Kettő vagy három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerek ...

Lineáris egyenletrendszerek megoldása 262
II.
Egyenletrendszerek megoldása és tárgyalása
1. Milyen a, b valós értékekre összeférhetetlen az alábbi egyenletrendszer?
⎧⎪
⎪ax
+ y − 2z= 2
⎪
⎨2x
+ y + 3z = 1
⎪
⎪
( 2a − 1) x + 2y
+ z = b
⎪⎩
Megoldás. Ha a rendszer összeférhetetlen, akkor a mátrixának determinánsa 0. A
∆ =
a
1 −2
2 1 3
2a−1 2 1
= 0 egyenlőség rendre a következőképpen alakítható:
a + 32 ( a −1) − 8+ 22 ( a −1) −6a − 2= 0és
5a− 15 = 0.
Tehát ∆ = 0 csak a = 3 esetén teljesül. Ebben az esetben a rendszer a következő
alakban írható:
⎧⎪
⎪3x
+ y − 2z
= 2
⎪
⎨2x
+ y + 3z
= 1
⎪ 5x + 2y
+ z = b
⎪⎩
Látható, hogy 5x + 2y + z = ( 3x + y − 2z) + ( 2x + y + 3z)
, tehát b = 3 esetén a
rendszer határozatlan volna. Így az összeférhetetlenség feltétele a = 3 és b ≠ 3 .
2. Az m ∈ paraméter milyen értékeire van az
⎧⎪
⎪x
+ 2y + z = 1
⎪
⎨x
− y + 2z = 2
⎪
2 ⎪ 2mx + m y + 3z=
3
⎪⎩
egyenletrendszernek egyértelmű megoldása? (Felvételi 1997)
Megoldás. Egyértelmű megoldás pontosan akkor létezik, ha ∆≠0
, ahol
1 2
∆ = 1 −1
1
2 .
2
2m m 3
2
2
De ∆ = − m + 10m − 9 és az m − 10m + 9 = 0 egyenlet gyökei m 1 = 1 és
m 2 = 9 , tehát m ∈ \ { 1,9
} esetén van a rendszernek egyértelmű megoldása.
3. Oldjuk meg az
⎧⎪ 2 4
⎪x
− ay + a z = a
⎪
2 4
⎨
⎪x − by + b z = b
⎪
2 4
⎪x − cy + c z = c
⎪⎩