ ⎡b ⎤ 1 ⎨ rendszer megoldása b ⋅ ⎢ b ⎪a x + a y = b 1 y ⎥ + ⋅ ⎢ 2 y ⎥ = ⎢x y ⎥⋅⎢ ⎥ . ⎪⎩ 21 22 2 ⎣⎢ 1⎥⎦ ⎢⎣ 2⎥⎦ ⎢⎣ 2 2⎥⎦ ⎢b ⎥ ⎣ 2 ⎦
Page 1: Lineáris egyenletrendszerek megold
Page 5 and 6: Lineáris egyenletrendszerek megold
Page 53 and 54:
Lineáris egyenletrendszerek megold
show all

Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?